Groupe (math??matiques)

Les heures sur une horloge forment un groupe dans plus modulaire.

Un groupe est l'un des objets fondamentaux d'??tudes dans le domaine des math??matiques connues comme l'alg??bre abstraite . La branche de l'alg??bre qui ??tudie les groupes se appelle la th??orie des groupes . La th??orie des groupes a des applications ??tendues dans les math??matiques, les sciences et l'ing??nierie. De nombreuses structures alg??briques tels que les champs et les espaces vectoriels peuvent ??tre d??finis de mani??re concise en termes de groupes, et la th??orie de groupe fournit un outil important pour ??tudier la sym??trie , depuis les sym??tries de tout objet forment un groupe. Groupes sont donc des abstractions essentielles dans les branches de la physique impliquant sym??trie principes, tels que la relativit?? , la m??canique quantique et la physique des particules . De plus, leur capacit?? ?? repr??senter g??om??triques transformations trouve des applications en chimie , infographie, et d'autres domaines.

De nombreuses structures ??tudi??es en math??matiques se av??rent ??tre des groupes. Il se agit notamment des syst??mes familiers de nombre, telles que: les nombres entiers , les nombres rationnels , les nombres r??els , et les nombres complexes sous plus, ainsi que les rationnels non nuls, r??els, et les nombres complexes sous la multiplication. Autres exemples importants sont: le groupe de non-singuliers matrices sous la multiplication, et le groupe de fonctions inversibles dans la composition . La th??orie des groupes permet aux propri??t??s de ces structures ?? ??tudier dans un cadre g??n??ral.

D??finition

Un groupe (G, *) est un Set G avec un op??ration binaire * qui satisfait les quatre suivantes axiomes:

Fermeture: Pour tout a, b dans G, le r??sultat d'une * b est aussi dans G.

Associativit?? : Pour tout a, b et c dans G, (a * b) * c = a * (b * c).

??l??ment de l'identit??: Il existe un ??l??ment e dans G tel que pour tout a dans G, e * a = a * e = a.

??l??ment Inverse: Pour chaque un ?? G, il existe un ??l??ment b de G tel que b = a * b * a = e, o?? e est un ??l??ment d'identit??.

Certains textes omettent l'exigence explicite de la fermeture, depuis la fermeture du groupe r??sulte de la d??finition d'un op??ration binaire.

En utilisant la propri??t?? de l'??l??ment d'identit??, il peut ??tre montr?? qu'un groupe a exactement un ??l??ment d'identit??. Voir la preuve ci-dessous.

L'inverse d'un ??l??ment a peut ??galement ??tre d??montr?? unique, et il est g??n??ralement ??crit un ^-1 (mais voir l' notation ci-dessous pour les groupes additive ??crites).

Un groupe (G, *) est souvent not??e simplement G o?? il n'y a pas d'ambigu??t?? quant ?? ce que l'op??ration est.

Illustration de la d??finition

Le carr??.

Un exemple va expliquer certaines propri??t??s de groupes. Consid??rons un carr?? . Nous sommes int??ress??s par les sym??tries de la place. Il existe des types de sym??tries suivantes:

• rotation d'environ 90 ??, 180 ?? et 270 ?? (sens horaire). Nous allons ??crire ces sym??tries que la pourriture _{90 ??, 180 ??} pourrir et pourrir _{270 ??,} respectivement. A noter que les rotations dans le sens horaire contre-sont inclus ici, par exemple en rotation dans le sens horaire de 270 ?? de rotation est ??gale ?? 90 ?? dans le sens antihoraire.
• r??flexion le long de la ligne m??diane verticale ou horizontale, ou le long des deux diagonales. Ecrivons les r??flexions que ref _V, ref _H, ref _D1 et _D2 ref, respectivement.
• Enfin, l'op??ration id identiques laissant tout inchang??, ce est aussi une sym??trie.

Tous les garder la forme du carr?? inchang??. (Dans les images, les sommets sont color??s seulement pour faire les op??rations claires).

