Exponentiation

Renseignements g??n??raux

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Exponentiation est une math??matique op??ration, ??crit un ^n, de deux nombres, les base un et l'exposant n. Lorsque n est un positif entier , exponentiation correspond ?? r??p??t??e multiplication :

$un ^ n = \ {underbrace un \ times \ cdots \ fois par} _n,$

de m??me que la multiplication par un nombre entier correspondant ?? r??p??t??es outre :

$une fois \ n = \ underbrace {a + \ cdots + a} _n.$

L'exposant est g??n??ralement repr??sent?? comme un Exposant ?? droite de la base. Le exponentiation un ⁿ peut ??tre lu comme: une ??lev?? ?? la puissance n-i??me ou ??lev?? ?? la puissance [de] n, ou plus bri??vement: a ?? la puissance n-i??me ou ?? la puissance [de] n ou encore plus bri??vement: un ?? la n. Certains exposants peuvent ??tre lus d'une certaine mani??re; par exemple un ^deux est g??n??ralement lu comme un carr?? et un ³ comme un cube.

La puissance d'un ⁿ peut ??galement ??tre d??finie lors de l'exposant n est un entier n??gatif. Lorsque la base a est un nombre r??el positif, exponentiation est d??fini pour les exposants r??els et m??me complexes n. La sp??ciale fonction exponentielle e ^x est fondamental pour cette d??finition. Il permet les fonctions de la trigonom??trie ?? se exprimer par exponentiation. Cependant, lorsque la base ne est pas un un nombre r??el positif et l'exposant n est pas un entier, un ⁿ ne peut pas ??tre d??fini comme un unique, d'une fonction continue.

O?? l'exposant de l'exponentiation est une matrice est utilis??e pour r??soudre des syst??mes ??quations diff??rentielles lin??aires.

Exponentiation est utilis?? omnipr??sente dans de nombreux autres domaines ainsi, y compris l'??conomie, la biologie, la chimie, la physique et l'informatique, avec des applications telles que l'int??r??t compos??, la croissance de la population, chimiques cin??tique de la r??action, vague comportement, et cryptographie ?? cl?? publique.

Exponentiation avec exposants entiers

L'op??ration d'exponentiation avec des exposants entiers ne n??cessite alg??bre ??l??mentaire .

Exposants entiers positifs

² = a ?? un est appel?? carr?? d'un parce que la zone d'un carr?? de c??t?? de longueur a est un ^deux.

³ = a ?? une ?? un est appel?? cube, parce que le volume d'un cube avec une longueur lat??rale est ^3.

Donc 3 ² est prononc?? "trois carr????, et deux ³ est "deux cubes".

L'exposant dit combien de copies de la base sont multipli??s ensemble. Par exemple, 3 ⁵ = 3 ?? 3 ?? 3 ?? 3 ?? 3 = 243. La base 3 appara??t cinq fois dans la multiplication r??p??t??e, puisque l'exposant est 5. Ici, 3 est la base, 5 est l'exposant, et 243 est la puissance ou, plus pr??cis??ment, la cinqui??me puissance de 3 ou 3 ??lev?? ?? la puissance cinq.

Le mot ??en relief?? est g??n??ralement omise, et le plus souvent ??pouvoir?? ainsi, donc 3 ⁵ est g??n??ralement prononc?? "trois ?? la cinqui??me" ou "trois ?? cinq".

Formellement, puissances ayant des exposants entiers positifs peuvent ??tre d??finies par l'??tat initial a ¹ = a et la une relation de r??currence ^{n 1} = a ?? un ^n.

Exposants et une nulle

Notez que 3 ¹ est le produit d'un seul 3, ce qui est ??videmment trois.

Notez ??galement que 3 ⁵ = 3 ?? 3 ^4. Aussi 3 ⁴ = 3 ?? 3 ^3. La poursuite de cette tendance, nous devrions avoir

3 = ¹ 3 3 ⁰ ??.

Une autre fa??on de faire est que lorsque n, m, et n - m est positif (et si x ne est pas ??gal ?? z??ro), on peut voir en comptant le nombre d'occurrences de x que

$\ Frac {x ^ n} {x} ^ m = x ^ {n - m}.$

??tendue au cas que n et m sont ??gaux, l'??quation se lirait

$1 = \ frac {x ^ n} {x} ^ n = x ^ {n - n} = x ^ 0$

depuis le num??rateur et le d??nominateur sont ??gaux. Par cons??quent, nous prenons cela comme la d??finition de x ^0.

Par cons??quent, nous d??finissons 3 ⁰ = 1, de sorte que l'??galit?? ci-dessus d??tient. Cela conduit ?? la r??gle suivante:

Ne importe quel nombre ?? la puissance 1 est lui-m??me.
Tout nombre diff??rent de z??ro ?? la puissance 0 est une; une interpr??tation de ces pouvoirs est aussi produits vides. Le cas de ⁰ 0 est discut??e ci-dessous .

