G??om??trie
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G??om??trie ( grec γεωμετρία; geo = terre, Metria = mesure) est une partie de math??matiques se occupent de questions de taille, la forme et la position relative des chiffres et avec des propri??t??s de l'espace. La g??om??trie est une des sciences les plus anciennes. Initialement un ensemble de connaissances pratiques concernant longueurs, zones et volumes , dans le troisi??me si??cle avant JC, la g??om??trie a ??t?? mis dans un forme axiomatique par Euclide , dont le traitement - la g??om??trie euclidienne - ??tablir une norme pour de nombreux si??cles ?? suivre. Le domaine de l'astronomie , en particulier repr??senter la position des ??toiles et des plan??tes sur la sph??re c??leste, a servi comme une source importante de probl??mes g??om??triques au cours des prochains mill??naires et demi.
L'introduction de coordonne par Ren?? Descartes et le d??veloppement simultan?? de l'alg??bre ont marqu?? une nouvelle ??tape pour la g??om??trie, puisque des figures g??om??triques, comme courbes planes, pourraient d??sormais ??tre repr??sent??s analytiquement , ce est ?? dire, avec des fonctions et des ??quations. Ceci a jou?? un r??le cl?? dans l'??mergence de calcul au XVIIe si??cle. En outre, la th??orie de la perspective a montr?? qu'il ya plus ?? la g??om??trie que juste les propri??t??s m??triques de chiffres. Le sujet de la g??om??trie a ??t?? enrichie par l'??tude de la structure intrins??que des objets g??om??triques qui provenaient de Euler et Gauss et ont conduit ?? la cr??ation de la topologie et de la g??om??trie diff??rentielle .
Depuis le XIXe si??cle de la d??couverte g??om??trie non-euclidienne, la notion de l'espace a subi une transformation radicale. La g??om??trie contemporaine consid??re collecteurs , des espaces qui sont consid??rablement plus abstrait que le familier espace euclidien , dont ils ne ressemblent ?? peu pr??s ?? petites ??chelles. Ces espaces peuvent ??tre dot??s d'une structure suppl??mentaire, permettant de parler de longueur. La g??om??trie moderne a de multiples liens solides avec la physique , illustr??s par les liens entre G??om??trie riemannienne et la relativit?? g??n??rale . Une des th??ories les plus jeunes physiques, la th??orie des cordes , est aussi tr??s g??om??trique en saveur.
La nature visuelle de la g??om??trie, il est d'abord plus accessibles que d'autres parties des math??matiques, comme l'alg??bre ou de la th??orie des nombres . Cependant, le langage g??om??trique est ??galement utilis?? dans des contextes qui sont loin de son traditionnel, la provenance euclidienne, par exemple, dans la g??om??trie fractale , et surtout dans g??om??trie alg??brique.
Histoire de la g??om??trie
Les d??buts de la g??om??trie plus t??t enregistr??es peuvent ??tre attribu??s ?? l'ancienne M??sopotamie , l'Egypte et le vall??e de l'Indus du monde 3000 av. G??om??trie d??but ??tait une collection de principes empiriquement d??couvertes concernant les longueurs, les angles, les zones et les volumes, qui ont ??t?? mis au point pour r??pondre ?? un besoin pratique arpentage, la construction, l'astronomie , et de divers m??tiers. Les premiers textes connus sur la g??om??trie sont ??gyptien Papyrus Rhind et Papyrus de Moscou, le Tablettes d'argile babyloniennes, et l' indienne Shulba soutras, tandis que les Chinois avaient le travail de Mozi, Zhang Heng, et de la Neuf chapitres sur l'art math??matique, ??dit?? par Liu Hui.