Rotation vers la droite de 90 ?? ?? 90 ?? rot	Rotation vers la droite de 180 ?? 180 ?? rot	Rotation vers la droite de 270 ?? 270 ?? rot	R??flexion sur la ref vertical V	R??flexion sur la ref horizontal H	La r??flexion le long d'une diagonale D1 ref	La r??flexion le long de l'autre diagonale D2 ref

Cet ensemble G des sym??tries est un exemple pour un groupe, la soi-disant . groupe di??dre d'ordre 8 ??tant un groupe signifie ce qui suit:

• Deux sym??tries peuvent ??tre compos??s, soit donn?? deux sym??tries a et b, nous pouvons d'abord effectuer un, puis b et le r??sultat sera toujours une sym??trie. Nous ??crivons le r??sultat b * a (qui signifie ??b apr??s une"). Par exemple, la rotation de 270 ??, puis par rotation de 180 ?? est ??gal ?? une rotation de 90 ??, ce est ?? dire en utilisant les symboles ci-dessus, nous avons

rot _{180 ??} * _?? = ₂₇₀ rot rot _{90 ??.}

Dans un langage plus formel, G est dot?? d'un * op??ration binaire, soit deux ??l??ments peut ??tre compos?? ?? un troisi??me ??l??ment.

Appliqu?? ?? cet exemple le groupe, la d??finition se lit:

1. Associativit?? : ??tant donn?? trois ??l??ments a, b et c de G, (a * b) * c = a * (b * c).
2. ??l??ment de l'identit??: Il existe un ??l??ment e dans G tel que pour tout a dans G, e * a = a * e = a. Dans l'exemple, e est que la sym??trie qui laisse tout inchang??.
3. ??l??ment Inverse: Pour chaque un ?? G, il existe un ??l??ment b de G tel que b = a * b * a = e, o?? e est un ??l??ment d'identit??. Dans l'exemple, tourner un angle horaire donn??e, puis en rotation par le m??me angle dans le sens antihoraire laissera la place inchang?? et la m??me chose est vrai si nous inversons l'ordre, ce est ?? dire d'abord dans le sens antihoraire, puis dans le sens horaire. En outre, ce qui refl??te le long d'une diagonale, par exemple, peut ??tre invers??e en appliquant ?? nouveau la m??me r??flexion. Dans symboles:

Rot _{270 ??} * rot _{90 ??} = _{90 ??} * rot rot _{270 ??} = id et ref _D1 * ref _D1 = id.

Histoire

Des groupes de permutations ??taient d??j?? ?? l'??tude dans le 18??me si??cle et ont ??t?? appliqu??es pour r??soudre les probl??mes dans la th??orie des ??quations. Cependant, la notion formelle d'un groupe n'a pas ??t?? publi?? jusqu'?? la fin du 19??me si??cle , et ?? ce moment les groupes avait trouv?? des applications dans la th??orie des nombres ainsi que dans la g??om??trie .

Concepts de base en th??orie des groupes

Sous-groupes

Un sous-ensemble H ⊂ G est appel?? le sous-groupe si la restriction de * H est une op??ration de groupe sur H. En d'autres termes, il se agit d'un groupe ?? l'aide de la restriction de l'op??ration d??finie sur G. Dans l'exemple ci-dessus, les rotations constituent un sous-groupe, ??tant donn?? qu'une rotation compos??e avec une rotation est encore une rotation.

Le test de sous-groupe est une condition n??cessaire et suffisante pour un sous-ensemble H d'un groupe G d'??tre un sous-groupe: il suffit de v??rifier que g ^-1 h ∈ H pour tout g, h ∈ H. Le fermeture, dans le cadre de l'op??ration de groupe et d'inversion, de ne importe quel sous-ensemble non vide d'un groupe est un sous-groupe.

Si G est un groupe fini, alors il en est H. En outre, l'ordre de H divise l'ordre de G ( Le th??or??me de Lagrange).