Interpr??tation combinatoire

Pour les entiers non-n??gatifs N et M, la puissance n ^m est ??gale ?? la cardinal de l'ensemble des m - un n tuples de -Element ensemble, ou le nombre de mots m de -Lettre d'un n -lettre alphabet.

0 ⁵ = | {} | = 0. Il n'y a pas 5-tuple de l'ensemble vide.

1 ⁴ = | {(1,1,1,1)} | = 1. Il est un 4-uplet d'un ensemble ?? un ??l??ment.

2 ³ = | {(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1, 2), (2,2,1), (2,2,2)} | = 8. Il ya huit 3-uplets d'un ensemble de deux ??l??ments.

3 ² = | {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)} | = 9. Il ya 9 2-uplets d'un ensemble ?? trois ??l??ments.

4 ¹ = | {(1), (2), (3), (4)} | = 4. Il existe une 4-uplets d'un ensemble ?? quatre ??l??ments.

5 ⁰ = | {()} | = 1. Il est exactement un vide tuple.

Voir aussi EXPONENTIATION sur des ensembles .

Exposants entiers n??gatifs

??lever un nombre diff??rent de z??ro ?? la puissance -1 produit son r??ciproque.

$un ^ {- 1} = \ frac {1} {a}$

Ainsi:

$un ^ {- n} = (a ^ n) ^ {- 1} = \ frac {1} {a ^ n}$

Raising 0 ?? une puissance n??gative impliquerait division par 0, et ainsi ne est pas d??fini.

Un exposant entier n??gatif peut ??galement ??tre consid??r??e comme r??p??t??e division par la base. Ainsi $3 ^ {- 4} = (((1/3) / 3) / 3) / 3 = \ frac {1} {81} = \ frac {1} {3 ^ {4}}$ .

Identit??s et propri??t??s

Le plus important identit?? satisfaite par ??l??vation ?? une puissance enti??re est:

$un ^ {m + n} = a ^ m \ cdot un ^ n$

Cette identit?? a pour cons??quence:

$un m ^ {- n} = \ frac {a} {^ m ^ n} une$

pour a ≠ 0, et

$(A ^ m) ^ n = a ^ {m \ cdot n}$ .

Un autre identit?? de base est

$(Un \ cdot b) ^ n = a ^ n \ cdot b ^ n$ .

Bien que l'addition et la multiplication sont commutatif (par exemple, 2 + 3 = 5 = 3 + 2 et 3 ?? 2 = 6 = 3 ?? 2), exponentiation est pas commutative: 2 ³ = 8, mais 3 ² = 9.

De m??me, alors que l'addition et de multiplication sont associative (par exemple, (2 + 3) 4 2+ = 9 = (3 + 4) et (2 ?? 3) ?? 4 = 24 = 2 ?? (3 ?? 4), est exponentiation pas associatifs soit: 2 ³ ?? la puissance 4 est 8 ⁴ ou 4096, mais 2 ?? la puissance 3 ⁴ 2 est ⁸¹ ou 2.417.851.639.229.258.349.412.352 Sans parenth??ses pour modifier l'ordre de calcul, la commande est g??n??ralement compris comme ??tant de droite ?? gauche.:

$un b ^ ^ {c} = a ^ {(b ^ c)} \ ne (un b ^) ^ c = a ^ {(b \ cdot c)} = a ^ {b \ cdot c}$

Pouvoirs de dix

Voir Notation scientifique

Puissances de 10 sont facilement calcul??s dans la base dix ( d??cimal syst??me) Num??ro. Par exemple, 10 = ⁸ 100 000 000.

Exponentiation avec la base 10 est utilis?? dans la notation scientifique pour d??crire les grandes ou de petites quantit??s. Par exemple, 299 792 458 (la vitesse de la lumi??re dans le vide, en m??tres par seconde) peut ??tre ??crit comme 2,99792458 ?? 10 ⁸ puis approch??e que 2,998 ?? 10 ^8, (ou parfois 299,8 ?? 10 ⁶ ou 299.8E + 6, en particulier dans le logiciel de l'ordinateur).

Pr??fixes SI bas??s sur des puissances de 10 sont ??galement utilis??s pour d??crire petites ou grandes quantit??s. Par exemple, le pr??fixe kilo signifie 10 ³ = 1000, donc un kilom??tre est 1000 m??tres.

Pouvoirs de deux

Le positif des puissances de 2 sont importants dans la science informatique , car il ya 2 ⁿ valeurs possibles pour un n - bit variable. Voir syst??me de num??ration binaire .

Pouvoirs de deux sont importants dans la th??orie des ensembles depuis un ensemble de n membres a une puissance d??finie, ou un ensemble de tous les sous-ensembles de l'ensemble original, avec 2 ⁿ membres.

