Composition de Fonction

Renseignements g??n??raux

SOS Enfants, un organisme de bienfaisance de l'??ducation , a organis?? cette s??lection. Le parrainage d'enfants aide les enfants un par un http://www.sponsor-a-child.org.uk/ .

En math??matiques , une fonction composite, form?? par la composition d'une fonction sur l'autre, repr??sente l'application de la premi??re ?? la suite de l'application de ce dernier ?? l'argument du composite. Les fonctions f: X → Y et g: Y → Z peuvent ??tre compos??es en appliquant d'abord f ?? un argument x, puis en appliquant g au r??sultat. Ainsi on obtient une fonction g o f: X → Z d??finie par (g o f) (x) = g (f (x)) pour tout x dans X. La notation g o f est lu comme "g f cercle" ou "g compos??e de f??, ??g suivante f", ou tout simplement "g de f".

g o f, la composition de f et g

La composition des fonctions est toujours associative . Ce est, si f, g et h sont trois fonctions avec des domaines et codomaines convenablement choisis, alors f o (g o h) = (f o g) o h. Comme il n'y a pas de distinction entre les choix de placement de parenth??ses, ils peuvent ??tre laiss??s en toute s??curit?? hors tension.

Les fonctions g et f trajet ?? l'autre si g o f = f o g. En g??n??ral, la composition de fonctions ne sera pas commutative. Commutativit?? est une propri??t?? sp??ciale, atteint que par des fonctions particuli??res, et souvent dans des circonstances sp??ciales. Par exemple, $\ Left | x \ right | + 3 = \ left | x + 3 \ right | \,$ seulement quand $x \ ge 0$ . Mais fonctions inverses commutent toujours pour produire le cartographie d'identit??.

D??riv??s de compositions impliquant des fonctions diff??rentiables peuvent ??tre trouv??s en utilisant le r??gle de la cha??ne. D??riv??s "sup??rieur" de ces fonctions sont donn??s par Formule de Fa?? di Bruno.

Exemple

A titre d'exemple, supposons que l'altitude d'un avion ?? l'instant t est donn??e par la fonction h (t) et que la concentration d'oxyg??ne ?? la cote x est donn??e par la fonction C (x). Puis (c o h) (t) d??crit la concentration en oxyg??ne autour de l'avion ?? l'instant t.

Pouvoirs fonctionnels

Si $Y \ subseteq X$ puis $f: X \ rightarrow Y$ peut composer avec lui-m??me; ce est parfois not??e $f ^ 2 \,$ . Ainsi:

$(F \ circ f) (x) = f (f (x)) = f ^ 2 (x)$

$(F \ circ f \ circ f) (x) = f (f (f (x))) = f ^ 3 (x)$

Composition r??p??t??e d'une fonction avec lui-m??me est appel?? fonction it??ration.

Les fonctionnels pouvoirs $f \ circ f ^ n = f ^ n \ circ f = f ^ {n + 1}$ pour naturelle $n \,$ suivre imm??diatement.

Par convention, $f ^ 0 = id_ {D (f)} \,$ $\ Big ($ la carte d'identit?? sur le domaine de la $f \ big)$ .
Si $f: X \ rightarrow X$ admet une fonction inverse , les pouvoirs fonctionnels n??gatifs $f ^ {- k} \,$ $(K> 0 \,)$ sont d??finis comme la puissance inverse de la fonction inverse, $(F ^ {- 1}) ^ k \,$ .

Remarque: Si f prend ses valeurs dans un anneau (en particulier pour de vrai ou de valeur complexe f), il existe un risque de confusion, comme f ⁿ pourrait ??galement se tenir pour le produit n -fois de f, par exemple f ² (x) = f (x) ?? f (x ).

(Fonctions trigonom??triques, g??n??ralement celle-ci est destin??e, au moins pour les exposants positifs. Par exemple, dans trigonom??trie, cette notation exposant repr??sente norme exponentiation lorsqu'il est utilis?? avec les fonctions trigonom??triques : sin ² (x) = sin (x) ?? sin (x). Toutefois, pour les exposants n??gatifs (en particulier -1), il se agit n??anmoins g??n??ralement ?? la fonction inverse, par exemple, tan ^-1 = arctan (≠ 1 / tan).

Dans certains cas, une expression de f en g (x) = f ^r (x) peut ??tre d??riv??e de la r??gle G donn?? des valeurs non enti??res de r. Cela se appelle it??ration fractionn??e. Un exemple simple serait que o?? f est la fonction successeur, f ^r (x) = x + r.

Fonctions r??p??t??es se produisent naturellement dans l'??tude des fractales et syst??mes dynamiques.

mono??des de composition

Supposons que l'on a deux (ou plus) fonctions f: X → X, g: X → X ayant le m??me domaine et la port??e. Alors on peut former de longues cha??nes, potentiellement complexes de ces fonctions compos??es ensemble, comme f o f o g o f. Ces longues cha??nes ont la structure alg??brique d'un mono??de, parfois appel?? le mono??de de composition. En g??n??ral, mono??des de composition peuvent avoir une structure remarquablement compliqu??. Un exemple notable est le particulier courbe de Rham. L'ensemble de toutes les fonctions f: X → X est appel?? pleine semigroupe de transformation sur X.

Si les fonctions sont bijective, alors l'ensemble de toutes les combinaisons possibles de ces fonctions forment un groupe ; et on dit que le groupe est g??n??r??e par ces fonctions.

L'ensemble de tous fonctions bijective f: X → X forment un groupe par rapport ?? l'op??rateur de composition. Ceci est le groupe sym??trique, parfois aussi appel?? le groupe de composition.

Alternative notation

Au milieu du 20e si??cle , certains math??maticiens ont d??cid?? que l'??criture "g o f?? signifie ??appliquer d'abord f, g puis appliquer" ??tait trop confus et a d??cid?? de changer notations. Ils ont ??crit "xf" pour "f (x)?? et ??XFG" pour "g (f (x))". Cela peut ??tre plus naturel et semble plus simple que l'??criture des fonctions sur la gauche dans certaines r??gions.

Cat??gorie Th??orie utilise f; g interchangeable avec g o f.

op??rateur de composition

??tant donn?? une fonction g, l'op??rateur de composition $C_g$ qui est d??fini comme ??tant op??rateur qui fait correspondre ?? des fonctions comme des fonctions

$C_g f = f \ circ g.$

op??rateurs de composition sont ??tudi??s dans le domaine de la la th??orie de l'op??rateur.

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