Les pouvoirs d'un ??l??ment d'un et leurs inverses (ce est-a ⁰ = e, a, a ^2, a ^3, a ^4, ..., ^{-1, -2, -3, -4} un, ...) toujours former un sous-groupe de l'ensemble du groupe. Il est dit que un sous-groupe qui g??n??re.

Un sous-groupe H d??finit toujours un ensemble de gauche et de droite cosets. ??tant donn?? un ??l??ment g arbitraire dans G, le classe ?? gauche de H contenant g est

et le droit coset de H contenant g est

L'ensemble des classes ?? gauche de H forme une partition des ??l??ments de G; ce est, deux classes ?? gauche sont ??gaux ou avoir un vide intersection . La m??me chose est vraie des bonnes cosets de H. En g??n??ral, les classes ?? gauche de H ne sont pas n??cessairement ??gales aux classes ?? droite de H. Si ce est le cas que pour tout g dans G, gH = Hg, alors H est dit ??tre un sous-groupe normal.

groupes quotients

Si N est un sous-groupe de G, l'ensemble de ses classes ?? gauche et classes ?? droite sont les m??mes et l'on peut parler simplement de l'ensemble des classes ?? de N. Dans ce cas, l'ensemble de co-ensembles de N peut ??tre ??quip?? d'une op??ration (parfois appel?? co-ensemble de multiplication ou addition de co-ensemble) pour former un nouveau groupe, appel?? le groupe quotient G / N. L'op??ration entre les classes ?? se comporte de la plus belle fa??on possible: (Ng) ?? (NH) = N (gh) pour tout g et h dans G. Notez que l'ensemble conjugu?? N se sert de l'identit?? de ce groupe, et l'inverse de Ng dans le groupe de quotient est (Ng) = N (g ).

Groupes simples

Si un groupe G ne est pas le groupe trivial et de ses sous-groupes seulement normales sont le groupe trivial et le groupe lui-m??me, il est appel?? un groupe simple. Avec la notion de groupes quotients, elle peut ??tre formul??e de mani??re ??quivalente comme: Un groupe avec seulement le groupe trivial et le groupe lui-m??me comme groupes quotients est simple.

homomorphismes de groupe

Si G et H sont deux groupes, un groupe homomorphisme f est une application f: G → H qui pr??serve la structure des groupes en question. La structure des groupes ??tant d??termin?? par l'op??ration de groupe, ceci signifie ce qui suit: si g et k sont tous deux des ??l??ments en G, puis

f (gk) = f (g) f (k).

Cette condition garantit que f _(G 1) = _H 1, et aussi f (g) = f ^-1 (g ^-1) pour tout g dans G.

Deux groupes G et H sont appel??s isomorphes se il existe un homomorphisme du groupe f entre G et H, qui est ?? la fois surjective (sur) et injective (one-to-one).

Le noyau d'un homomorphisme f est not?? ker f et est l'ensemble des ??l??ments de G qui sont mapp??s ?? l'identit?? dans H. Ce est-ker f = {g en G: f (g) = 1 _H}. Le noyau d'un homomorphisme est toujours un sous-groupe normal. Le Premi??re isomorphisme Th??or??me indique que le image d'un homomorphisme du groupe, f (G) est isomorphe au groupe quotient G / ker f. Un fait utiles concernant homomorphismes est qu'ils sont injective si et seulement si leur noyau est trivial (ie ker f = {1} _G).

Groupes ab??liens

Un groupe est dit ??tre ab??lien ou commutative, si l'op??ration r??pond ?? la loi commutative. Autrement dit, pour toute et en , . Sinon, le groupe est appel?? non commutatif ou non-commutative. Le nom "ab??lien?? vient du math??maticien norv??gien Niels Abel. L'exemple ci-dessus des sym??tries de la place est non-ab??lienne, parce

pourrir _{90 ??} * ref = _V ref _D2 de ref _D1 = ref _V * pourriture _{90 ?? les}

Le centre d'un groupe est un sous-groupe constitu?? par les ??l??ments qui commutent avec tous les autres ??l??ments dans le groupe. Dans un groupe commutatif le centre est l'ensemble du groupe; ?? l'autre extr??me, il ya des groupes dont le centre est trivial, ce est ?? dire qu'il ne se compose que de l'??l??ment d'identit??.