Les puissances n??gatives de deux sont couramment utilis??s, et les deux premiers ont des noms sp??ciaux: moiti??, et trimestre.

Pouvoirs d'un

Les puissances enti??res de l'un sont une: 1 ⁿ = 1.

Pouvoirs de z??ro

Si l'exposant est positif, la puissance du z??ro est nul: 0 ⁿ = 0, o?? n> 0.

Si l'exposant est n??gatif, la puissance de z??ro (0 ^{- n,} o?? n> 0) est toujours pas d??fini, car la division par z??ro est implicite.

Si l'exposant est z??ro, certains auteurs d??finissent ⁰ 0 = 1, alors que d'autres laissent ind??fini, comme on le verra ci-dessous .

Pouvoirs du moins un

Les pouvoirs du moins un sont utiles pour exprimer des s??quences altern??es.

Si l'exposant est pair, la puissance moins un est une: (-1) ^{2 n} = 1.

Si l'exposant est impair, la puissance moins un est moins un: (-1) ^{2 n 1} = -1.

Pouvoirs de l'unit?? imaginaire

Les pouvoirs de l' unit?? imaginaire i sont utiles pour exprimer des s??quences de p??riode 4. Voir, par exemple Racine de l'unit?? # P??riodicit??.

$i ^ {4n + 1} = i \! \$

Pouvoirs du e

Le num??ro e, la base du logarithme naturel , est un bien ??tudi?? constante approximativement ??gale ?? 2,718. Elle peut ??tre approxim??e par de grandes puissances positives ou n??gatives de nombres ?? proximit?? de l'un, tels que

$e \ approx1.001 ^ {1000} \,$

$e \ approx0.999 ^ {- 1 000} \,$

et d??finie comme ??tant la limite

$e = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac 1 n \ right) ^ n \,$

Tout pouvoir entier non nul de e peut ??tre calcul??e comme ceci:

$e ^ k = \ left (\ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right) ^ k = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac {k n \ cdot k} \ right) ^ {n \ cdot k} = \ lim_ {| m | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac km \ right) ^ m$

La fonction exponentielle , d??fini par

$e ^ x = \ lim_ {| n | \ rightarrow \ infty} \ left (1+ \ frac xn \ right) ^ n$

a des applications dans de nombreux domaines des math??matiques et de la science. Cette d??finition de l'e ^x correspond ?? la d??finition du e ^k lorsque x est un entier, mais elle se applique aussi pour les valeurs fractionnaires, r??els ou complexes de x, et m??me lorsque x est une matrice carr??e , qui est utilis?? dans les ??quations diff??rentielles ordinaires .

Une autre formule populaire est la s??rie de puissance

$e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} 2+ \ frac {x ^ 3} 6+ \ cdots + \ frac {x ^ n} {n!} + \ \ cdots,$ .

Pouvoirs de nombres r??els

Exponentiation avec diff??rentes bases; de haut en bas, base 10 (vert), la base e (rouge), base 2 (bleu), la base ?? (cyan). Notez comment tous les courbes passer par le point (0, 1). Ce est parce que, conform??ment aux propri??t??s des exponentiation , tout nombre non nul ?? la puissance 0 est ??gal ?? 1. A noter ??galement que pour x = 1, la valeur de y est ??gale ?? la base. Ce est parce que tout nombre ??lev?? ?? la puissance 1, ce est que m??me num??ro.

De haut en bas: x ^{1/8, 1/4} x, x ^1/2, x ^1, x ^2, x ^4, x ^8.

??lever un nombre r??el positif ?? un pouvoir qui ne est pas un nombre entier peut ??tre r??alis?? de deux fa??ons.

Nombre rationnel exposants peuvent ??tre d??finies en termes de n ^i??me racines, et des exposants non nuls arbitraires peuvent ensuite ??tre d??finies par la continuit??.
Le logarithme naturel peut ??tre utilis?? pour d??finir des exposants r??els ?? l'aide de la fonction exponentielle.

Les identit??s et les propri??t??s indiqu??es ci-dessus sont vraies pour les exposants non entiers ainsi.

Principal n-i??me racine

Un n-i??me racine d'un certain nombre a est un nombre b tel que b ⁿ = a.

Lorsqu'on se r??f??re ?? la n i??me racine d'un nombre r??el a, on suppose que ce qui est souhait?? est la principale racine n i??me du nombre. Si a est un nombre r??el, et n est un nombre entier positif, alors la solution vraie unique avec le m??me signe en tant que l'??quation

$\ X ^ n = a$

est appel??e le principal n ^i??me racine d'un, et est not??e $\ Sqrt [n] {a}$ en utilisant le radical symbole $(\ Sqrt {\, \,})$ .

$x = a ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {a}$ .

Par exemple: 4 ^1/2 = 2, 8 ^1/3 = 2, (-8) ^1/3 = -2,.

Notez que si n est ??gal ?? m??me, les nombres n??gatifs ne auront pas un principal n i??me racine.