D'Euclide The Elements of Geometry (c. 300 BCE) ??tait l'un des plus importants textes anciens sur la g??om??trie, dans lequel il a pr??sent?? la g??om??trie dans un id??al forme axiomatique, qui est venu ?? ??tre connu comme la g??om??trie euclidienne . Le trait?? ne est pas, comme on le pense parfois, un recueil de tout ce qui Math??maticiens hell??nistiques savaient sur la g??om??trie ?? ce moment; ce est plut??t une introduction ??l??mentaire ?? elle; Euclide lui-m??me ??crit huit livres plus avanc??s sur la g??om??trie. Nous savons par d'autres r??f??rences qui Euclide ??tait pas le premier manuel de g??om??trie ??l??mentaire, mais les autres sont tomb??s en d??su??tude et ont ??t?? perdus.
Dans le Moyen-Age , Math??maticiens musulmans ont contribu?? au d??veloppement de la g??om??trie, en particulier la g??om??trie alg??brique et alg??bre g??om??trique. Al-Mahani (b. 853) eut l'id??e de r??duire les probl??mes g??om??triques telles que la duplication du cube ?? des probl??mes dans l'alg??bre . Thābit ibn Qurra (connu sous le nom de Thebit latine ) (836-901) trait??e arithm??tiques op??rations appliqu??es ?? rapports de grandeurs g??om??triques, et contribu?? au d??veloppement de la g??om??trie analytique . Omar Khayyam (1048-1131) a trouv?? des solutions g??om??triques ?? ??quations cubiques, et ses ??tudes approfondies de la postulat des parall??les a contribu?? au d??veloppement de La g??om??trie non euclidienne.
Au d??but du 17e si??cle, il y avait deux d??veloppements importants dans la g??om??trie. Le premier, et le plus important, ??tait la cr??ation de la g??om??trie analytique , ou de la g??om??trie avec coordonne et ??quations , par Ren?? Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665). Ce ??tait un pr??curseur n??cessaire ?? l'??laboration de calcul et une science quantitative pr??cise de la physique . La deuxi??me ??volution g??om??trique de cette p??riode a ??t?? l'??tude syst??matique des par la g??om??trie projective Girard Desargues (1591-1661). La g??om??trie projective est l'??tude de la g??om??trie sans mesure, juste l'??tude de la fa??on dont les points se alignent avec l'autre.
Deux d??veloppements en g??om??trie dans le XIXe si??cle a chang?? la fa??on dont il avait ??t?? ??tudi?? pr??c??demment. Il se agissait de la d??couverte de g??om??tries non-euclidiennes par Lobachevsky, Bolyai et Gauss et de la formulation de sym??trie comme la prise en compte dans le central Programme d'Erlangen Felix Klein (qui a g??n??ralis?? la euclidienne et des g??om??tries non euclidiennes). Deux des g??om??tres ma??tres de l'??poque ??taient Bernhard Riemann , travaillant principalement avec les outils de l'analyse math??matique , et l'introduction de la surface de Riemann , et Henri Poincar??, le fondateur de topologie alg??brique et la th??orie g??om??trique de syst??mes dynamiques.
En cons??quence de ces changements majeurs dans la conception de la g??om??trie, la notion d '??espace?? est devenu quelque chose de riche et vari??e, et le fond naturel pour les th??ories aussi diff??rents que analyse complexe et la m??canique classique . Le type traditionnel de la g??om??trie a ??t?? reconnu comme celui de espaces homog??nes, ces espaces qui ont un approvisionnement suffisant de sym??trie, de sorte que d'un point ?? ils regardent tout de m??me.
Quelle est la g??om??trie?
Le d??veloppement de la g??om??trie enregistr??e se ??tend sur plus de deux mill??naires. Il ne est gu??re surprenant que les perceptions de ce qui constitue la g??om??trie ??volu?? ?? travers les ??ges. Les paradigmes g??om??triques pr??sent??es ci-dessous doivent ??tre consid??r??s comme ' Tableaux d'une exposition ??d'une sorte: elles ne ??puisent pas le sujet de la g??om??trie, mais refl??tent plut??t certains de ses th??mes d??finissant.