Les groupes cycliques

Un groupe cyclique est un groupe dont les ??l??ments peuvent ??tre successif g??n??r?? par composition de l'op??ration de groupe ??tant appliqu?? ?? un seul ??l??ment de ce groupe. Un ??l??ment de cette propri??t?? est appel??e un g??n??rateur ou d'un ??l??ment primitif du groupe. Les groupes cycliques sont ab??lien.

Un groupe cyclique multiplicatif dans laquelle G est le groupe, et a est un g??n??rateur:

Un groupe cyclique additif, avec g??n??rateur d'une:

Si la composition successive de l'op??ration d??finissant le groupe est appliqu?? ?? un ??l??ment non primitif du groupe, un sous-groupe cyclique est g??n??r??. Selon Le th??or??me de Lagrange, l'ordre du sous-groupe cyclique divise l'ordre du groupe. Ainsi, si l'ordre d'un groupe fini est premier , l'ensemble de ses ??l??ments, ?? l'exception du identit??, sont des ??l??ments primitifs du groupe.

Ordre de groupes et ??l??ments

Le commande d'un groupe G, g??n??ralement d??sign?? par | G | ou occasionnellement par o (G), est le nombre d'??l??ments de l'ensemble G. Si l'ordre ne est pas fini, alors le groupe est un groupe infini, not?? | G | = ∞.

La commande d'un ??l??ment dans un groupe G est le nombre entier positif n de telle sorte que a ⁿ = e, o?? ⁿ repr??sente un , ?? savoir l'application de l'op??ration de * n copies de la valeur a. (Si * repr??sente la multiplication, puis a ⁿ correspond ?? la n ^i??me puissance de a.) Si un tel n existe, alors l'ordre de un est dit ??tre infini. La commande d'un ??l??ment est le m??me que l'ordre du sous-groupe cyclique g??n??r?? par cet ??l??ment.

L'ordre du groupe de l'??chantillon ci-dessus est de huit, de l'ordre de _{90 ??} pourriture est quatre, parce tourner 4 fois par 90 ?? ne est pas rien changer. L'ordre des ??l??ments de r??flexion ref _V, etc. est deux.

Notations et remarques

op??ration de groupe

Les groupes peuvent utiliser la notation diff??rente selon le contexte et le fonctionnement du groupe.

• Groupes additifs utilisent + pour d??signer plus, et le signe moins - pour d??signer inverses. Par exemple, un + (- a) = 0 dans Z.
• Groupes multiplicatifs utilisent *, Ou le symbole plus g??n??ral ??composition?? pour d??signer la multiplication et l'exposant ^-1 pour d??signer inverses. Par exemple, un * ^-1 = 1. Il est tr??s fr??quent de laisser tomber le * et il suffit d'??crire aa ^-1 place.
• Groupes de fonctions utilisent ??? pour d??signer la composition de fonctions, et l'exposant ^-1 pour d??signer inverses. Par exemple, g ??? g ^-1 = e. Il est tr??s fr??quent de laisser tomber le ??? et il suffit d'??crire gg ^-1 place.

Omettant un symbole pour une op??ration est g??n??ralement acceptable, et laisse au lecteur le soin de conna??tre le contexte et le fonctionnement du groupe.