Puissances rationnelles de nombres r??els positifs

Exponentiation avec une rationnelle exposant m / n peut ??tre d??finie comme

$un ^ {\ frac {m} {n}} = \ left (un ^ m \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {a} ^ m$ .

Par exemple, 8 ^2/3 = 4.

Puisque tout nombre r??el peut ??tre approch??e par des nombres rationnels, ?? une exponentiation r??el exposant k arbitraire peut ??tre d??fini par continuit?? avec la r??gle

$a ^ k = \ {lim_ r \} ?? k a ^ r,$

o?? la limite est prise seulement sur des valeurs rationnelles de r.

Par exemple, si

$k \ environ 1,732$

puis

$5 ^ k \ environ 5 ^ {1,732} = 5 ^ {} 433/250 = \ sqrt [250] {5} ^ {433} \ environ 16,241.$

De r??els pouvoirs de nombres r??els positifs

Le logarithme naturel ln (x) est l' inverse de la fonction exponentielle e ^x. Il est d??fini pour chaque nombre r??el positif b et satisfait l'??quation

$b = e ^ {\ ln b}. \,$

En supposant b ^x est d??j?? d??fini, exponentielles et les logarithmes r??gles donnent l'??galit??

$b ^ x = (e ^ {\ ln b}) ^ x = e ^ {x \ cdot \ ln b}. \,$

Cette ??galit?? peut ??tre utilis?? pour d??finir exponentiation avec toute base r??elle b positif

$b ^ x = e ^ {x \ cdot \ ln b}. \,$

Cette d??finition du nombre r??el pouvoir b ^x est d'accord avec la d??finition donn??e ci-dessus en utilisant des exposants rationnels et la continuit??. La d??finition de l'??l??vation ?? une puissance ?? l'aide des logarithmes est plus commun dans le cadre de nombres complexes, comme discut?? ci-dessous.

Certaines puissances rationnelles de nombres r??els n??gatifs

Ni la m??thode du logarithme, ni la m??thode d'exposant fractionnaire peuvent ??tre utilis??s pour d??finir un ^k comme un nombre r??el d'un n??gatif et un nombre r??el arbitraire nombre r??el k. Dans certains cas particuliers, une d??finition est possible: des puissances enti??res de nombres r??els n??gatifs sont des nombres r??els, et les pouvoirs rationnels de la forme d'un ^{m / n} o?? n est impair peut ??tre calcul?? en utilisant les racines. Mais comme il n'y a pas de nombre r??el x tel que x ² = -1, la d??finition d'un ^{m / n} quand n est pair et m est impair doivent utiliser le unit?? imaginaire i, comme d??crit plus en d??tail dans la section suivante.

La m??thode de logarithme ne peut pas ??tre utilis?? pour d??finir un ^k comme un nombre r??el quand un <0 car e ^x est positive pour chaque nombre r??el x, alors connectez-vous (a) ne peut pas ??tre un nombre r??el.

La m??thode d'exposant rationnelle ne peut pas ??tre utilis?? pour les valeurs n??gatives d'un car elle repose sur la continuit??. La fonction f (r) = a ^r a une extension continue unique ?? partir des nombres rationnels aux nombres r??els pour chaque a> 0. Mais quand un <0, la fonction f ne est m??me pas en continu sur l'ensemble des nombres rationnels r pour lesquels elle est d??finie.

Par exemple, prenez = -1. La n i??me racine de -1 est -1 pour chaque nombre impair naturel n. Donc, si n est un entier positif impair, (-1) ^{(m / n)} = -1 si m est impair, et (-1) ^{(m / n)} = 1 si m est pair. Ainsi, l'ensemble des nombres rationnels q pour lesquels -1 ^q = 1 est dense dans les nombres rationnels, comme ce est l'ensemble de q pour lequel ^q = -1 -1. Cela signifie que la fonction ^q (-1) ne est pas continue ?? ne importe quel nombre rationnel q o?? elle est d??finie.

Pouvoirs imaginaires de e

L' interpr??tation g??om??trique des op??rations sur les nombres complexes et la d??finition des pouvoirs de e est la cl?? pour comprendre ⁱ e ^{?? x} pour x r??el. Consid??rons le triangle (0, 1, 1+ i ?? x / n). Pour les grandes valeurs de n le triangle est presque un secteur circulaire avec un petit angle au centre ??gal ?? x / n radians. Les triangles (0, (1+ i ?? x / n) ^k, (1+ i ?? x / n) ^{k 1)} sont mutuellement similaire pour toutes les valeurs de k. Donc, pour les grandes valeurs de N le point de (1+ ix / n) limitant ⁿ est le point sur le cercle unit?? dont l'angle de l'axe r??el positif x est radians . Les coordonn??es polaires de ce point sont (r, θ) = (1, x), et les coordonn??es cart??siennes sont (cos (x), sin (x)). Alors E ^{i ?? x} = cos (x) + i ?? sin (x), et ce est La formule d'Euler, reliant l'alg??bre de trigonom??trie au moyen de nombres complexes .