G??om??trie pratique
Il ya peu de doute que la g??om??trie est issue d'une science pratique, concern??s par arpentage, des mesures, surfaces et volumes. Parmi les r??alisations notables, on trouve des formules pour les longueurs, les zones et les volumes , comme th??or??me de Pythagore , circonf??rence et aire d'un cercle, une zone de triangle , un volume de cylindre, sph??re , et un pyramide. D??veloppement de l'astronomie a conduit ?? l'??mergence de la trigonom??trie et trigonom??trie sph??rique, conjointement avec les techniques de calcul auxiliaires.
La g??om??trie axiomatique
Une m??thode de calcul de certaines distances ou des hauteurs inaccessibles bas??e sur similitude des figures g??om??triques et attribu?? ?? Thales pr??sageaient approche plus abstraite ?? la g??om??trie prise par Euclide dans ses ??l??ments , l'un des livres les plus influents jamais ??crits. Euclid introduit certaine axiomes, ou postule, exprimant propri??t??s primaires ou ??videntes de points, lignes, et des avions. Il se mit ?? en d??duire rigoureusement autres propri??t??s par le raisonnement math??matique. Le trait caract??ristique de l'approche de la g??om??trie d'Euclide ??tait sa rigueur. Au XXe si??cle, David Hilbert un raisonnement axiomatique dans sa tentative de mettre ?? jour Euclide et fournir des bases modernes de la g??om??trie.
Constructions g??om??triques
Scientifiques anciens accord?? une attention particuli??re ?? la construction d'objets g??om??triques qui avaient ??t?? d??crites dans une autre mani??re. Les instruments classiques autoris??s dans des constructions g??om??triques sont la r??gle et au compas . Cependant, certains probl??mes se sont av??r??s ??tre difficiles ou impossibles ?? r??soudre par ces moyens seul, et ?? l'aide de constructions ing??nieuses paraboles et d'autres courbes, ainsi que des dispositifs m??caniques, ont ??t?? trouv??s. L'approche des probl??mes g??om??triques avec des moyens g??om??triques ou m??caniques est connu comme g??om??trie synth??tique.
Num??ros de g??om??trie
D??j?? Pythagoriciens examin?? le r??le des num??ros en g??om??trie. Cependant, la d??couverte de longueurs incommensurables, qui contredisaient leurs vues philosophiques, faites les abandonnent num??ros (abstraites) en faveur de (b??ton) les quantit??s g??om??triques, telles que la longueur et la zone de chiffres. Num??ros ont ??t?? r??introduits dans la g??om??trie sous forme de coordonne par Descartes , qui a r??alis?? que l'??tude de formes g??om??triques peut ??tre facilit??e par leur repr??sentation alg??brique. G??om??trie analytique applique des m??thodes de l'alg??bre aux questions g??om??triques, g??n??ralement en rapportant g??om??triques courbes alg??briques et ??quations . Ces id??es ont jou?? un r??le cl?? dans le d??veloppement de calcul au XVIIe si??cle et a conduit ?? la d??couverte de nombreuses nouvelles propri??t??s des courbes planes. Moderne g??om??trie alg??brique consid??re questions similaires sur un niveau beaucoup plus abstrait.
G??om??trie de la position
M??me dans les temps anciens, les g??om??tres consid??r??s comme des questions de position relative ou de la relation spatiale des figures et des formes g??om??triques. Quelques exemples sont donn??s par des cercles inscrits et circonscrits, de polygones , lignes d'intersection et tangent ?? CONIC sections , les Pappus et M??n??las configurations de points et de lignes. Au Moyen Age, nouvelles et plus compliqu??es des questions de ce type ont ??t?? envisag??es: Quel est le nombre maximum de sph??res touchant simultan??ment une sph??re donn??e de m??me rayon ( embrassant probl??me de nombre)? Ce qui est le plus dense empilement de sph??res de taille ??gale dans l'espace ( Conjecture de Kepler)? La plupart de ces questions impliqu??es formes ??rigide?? g??om??triques, tels que des lignes ou des sph??res. Projective, convexe et g??om??trie discr??te sont trois sous-disciplines au sein de g??om??trie actuelle de jour qui traitent de ces questions connexes et.