Lors de la d??finition des groupes, il est solf??ge ?? utiliser parenth??ses dans la d??finition du groupe et son fonctionnement. Par exemple, (H +) repr??sente le groupe form?? par l'ensemble H avec addition comme op??ration de groupe. Pour des groupes comme (Z _n, +) et (F _q ^*, *), le groupe multiplicatif des ??l??ments non nuls dans le corps fini F _q, il est courant de d??poser les parenth??ses et le fonctionnement (depuis une seule op??ration rend ces mis en un groupe), que Z _n et F _q ^*. Il est ??galement bon de se r??f??rer ?? un groupe par son identificateur de jeu, par exemple H ou Ou pour d??finir le groupe en notation set-constructeur, pourvu qu'il soit clair quelle op??ration groupe est destin??.

??l??ment d'identit??

En utilisant la propri??t?? de l'??l??ment d'identit??, il peut ??tre montr?? qu'un groupe a exactement un ??l??ment d'identit??. Par cons??quent, on parle g??n??ralement de l'identit??: supposent ?? la fois e et f sont des ??l??ments d'identit??. Ensuite, parce que f est une (?? droite) l'identit?? ??l??ment e * f = e, et parce que e est un (?? gauche) l'identit?? ??l??ment e * f = f, o?? e = f.

L'??l??ment d'identit?? ??lectronique est parfois appel?? ??l'??l??ment neutre", et est parfois d??sign?? par un autre symbole, en fonction du groupe:

• Dans les groupes multiplicatifs, l'??l??ment d'identit?? peut ??tre d??sign?? par une.
• Dans inversible les groupes de la matrice, l'??l??ment d'identit?? est habituellement d??sign??s par I ou Id.
• Dans les groupes d'additifs, l'??l??ment d'identit?? peut ??tre d??sign?? par 0.
• Dans les groupes de fonctions, l'??l??ment d'identit?? est habituellement d??sign??e par f _0.

Si S est un sous-ensemble de G et x un ??l??ment de G, puis, dans la notation multiplicatif, XS est l'ensemble de tous les produits {xs: s en S}; De m??me, la notation Sx = {sx: s en S}; et pour deux sous-ensembles S et T de G, nous ??crivons ST pour {er: s dans S, t en T}. Dans notation additive, nous ??crivons x + S, S + x, et S + T pour les ensembles respectifs (voir cosets).

Inverse

L'inverse d'un ??l??ment A peut aussi ??tre d??montr??e unique, et il est g??n??ralement ??crit un ^-1 ou - a, selon le contexte. Supposons donn?? un inverse l et un autre inverse r. Puis

l = l * e = l * (a * r) = (L * a) * r = e * r = r.

En outre, si dans un groupe, nous savons seulement que b * a = e, alors cela suffit pour conclure que b est l'??l??ment inverse d'une (depuis un inverse recto-verso d'une garantie est d'exister, puis b doit ??tre ??gale ?? il). De m??me a * b = e suffit ?? la m??me conclusion.

(Cependant, un ensemble avec une op??ration binaire peut comporter de nombreux ??l??ments d'identit?? de gauche ou de nombreux ??l??ments d'identit?? bonnes, ?? condition qu'il ne en a pas du genre oppos??: prendre exemple sur aucun ensemble de l'op??ration d??finie par un * b = b, puis ne importe quel ??l??ment est un ??l??ment de l'identit?? gauche, mais aucune ne est un ??l??ment de l'identit?? droite m??me dans un mono??de un ??l??ment peut avoir plusieurs ??l??ments inverses gauche, ?? condition qu'il n'a pas d'??l??ments bons inverses (et vice versa):. l'ensemble des cartes ?? partir d'un ensemble infini X lui-m??me est un mono??de dans la composition de fonctions, dans lequel chaque carte injective a un inverse ?? gauche, et chaque application surjective a un inverse ?? droite, mais aucun de ces inverses est unique en g??n??ral. Pourtant, si tous les ??l??ments dans un mono??de ont un inverse ?? gauche, le monoid peut ??tre d??montr?? un groupe.)

Associativit??