Les solutions de l'??quation ^z = e 1 sont des multiples entiers de π ?? 2 ?? i:

$\ {Z: e ^ z = 1 \} = \ {k \ cdot 2 \ cdot \ pi cdot \ i: k \ in \ mathbb {Z} \}.$

Plus g??n??ralement, si e ^b = a, alors chaque solution e ^z = A peut ??tre obtenue en ajoutant un multiple entier de 2 ?? π ?? i to B:

$\ {Z: e ^ z = a \} = \ {b + k \ cdot 2 \ cdot \ pi \ cdot i: k \ in \ mathbb {Z} \}$ .

Ainsi, la fonction exponentielle complexe est un fonction p??riodique de p??riode 2 ?? π ?? i.

Les fonctions trigonom??triques

Il r??sulte de La formule d'Euler que la fonctions trigonom??triques cosinus et sinus sont

$\ cos (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z +} e ^ {- i \ cdot z}} {2} \ qquad \ sin (z) = \ frac {e ^ {i \ cdot z} - e ^ {- i \ cdot z}.} {2 \ cdot de i} \,$

Historiquement, les sinus et cosinus sont d??finis g??om??triquement avant l'invention de nombres complexes. La formule ci-dessus r??duit les formules complexes pour fonctions trigonom??triques d'une somme dans la formule d'exponentiation simples

$e ^ {i \ cdot (x + y)} = e ^ {i \ cdot x} \ cdot e ^ {i \ cdot y}. \,$

Utilisation exponentiation avec des exposants complexes on n'a pas besoin d'??tudier la trigonom??trie.

Pouvoirs complexes de e

La puissance e ^{x + i ?? y} est calcul?? e ^x ?? e ^{?? i y.} Le facteur r??el e ^x est la valeur absolue de l'e ^{x + i ?? Y} et le facteur complexe e ^{i ?? y} mentionne le direction de e ^{x + i ?? y.}

Pouvoirs complexes de nombres r??els positifs

Si a est un nombre r??el positif, et z est un nombre complexe, le pouvoir a ^z est d??fini comme e ^{z ?? ln (a),} o?? x = ln (a) est la vraie solution unique de l'??quation ^x = e a. Donc, de la m??me m??thode de travail pour les exposants r??els fonctionne ??galement pour les exposants complexes. Par exemple:

2 ⁱ = e ^{i ?? ln (2)} = cos (ln (2)) + i ?? sin (ln (2)) = i ?? 0,63896 0.7692+

e ⁱ = i ?? 0.54030+ 0,84147

10 ⁱ = i ?? -0.66820+ 0,74398

(E ^{2 ?? π)} = 535,49 ^{i i} = 1

Pouvoirs de nombres complexes

Des puissances enti??res de nombres complexes sont d??finis par multiplication ou division r??p??t??e comme ci-dessus. Pouvoirs complexes de r??els positifs sont d??finis via e ^x comme ci-dessus. Ce sont des fonctions continues. Essayer d'??tendre ces fonctions au cas g??n??ral des puissances non enti??res de nombres complexes qui ne sont pas r??els positifs conduit ?? des difficult??s. Soit nous d??finissons fonctions discontinues ou fonctions multiples. Aucune de ces options sont enti??rement satisfaisante.

La puissance rationnelle d'un nombre complexe doit ??tre la solution ?? une ??quation alg??brique. Par exemple, w = z ^1/2 doit ??tre une solution de l'??quation z = w ^2. Mais si w est une solution, il en est - w, parce que (-1) ² = 1. Donc, l'??quation alg??brique w = z ² ne est pas suffisante pour d??finir z ^2.1. Choisir l'une des deux solutions que la principale valeur de z ^moiti?? nous laisse avec une fonction qui ne est pas continue, et les r??gles habituelles pour la manipulation des pouvoirs nous ??garer.

Le logarithme d'un nombre complexe

Une solution, z = log a, ?? l'??quation e ^z = a, est appel?? le valeur principale du logarithme complexe. Il est l'unique solution dont la partie imaginaire r??side dans le . intervalle (-π, π] Par exemple, log 1 = 0, log (-1) = π i, i = connecter π i / 2, et log (-. i) = i -π / 2 La valeur principale de le logarithme est connue comme une branche du logarithme; autres branches peuvent ??tre sp??cifi??es en choisissant une gamme diff??rente pour la partie imaginaire du logarithme La fronti??re entre les branches est connu comme un. Branch Cut. La valeur principale a une coupure de branche se ??tendant depuis l'origine le long de l'axe r??el n??gatif, et est discontinue ?? chaque point de la branche coup??e.