Un nouveau chapitre dans Geometria situs a ??t?? ouverte par Leonhard Euler , qui hardiment jet?? dehors propri??t??s m??triques de figures g??om??triques et consid??r?? bas?? leur structure g??om??trique plus fondamental uniquement sur la forme. Topologie , qui a grandi sur la g??om??trie, mais transform?? en une grande discipline ind??pendante, fait pas de distinction entre les objets qui peuvent ??tre d??form??s en permanence dans l'autre. Les objets peuvent n??anmoins conserver une certaine g??om??trie, comme dans le cas de noeuds hyperboliques.
G??om??trie del?? Euclid
Pour pr??s de deux mille ans depuis Euclide, tandis que la gamme de questions pos??es et r??pondues g??om??triques in??vitablement ??largi, compr??hension de base de l'espace est rest?? essentiellement le m??me. Emmanuel Kant a fait valoir qu'il n'y a qu'un seul, absolu, la g??om??trie, qui est connu pour ??tre vrai a priori par une facult?? int??rieure de l'esprit: la g??om??trie euclidienne ??tait synth??tique a priori. Ce point de vue dominant a ??t?? annul??e par la d??couverte r??volutionnaire de la g??om??trie non-euclidienne dans les travaux de Gauss (qui ne ont jamais publi?? sa th??orie), Bolyai, et Lobachevsky, qui ont d??montr?? que ordinaire espace euclidien ne est qu'une possibilit?? pour le d??veloppement de la g??om??trie. Une vision large de l'objet de la g??om??trie a ensuite ??t?? exprim??e par Riemann dans sa conf??rence inaugurational ??ber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sur les hypoth??ses sur lesquelles se fonde la g??om??trie), publi?? qu'apr??s sa mort. Nouvelle id??e de Riemann de l'espace se est av??r?? crucial dans Einstein de la th??orie de la relativit?? g??n??rale et La g??om??trie de Riemann, qui consid??re des espaces tr??s g??n??raux dans lesquels la notion de longueur est d??finie, est un pilier de la g??om??trie moderne.
Sym??trie
Le th??me de la sym??trie en g??om??trie est presque aussi vieux que la science de la g??om??trie elle-m??me. Le cercle , polygones r??guliers et solides platoniques lieu signification profonde pour de nombreux philosophes anciens et ont ??t?? ??tudi??s en d??tail par le temps d'Euclide. Motifs sym??triques se produisent dans la nature et ont ??t?? artistiquement rendus dans une multitude de formes, y compris les graphiques ahurissantes MC Escher. N??anmoins, ce ne est que la seconde moiti?? du XIXe si??cle que le r??le f??d??rateur de sym??trie dans les fondations de la g??om??trie a ??t?? reconnue. Felix Klein Programme d'Erlangen a proclam?? que, dans un sens tr??s pr??cis, la sym??trie, exprim??e ?? travers la notion d'une transformation groupe , d??termine ce que la g??om??trie est. Sym??trie dans le classique la g??om??trie euclidienne est repr??sent?? par congruences et mouvements rigides, alors que dans g??om??trie projective un r??le analogue est jou?? par collin??ations, transformations g??om??triques qui prennent des lignes droites dans les lignes droites. Cependant, il ??tait dans les nouvelles g??om??tries de Bolyai et Lobachevsky, Riemann, Clifford et Klein, et Sophus Lie que l'id??e de Klein de ??d??finir une g??om??trie via son groupe de sym??trie ??se est av??r?? le plus influent. Les deux sym??tries discr??tes et continues jouent un r??le de premier plan dans la g??om??trie, le premier en topologie et th??orie g??om??trique des groupes, ce dernier en la th??orie de Lie et La g??om??trie de Riemann.