Pour une s??quence de facteurs multiples dans un ordre donn??, on peut former un produit de nombreuses fa??ons diff??rentes en ins??rant entre parenth??ses; Toutefois, par plusieurs applications de la propri??t?? d'associativit??, toute deux d'entre eux peuvent ??tre d??montr?? ??gale. Pour cette raison, l'expression

_{1 *, 2} * ?????? * un _n

est sans ambigu??t?? et les parenth??ses sont g??n??ralement omis dans ces expressions. En cons??quence, il ne est presque jamais n??cessaire d'invoquer explicitement la propri??t?? d'associativit??.

Des variantes de la d??finition

Certaines d??finitions d'un groupe utilisent conditions apparemment plus faibles de l'identit?? et des ??l??ments inverses. Au lieu d'exiger un ??l??ment d'identit?? recto-verso, on peut s??par??ment exiger l'existence d'un ??l??ment de l'identit?? gauche et ?? droite, et de m??me on peut s??par??ment exiger l'existence d'un des ??l??ments inverses gauche et droite: dans les deux cas, les ??l??ments de gauche et de droite peut ??tre montr?? ??tre la m??me (et chacun est unique).

Des exemples de groupes

Les entiers sous plus

Le groupe sans doute le plus connu est le groupe des entiers sous plus . On peut penser ?? des axiomes d'un groupe ??tant calqu?? sur les propri??t??s des nombres entiers Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} , conjointement avec l'op??ration de groupe "+", qui d??signe, comme d'habitude, l'addition. Les axiomes ?? v??rifier sont:

• Fermeture: si a et b sont des nombres entiers alors a + b est un nombre entier.
• Associativit??: si a, b, et c sont des nombres entiers, alors (a + b) + c = a + (b + c).
• El??ment d'identit??: 0 est un nombre entier et pour tout entier a, 0 + a = a + 0 = a.
• ??l??ments inverses: Si a est un nombre entier, le nombre entier - A satisfait les r??gles inverses: a + (- a) = (- a) + a = 0.

Ce groupe est aussi parce ab??lien a + b = b + a.

Si l'on prolonge en outre par cet exemple consid??rant les deux des nombres entiers avec addition et de multiplication, il forme une structure alg??brique plus complexe appel??e anneau. (Mais, notez que les nombres entiers avec multiplications ne sont pas un groupe.)

Certains groupes multiplicatifs

Le terme groupe multiplicatif d??signe des groupes dont le fonctionnement d??coule de multiplication d'une certaine mani??re (en fonction du contexte).

Les entiers de moins de multiplication

Pour commencer, nous donnons un contre: les nombres entiers avec l'op??ration de multiplication, not??e "??". Selon la notation g??n??rale, ce est not?? (Z, ??). Il r??pond ?? la cl??ture, associativit?? et d'identit?? axiomes, mais ne parvient pas ?? avoir inverses: il ne est pas vrai que chaque fois qu'un est un nombre entier, il existe un entier b tel que ab = ba = 1. Par exemple, a = 2 est un entier, mais la seule solution de l'??quation ab = 1 dans ce cas est b = 1/2. Nous ne pouvons pas choisir b = 1/2 parce moiti?? ne est pas un nombre entier. Etant donn?? que chaque ??l??ment de pas (Z, ??) pr??sente un inverse (multiplicatif), (Z, ??) ne est pas un groupe. Il est, cependant, un commutative monoid, qui est une structure semblable ?? un groupe, mais ne n??cessite pas d'??l??ments inverses.

Les nombres rationnels non nuls

Le ??tape naturelle pour rem??dier ?? cette envisage l'ensemble des nombres rationnels Q, l'ensemble de toutes les fractions de nombres entiers a / b, o?? a et b sont des nombres entiers et b est non nul, et l'op??ration de multiplication, ?? nouveau d??sign?? par "??". ??tant donn?? que le nombre rationnel de 0 n'a pas inverse multiplicatif, (Q, ??), comme (Z, ??), ne est pas un groupe.