Alimentation complexe d'un nombre complexe

Le grand complexe de puissance a ^b d'un nombre complexe non nul est d??fini comme un

$a ^ b = e ^ {\ log (a ^ b)} = e ^ {b \ cdot \ log a}. \,$

Lorsque l'exposant est un nombre rationnel de la puissance z = a ^{n / m} est une solution de l'??quation z = ^m a ^n.

Le calcul des pouvoirs complexes est facilit??e par une conversion de la base en forme polaire, comme d??crit en d??tail ci-dessous .

Racines complexes de l'unit??

Un nombre complexe a tel que a = 1 pour ⁿ un nombre entier positif n est un n-i??me racine de l'unit??. G??om??triquement, la n-i??me racines de l'unit?? se trouvent sur le cercle unit?? du plan complexe aux sommets d'un n-gon r??gulier avec un sommet sur le nombre r??el 1.

Si z ⁿ = 1, mais z ^k ≠ 1 pour tous les nombres naturels k tel que 0 <k <n, alors z est appel?? un n i??me primitive racine de l'unit??. L'unit?? n??gative -1 est la seule racine carr??e primitive de l'unit??. L' unit?? imaginaire i est l'une des deux racines primitives 4-??me de l'unit??; l'autre est - i.

Le nombre e ^{2 πi (1 / n)} est le n i??me primitive racine de l'unit?? avec le plus petit positif argumentation complexe. (Il est parfois appel?? le principal n i??me racine de l'unit??, m??me si cette terminologie ne est pas universelle et ne doit pas ??tre confondu avec le principale valeur de ⁿ √ 1, qui est 1.)

Les autres n i??me racines de l'unit?? sont donn??s par

$\ Left (e ^ {2 \ pi i (1 / n)} \ right) ^ k = e ^ {2 \ pi ik / n}$

pour 2 ≤ k ≤ n.

Racines de nombres complexes arbitraires

Bien qu'il existe une infinit?? de valeurs possibles pour un logarithme complexe g??n??ral, il ne existe qu'un nombre fini de valeurs de la puissance de ^z dans le cas particulier important lorsque z = 1 / n et n est un nombre entier positif. Il se agit de la n i??me racines d'un; ce sont des solutions de l'??quation x = ⁿ a. Comme avec de vraies racines, une deuxi??me root est aussi appel?? une racine carr??e et un troisi??me root est aussi appel?? une racine cubique.

Il est classique en math??matiques pour d??finir un ^{1 / n} comme la principale valeur de la racine. Si a est un nombre r??el positif, il est ??galement classique pour s??lectionner un nombre r??el positif que la valeur principale de la racine d'un ^{1 / n.} Pour les nombres complexes g??n??raux, le n i??me racine avec le plus petit argument est souvent choisie comme la principale valeur de la n i??me op??ration de racine, comme avec les valeurs principales de racines de l'unit??.

L'ensemble des n i??me racines d'un nombre complexe a est obtenu en multipliant la valeur nominale de ^{1 / n} par chacun des n i??me racines de l'unit??. Par exemple, les racines quatri??mes de 16 sont 2, -2, 2 i, i et -2, parce que la valeur principale de la racine quatri??me de 16 est 2 et le quatri??me racines de l'unit?? sont 1, -1, i, et - i.

Informatique pouvoirs complexes

Il est souvent plus facile ?? calculer pouvoirs complexes en ??crivant le num??ro ?? exponentielle en forme polaire . Chaque nombre complexe z peut ??tre ??crit sous la forme polaire

$z = re ^ {i \ theta} = e ^ {\ log (r) + i \ theta} \ ,,$

o?? r est un nombre r??el non n??gatif et θ est le (r??el) l'argument de z. L'argument, comme le logarithme complexe, poss??de de nombreuses valeurs possibles pour chaque z et donc un Branch Cut permet de choisir une valeur sp??cifique. La forme polaire a une interpr??tation g??om??trique simple: si un nombre complexe u + iv est consid??r?? comme repr??sentant un point (u, v) dans le plan complexe en utilisant les coordonn??es cart??siennes , alors (r, θ) est le m??me point de coordonn??es polaires . Ce est, r est le "rayon" r ² = u ² + v ² et θ est le "angle" θ = atan2 (v, u). La coupure de branche correspond ?? l'id??e que un angle θ polaire est ambigu??, car tout multiple de 2π pourrait ??tre ajout?? ?? θ sans changer l'emplacement du point. La valeur principale (coupure de branche la plus courante), comme mentionn?? ci-dessus, correspond ?? θ choisie dans l'intervalle (-π, π].

Afin de calculer la puissance d'un complexe ^b, ??crire un sous forme polaire:

$a = r e ^ {i \ theta} \,$ .