La g??om??trie moderne
La g??om??trie moderne est le titre d'un manuel populaire par Dubrovin, Novikov, et Fomenko publi??s en 1979 (en russe). A pr??s de 1000 pages, le livre a un fil majeur: structures g??om??triques de diff??rents types sur les collecteurs et leurs applications dans contemporaine la physique th??orique. Un quart de si??cle apr??s sa publication, la g??om??trie diff??rentielle , la g??om??trie alg??brique, g??om??trie symplectique, et la th??orie de Lie pr??sent??e dans le livre restent parmi les zones les plus visibles de la g??om??trie moderne, avec de multiples connexions avec d'autres parties des math??matiques et de la physique.
G??om??tres contemporains
Certaines des figures de proue de repr??sentation ?? la g??om??trie moderne sont Michael Atiyah, Mikhail Gromov, et William Thurston. La caract??ristique commune dans leur travail est l'utilisation de vari??t??s lisses que l'id??e de base de l'espace; ils ont par ailleurs assez diff??rentes directions et int??r??ts. G??om??trie est maintenant, en grande partie, l'??tude des structures sur les vari??t??s qui ont une signification g??om??trique, dans le sens de la principe de covariance qui se trouve ?? la racine de la relativit?? g??n??rale la th??orie en physique th??orique. (Voir Cat??gorie: Ouvrages sur les vari??t??s pour une enqu??te).
Une grande partie de cette th??orie se rapporte ?? la th??orie de la sym??trie continue, ou en d'autres termes groupes de Lie. Du point de vue fondamental, sur les vari??t??s et leurs structures g??om??triques, important est le concept de pseudogroupe, d??finie formellement par Shiing-shen Chern en poursuivant id??es introduites par ??lie Cartan. Un pseudogroupe peut jouer le r??le d'un groupe de Lie de dimension infinie.
Dimension
O?? la g??om??trie traditionnelle permis dimensions 1 (un ligne), 2 (un plan ) et 3 (notre monde ambiante con??ue comme espace ?? trois dimensions), les math??maticiens ont utilis?? dimensions sup??rieures pour pr??s de deux si??cles. Dimension a travers?? les ??tapes de l'??tre tout entier naturel n, ??ventuellement infini avec l'introduction de Espace de Hilbert, et tout nombre r??el positif dans la g??om??trie fractale . la th??orie de la Dimension est un domaine technique, d'abord au sein topologie g??n??rale, qui traite les d??finitions; en commun avec la plupart des id??es math??matiques, la dimension est maintenant d??fini plut??t qu'une intuition. Li?? vari??t??s topologiques ont une dimension bien d??finie; ce est un th??or??me ( invariance de domaine) plut??t que quelque chose a priori.
La question de la dimension importe toujours ?? la g??om??trie, en l'absence de r??ponses compl??tes aux questions classiques. Dimensions de l'espace 3 et 4 du espace-temps sont des cas particuliers dans topologie g??om??trique. Dimension 10 ou 11 est un nombre cl?? dans la th??orie des cordes . Exactement pourquoi est une chose ?? laquelle la recherche peut apporter une r??ponse satisfaisante g??om??trique.
La g??om??trie euclidienne contemporain
L'??tude de la traditionnelle la g??om??trie euclidienne est pas mort. Il est maintenant g??n??ralement pr??sent??e comme la g??om??trie des espaces euclidiens de dimension quelconque, et de la Groupe euclidienne de mouvements rigides. Les formules fondamentales de la g??om??trie, comme le th??or??me de Pythagore , peuvent ??tre pr??sent??s de cette fa??on pour un g??n??ral espace int??rieur du produit.
La g??om??trie euclidienne est devenu ??troitement li?? ?? g??om??trie algorithmique, infographie, g??om??trie convexe, g??om??trie discr??te, et certaines zones de la combinatoire . Momentum a ??t?? donn?? ?? la poursuite des travaux sur la g??om??trie euclidienne et les groupes euclidiennes par cristallographie et le travail de HSM Coxeter, et peut ??tre vu dans les th??ories de Groupes de Coxeter et polytopes. Th??orie g??om??trique des groupes est un domaine en pleine expansion de la th??orie de la plus g??n??rale groupes discrets, se appuyant sur des mod??les g??om??triques et techniques alg??briques.