Cependant, si nous utilisons ?? la place l'ensemble de tous les nombres rationnels non nulle Q \ {0}, puis (Q \ {0}, ??) ne forment un groupe ab??lien. En effet, fermeture, associativit?? et d'??l??ments d'identit?? axiomes sont faciles ?? v??rifier et suivre des propri??t??s des nombres entiers (nous ne perdons pas de fermeture en supprimant z??ro, parce que le produit de deux nombres rationnels non nuls ne est jamais nul). Enfin, l'inverse de a / b est b / a, donc l'axiome de l'??l??ment inverse est satisfaite.

De m??me que les nombres entiers forment un anneau, les nombres rationnels forment la structure alg??brique d'un champ, permettant les op??rations d'addition, soustraction, multiplication et division.

Groupes multiplicatifs cycliques

En (Q, ??), il ya les sous-groupes cycliques

G = {a ^n, n ∈ Z} ⊂ Q

o?? ^N est le n i??me exponentiations de l'??l??ment primitif a de ce groupe. Par exemple, si a est 2, alors

Ce groupe est un exemple d'un groupe ab??lien libre de une rang: le rang est une, car G est engendr?? par un ??l??ment (ou de mani??re ??quivalente un a ^-1) et l'indice d'??gouttage se r??f??re au fait qu'aucune les relations entre les pouvoirs de ce g??n??rateur se produisent. Par cons??quent, G, est isomorphe au groupe de nombres entiers (sous plus) pr??sent?? ci-dessus.

Consindering le groupe

{A ^n, n ∈ Z / m Z},

le module m lie le groupe dans un ensemble fini avec un ensemble non-fractionn??e d'??l??ments, depuis l'inverse (et , Etc.) serait dans l'ensemble.

Les entiers non nuls modulo un premier

Les classes non nuls d'entiers modulo p, un nombre premier , forment un groupe pour la multiplication. Le produit de deux entiers dont aucun ne est divisible par p ne est pas divisible par p soit (car p est premier), ce qui montre que l'ensemble des classes indiqu?? est ferm?? sous la multiplication. Associativit?? est clair, et la classe de 1 est l'identit?? pour la multiplication, il reste ?? prouver, ce est que chaque ??l??ment a un inverse: ??tant donn?? un entier a pas divisible par p, il faut trouver un entier b tel que

.

Ceci peut ??tre d??montr?? en utilisant le L'algorithme d'Euclide, par exemple. En fait, cet exemple est similaire ?? (Q \ {0}, ??) ci-dessus, car il se r??v??le ??tre le groupe d'??l??ments non nuls dans la champ fini F _p. Cependant, il est nettement diff??rent du second groupe cyclique multiplicatif mentionn?? ci-dessus.

Groupes finis

Si le nombre d'??l??ments d'un groupe G est fini, alors G lui-m??me est appel?? groupe fini. Ce qui pr??c??de groupe di??dre d'ordre 8 est un exemple. Deux classes importantes sont les suivantes:

• (ab??liennes) les groupes cycliques Z / n Z trait??es ci-dessus. Tout groupe fini ab??lien est un ensemble fini somme directe de groupes de ce genre, cela fait partie de la th??or??me fondamental de groupes ab??liens de type fini.
• la groupe sym??trique S _N: il se agit du groupe de permutations de N lettres. Par exemple, le groupe sym??trique sur 3 lettres S ₃ est le groupe constitu?? de tous les swaps possibles des trois lettres ABC, ce est ?? dire contient les ??l??ments ABC, ACB, ..., jusqu'?? l'ABC, au total six (ou 3 factoriels ) ??l??ments. Parall??lement au groupe de sym??tries de la place ci-dessus, S ₃ peut ??galement ??tre interpr??t?? comme le groupe des sym??tries d'un triangle ??quilat??ral.

Le th??or??me de Cayley pr??voit que tout groupe fini (pas n??cessairement ab??lien) peut ??tre exprim??e comme un sous-groupe d'un groupe sym??trique S _N.