Puis

$\ Log a = \ log r + i \ theta \ ,,$

et ainsi

$a ^ b = e ^ {b \ journal a} = e ^ {b (\ log r + i \ theta)}. \,$

Si b est d??compos??e comme c + di, alors la formule pour une ^b peut se ??crire plus explicitement que

$\ Left (r ^ CE ^ {- d \ theta} \ right) e ^ {i (d \ log r + c \ theta)} = \ left (r ^ CE ^ {- d \ theta} \ right) \ gauche [\ cos (d \ log r + c \ theta) + i \ sin (d \ log r + c \ theta) \ right].$

Cette formule finale permet pouvoirs complexes pour ??tre calcul??es facilement de d??compositions de la base en forme polaire et l'exposant en forme cart??sienne. Il est montr?? ici ?? la fois sous forme polaire et sous forme cart??sienne (via l'identit?? d'Euler).

Les exemples suivants utilisent la valeur du capital, la coupe de branche qui provoque θ ??tre dans l'intervalle (-π, π] Pour calculer i ^i, i ??crire dans des formes polaires et cart??siennes.:

$i = 1 \ cdot e ^ {i \ pi / 2}, \,$

$i = 0 + 1i. \,$

Ensuite, la formule ci-dessus, avec r = 1, θ = π / 2, c = 0 et d = 1, on obtient:

$\ I ^ i = \ left (1 ^ 0 e ^ {- \ pi / 2} \ right) e ^ {i (1 \ cdot \ log 1 + 0 \ cdot \ pi / 2)} = e ^ {- \ pi / 2} \ environ 0,2079.$

De m??me, ?? trouver (-2) ^{3 + 4 i,} calculer la forme polaire de -2,

$-2 = 2e ^ {i \ pi} \,,$

et utiliser la formule ci-dessus pour calculer

$(-2) ^ {3 + 4i} = \ left (2 ^ 3 e ^ {- 4 \ pi} \ right) e ^ {i (4 \ log (2) + 3 \ pi)} \ environ (2,602 - 1.006 i) \ cdot 10 ^ {- 5}.$

La valeur d'une puissance complexe d??pend de la branche utilis??. Par exemple, si la forme polaire i = 1 e ^{i (5π / 2)} est utilis??e pour calculer i ^i, la puissance se av??re e ^{-5π / 2;} la principale valeur de i ^i, calcul?? ci-dessus, est e ^{-π / 2.}

D??faillance de l'alimentation et de logarithme identit??s

Identit??s de pouvoirs et logarithmes qui d??tiennent pour les nombres r??els positifs peuvent ??chouer lorsque les nombres r??els positifs sont remplac??s par des nombres complexes arbitraires. Il n'y a aucune m??thode pour d??finir les pouvoirs complexes ou le logarithme complexe que les fonctions de valeurs complexes tout en pr??servant les identit??s poss??dent ces op??rations dans les nombres r??els positifs.

Un exemple impliquant logarithmes concerne le journal de la r??gle ^{(un b)} = b ?? log A, qui d??tient chaque fois qu'un est un nombre r??el positif et b est un nombre r??el. Le calcul suivant montre que cette identit?? ne tient pas en g??n??ral pour la valeur principale du logarithme complexe quand un ne est pas un nombre r??el positif:

$i \ pi = \ log (-1) = \ log ((- i) ^ 2) \ neq 2 \ log (-i) = 2 (-i \ pi / 2) = -i \ pi.$

Quelle que soit la branche du logarithme est utilis??, une d??faillance similaire de l'identit?? existera toujours.

Un exemple impliquant r??gles d'alimentation concerne les identit??s

$(Ab) ^ c = a ^ cb ^ c, \ qquad \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ c = \ frac {a} {c ^ b ^ c}.$

Ces identit??s sont valides lorsque a et b sont des nombres r??els positifs et c est un nombre r??el. Mais un calcul utilisant des valeurs principales montre que

$1 = (-1 \ cdot -1) ^ {1/2} \ = pas (-1) ^ {1/2} (- 1) ^ {1/2} = -1,$

$i = (-1) ^ {1/2} = \ left (\ frac {1} {- 1} \ right) ^ {1/2} \ = pas \ frac {1 ^ {1/2}} {( -1) ^ {1/2}} = \ frac {1} {} i = -i.$

Ces exemples montrent que les pouvoirs et les logarithmes complexes ne se comportent pas de la m??me mani??re que leurs homologues r??els, et donc la prudence est n??cessaire lorsque l'on travaille avec les versions de ces op??rations complexes.

Z??ro ?? la puissance z??ro

Terrain de z = abs (x ^y) avec les diff??rentes courbes (rouge) montrant comment ⁰ 0 peut ??valuer ?? des valeurs diff??rentes. Les courbes vertes tous ont une limite de 1.

L'??valuation de ⁰ 0 pose un probl??me, parce que le raisonnement math??matique diff??rente conduit ?? des r??sultats diff??rents. Le meilleur choix pour la valeur d??pend du contexte. Selon Benson (1999), "Le choix se il faut d??finir ⁰ 0 est bas?? sur la commodit??, pas correcte." Il ya deux principaux traitements dans la pratique, un de math??matiques discr??tes et l'autre de l'analyse.