G??om??trie alg??brique
Le domaine de la g??om??trie alg??brique est l'incarnation moderne de la g??om??trie cart??sienne de coordonn??es. Apr??s une p??riode mouvement??e de axiomatisation, ses fondations sont dans le XXIe si??cle sur une base stable. Soit on ??tudie le cas ??classique?? o?? les espaces sont collecteurs complexes qui peuvent ??tre d??crits par ??quations alg??briques; ou la la th??orie de r??gime pr??voit une th??orie techniquement sophistiqu?? bas?? sur g??n??rales anneaux commutatifs .
Le style g??om??trique qui ??tait traditionnellement appel?? le ??cole italienne est maintenant connu comme g??om??trie birationnelle. Il a fait des progr??s dans les domaines de threefolds, la th??orie des singularit??s et espaces de modules, ainsi que la r??cup??ration et la correction de la majeure partie des r??sultats plus ??g??s. Objets de la g??om??trie alg??brique sont maintenant couramment appliqu??es dans la th??orie des cordes , ainsi que la g??om??trie diophantienne.
M??thodes de la g??om??trie alg??brique se appuient fortement sur la th??orie des faisceaux et d'autres parties alg??bre homologique. Le Hodge conjecture est un probl??me ouvert qui a progressivement pris sa place comme l'un des grandes questions pour les math??maticiens. Pour des applications pratiques, la th??orie de base de Gr??bner et g??om??trie alg??brique r??elle sont les principaux sous-champs.
G??om??trie diff??rentielle
G??om??trie diff??rentielle , qui, en termes simples est la g??om??trie de courbure, a ??t?? d'une importance croissante pour la physique math??matique depuis la suggestion que l'espace ne est pas espace plat. G??om??trie diff??rentielle contemporaine est intrins??que, ce qui signifie que l'espace est un collecteur et la structure est donn??e par un M??trique riemannienne, ou analogique, d??terminer localement une g??om??trie qui est variable d'un point ??.
Cette approche contraste avec le point de vue extrins??que, o?? la courbure signifie la fa??on dont un espace courbe dans un espace plus grand. L'id??e de grands espaces ??'est jet??, et au lieu collecteurs portent fibr??s vectoriels. Fondamentale de cette approche est la connexion entre courbure et classes caract??ristiques, comme en t??moignent les g??n??ralis??e th??or??me de Gauss-Bonnet.
Topologie et g??om??trie
Le domaine de la topologie , qui a vu un d??veloppement massif dans le 20e si??cle, est dans un sens technique un type de la g??om??trie des transformations, dans lequel transformations sont hom??omorphismes . Cela a souvent ??t?? exprim??e sous la forme du dicton ??topologie est la g??om??trie caoutchouc feuille '. Contemporain topologie g??om??trique et topologie diff??rentielle, et sous-domaines particuliers tels que La th??orie de Morse, serait compt?? par la plupart des math??maticiens dans le cadre de la g??om??trie. Topologie alg??brique et topologie g??n??rale ont pass?? leurs propres moyens.
D??veloppement axiomatique et ouvert
Le mod??le des El??ments d'Euclide, un d??veloppement connexe de la g??om??trie comme une syst??me axiomatique, est dans une tension avec La r??duction de Ren?? Descartes de la g??om??trie ?? l'alg??bre au moyen d'un syst??me de coordonn??es. Il y avait beaucoup de champions la g??om??trie synth??tique, le d??veloppement Euclid style de la g??om??trie projective, au XIXe si??cle, Jakob Steiner ??tant une figure particuli??rement brillant. A la diff??rence de ces approches ?? la g??om??trie comme un syst??me ferm??, aboutissant ?? Hilbert axiomes et consid??r?? comme une valeur p??dagogique importante, plus la g??om??trie contemporaine est une question de style. La g??om??trie synth??tique de calcul est maintenant une branche de alg??bre informatique.