La th??orie des groupes primaire

La th??orie des groupes primaire concerne les faits de base qui d??tiennent pour tous les groupes. Par exemple:

• Vous pouvez effectuer la division en groupes; ce est-donn?? les ??l??ments A et B du groupe G, il ya exactement une solution en x G ?? la ??quation x * a = b et exactement une solution G y dans l'??quation y = a * b. En fait, la droite, respectivement gauche multiplication de l'??quation par un ^-1 donne la solution x = b * ^-1 respectivement y = a * b ^-1.

• (chaussettes et chaussures) L'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre inverse: (a * b) ^-1 = b * ^{-1 -1.}

Preuve: Nous allons d??montrer que (a * b) * (b * ^{-1 -1)} = e, qui, comme mentionn?? ci-dessus suffit de prouver que b * ^{-1 -1} est l'inverse de a * b.

	=		(Associativit??)
	=		(D??finition de inverse)
	=		(D??finition de l'??l??ment neutre)
	=		(D??finition de inverse)

Construire de nouveaux groupes de celles donn??es

Outre les sous-groupes et groupes quotients ya deux fa??ons de base de la construction de nouveaux groupes de celles indiqu??es. D'autres techniques de manipulation comprennent:

• Produit direct: Si (G, *) et (H, ???) sont des groupes, l'ensemble G ?? H avec l'op??ration (g _{1, 1} h) (g _{2, 2} h) = ₍₁ g * g _2, ??? h ₁ h ₂₎ est un groupe. Le produit direct peut ??galement ??tre d??fini avec un nombre quelconque de termes, finis ou infinis, en utilisant le Produit cart??sien et de d??finir le fonctionnement coordonnent-sage.
• Produit semi-direct: Si N et H sont des groupes et φ: H → Aut (N) est un homomorphisme de groupes, puis le produit semi-direct de N et H par rapport ?? φ est le groupe (N x H, *), avec * d??fini comme

  (N _1, h ₁₎ * (n _2, h ₂₎ = (n φ _{1 (1} h) (n _2), h ₁ h ₂₎

• Direct somme externe: La somme externe directe d'une famille de groupes est le sous-groupe du produit constitu?? par des ??l??ments qui ont un nombre fini de coordonn??es non-identit??. Si la famille est la somme directe finie et le produit sont ??quivalentes.

G??n??ralisations

En alg??bre abstraite , des structures plus g??n??rales se posent en assouplissant certaines des axiomes d??finissant un groupe.

• ??liminer l'exigence que chaque ??l??ment poss??de un inverse, la structure alg??brique r??sultant est appel?? une mono??de.
• Un mono??de sans identit?? est appel?? semi-groupe.
• Alternativement, assouplissement de l'exigence que l'op??ration soit associative , tout en exigeant la possibilit?? de division , la structure alg??brique r??sultant est un boucle.
• Une boucle sans identit?? est appel?? quasigroupe.
• Enfin, laisser tomber tous les axiomes de la relation binaire, la structure alg??brique r??sultant est appel?? une magma.

Groupo??des, qui sont semblables ?? des groupes, sauf que la composition a * b ne doit pas ??tre d??finie pour tout a et b, se pose dans l'??tude des types plus complexes de sym??tries, souvent dans des structures topologiques et analytiques. Groupo??des, ?? leur tour, sont de sortes sp??ciales cat??gories.

Supergroupes et Alg??bres de Hopf sont autres g??n??ralisations, et sont donc tas.

Groupes ab??liens forment le prototype pour le concept d'un cat??gorie ab??lienne, qui a des applications ?? des espaces vectoriels et au-del??.

Lois de groupe formelles sont certains s??ries formelles qui ont des propri??t??s un peu comme une exploitation de groupe.

En g??om??trie diff??rentielle , la g??om??trie alg??brique et la topologie , la notion de groupe est sp??cialis?? pour inclure des groupes avec une structure suppl??mentaire. groupes de Lie, groupes alg??briques et groupes topologiques sont des exemples de grouper des objets: structures des groupes comme assis dans un cat??gorie autre que la cat??gorie ordinaire des ensembles.