L'approche cart??sienne pr??domine actuellement, avec des questions g??om??triques ??tant abord??s par des outils provenant d'autres parties des math??matiques, et les th??ories g??om??triques ??tant tout ?? fait ouvert et int??gr??. Ceci doit ??tre consid??r?? dans le contexte de l'axiomatisation de l'ensemble de math??matiques pures, qui se est pass?? dans la p??riode c.1900-c.1950: en principe, toutes les m??thodes sont sur un pied d'axiomatique commun. Cette approche r??ductrice a eu plusieurs effets. Il ya une tendance taxonomique, qui, apr??s Klein et son programme d'Erlangen (une taxonomie sur la base du concept de sous-groupe) organise th??ories selon la g??n??ralisation et la sp??cialisation. Par exemple la g??om??trie affine est plus g??n??rale que la g??om??trie euclidienne, et plus sp??cial que la g??om??trie projective. Toute la th??orie de groupes classiques devient ainsi un aspect de la g??om??trie. Leur la th??orie des invariants, ?? un moment donn?? au XIXe si??cle prises pour ??tre le ma??tre th??orie g??om??trique prospective, ne est qu'un aspect de la g??n??rale la th??orie des repr??sentations des groupes de Lie. Utilisation un corps fini, les groupes classiques donnent lieu ?? groupes finis, intensivement ??tudi??s par rapport ?? la groupes simples finis; et associ?? g??om??trie finie, qui a ?? la fois combinatoire (synth??tique) et les c??t??s alg??bro-g??om??trique (cart??siennes).
Un exemple de ces derni??res d??cennies est le Twistor th??orie de Roger Penrose, d'abord une th??orie intuitive et synth??tique, puis par la suite r??v??l?? ??tre un aspect de la th??orie des faisceaux sur vari??t??s complexes. En revanche, la la g??om??trie non-commutative de Alain Connes est une utilisation consciente du langage g??om??trique d'exprimer les ph??nom??nes de la th??orie de alg??bres de von Neumann, et d'??tendre la g??om??trie dans le domaine des la th??orie des anneaux o?? le loi commutative de la multiplication ne est pas assum??e.
Une autre cons??quence de l'approche contemporaine, attribuable dans une large mesure sur le lit de Procuste repr??sent?? par Bourbakiste axiomatisation essayant de terminer le travail de David Hilbert , est de cr??er des gagnants et des perdants. Le Ausdehnungslehre (calcul de l'extension) des Hermann Grassmann ??tait depuis de nombreuses ann??es une mare math??matique, en comp??tition dans trois dimensions contre d'autres th??ories populaires dans le domaine de la physique math??matiques tels que ceux issus de la quaternions. Dans la forme de g??n??ral alg??bre ext??rieure, il est devenu un b??n??ficiaire de la pr??sentation de Bourbaki Alg??bre multilin??aire, et ?? partir de 1950 a ??t?? omnipr??sente. De la m??me fa??on, Alg??bre de Clifford est devenu populaire, aid?? par un livre 1957 Geometric Algebra par Emil Artin. L'histoire de ??perdu?? les m??thodes g??om??triques, par exemple points infiniment proches, qui ont ??t?? abandonn??s car ils ne ont pas bien se adapter dans le monde purement math??matique post- Principia Mathematica, est encore ??crite. La situation est analogue ?? l'expulsion de infinit??simales de le calcul diff??rentiel. Comme dans ce cas, les concepts peuvent ??tre r??cup??r??s par de nouvelles approches et d??finitions. Celles-ci pourraient ne pas ??tre unique: g??om??trie diff??rentielle synth??tique est une approche de infinitesimals du c??t?? de logique cat??gorique, que analyse atypique est au moyen de th??orie des mod??les.