Dans de nombreux contextes, en particulier dans les fondations et combinatoire, ⁰ 0 est d??finie ?? 1. Cette d??finition se pose dans les traitements fondamentaux des nombres naturels comme cardinaux finis , et est utile pour raccourcir identit??s combinatoires et la suppression des cas particuliers de th??or??mes, comme illustr?? ci-dessous. Dans de nombreux autres param??tres, ⁰ 0 ne est pas d??finie. Dans le calcul , 0 ⁰ est un forme ind??termin??e, qui doit ??tre analys?? plut??t que ??valu??e. En g??n??ral, l'analyse math??matique traite comme ⁰ 0 undefined afin que la fonction exponentielle ??tre continue.

Justifications pour d??finir ⁰ 0 = 1 comprennent:

Lorsque 0 ⁰ est consid??r?? comme un vide produit de z??ros, sa valeur est 1.
L' interpr??tation combinatoire de ⁰ 0 est le nombre de lignes vides d'??l??ments de l'ensemble vide. Il ya exactement un vide tuple.
De mani??re ??quivalente, l' interpr??tation de la th??orie des ensembles de ⁰ 0 est le nombre de fonctions de l'ensemble vide ?? l'ensemble vide. Il est exactement une telle fonction, le fonction vide.
Il simplifie grandement la th??orie de polyn??mes et s??ries de puissance qu'un terme constant peut ??tre ??crit pour une hache ⁰ x arbitraire. Par exemple:
- La formule pour les coefficients dans un produit de polyn??mes perdrait beaucoup de sa simplicit?? si les termes constants devaient ??tre trait??s sp??cialement.
- Une s??rie de puissance tel que $\ Textstyle e ^ {x} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!}$ ne est pas valable pour x = 0 ⁰ 0 moins, qui appara??t dans le num??rateur du premier terme de la s??rie, est 1. Sinon il faudrait utiliser l'identit?? plus $\ Textstyle e ^ {x} = 1 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!}$ .
- Le th??or??me de bin??me $\ Textstyle (1 + x) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ k$ ne est pas valable pour x = 0, ?? moins ⁰ 0 = 1. En d??finissant ⁰ 0 ?? 1, un cas particulier du th??or??me peut ??tre ??limin??.
En le calcul diff??rentiel, le r??gle de puissance $\ Frac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1}$ ne est pas valide pour n = 1 ?? x = 0 ⁰ 0 = moins 1. D??finir cette fa??on ??limine la n??cessit?? d'un cas particulier de la r??gle de puissance.

Dans les contextes o?? l'exposant peut varier en continu, il est g??n??ralement pr??f??rable de traiter ⁰ 0 comme quantit?? mal d??fini. Justifications pour traiter comme undefined comprennent:

La valeur ⁰ 0 se pose souvent la limite officielle de fonctions exponentielles, f (x) ^{g (x),} o?? f (x) et g (x) approche 0 quand x tend vers un (une constante ou l'infini). L??, 0 ⁰ sugg??re [lim f (x)] ^{lim g (x),} qui est une quantit?? bien d??finie et est la valeur correcte de lim f (x) ^{g (x)} lorsque des constantes non nulles f et d'approche g, mais ne est pas bien d??fini quand approche f et g 0. Le m??me raisonnement se applique ?? certains pouvoirs impliquant l'infini , $\ Infty ^ 0$ et $1 ^ \ infty$ . Une mani??re plus abstraite de dire ce est la suivante: La fonction r??elle x ^y des deux non n??gatifs variables r??elles x et y ne est pas continue au point (x, y) = (0, 0), et ainsi de ⁰ ?? 0 ne est pas d??termin??e par la continuit??. Autrement dit, la fonction x ^y n'a pas d'extension continue ?? partir du premier quadrant ouvert pour inclure le point (0,0). La r??gle de calcul, que $\ {X lim_ \ ?? une} f (x) ^ {g (x) =} (\ {x lim_ \ ?? une} f (x)) ^ {\ {x lim_ \ ?? une} g (x)}$ si les deux c??t??s de l'??quation sont d??finis, ??chouerait si 0 ⁰ ont ??t?? d??finis.
La fonction z ^z, consid??r??e comme une fonction d'un nombre complexe z variable et d??fini comme e ^{z journal z} est undefined ?? z = 0 car journal z ne est pas d??fini ?? z = 0. De plus, parce z ^z a une logarithmique point z = 0 de la branche, il ne est pas commun ?? ??tendre le domaine de z ^z ?? l'origine dans ce contexte.

Traitement des langages de programmation

Les langages de programmation informatique qui ??valuent ⁰ 0 ?? 1 comprennent J, Java , Python , Ruby, Haskell, ML, Scheme, MATLAB, et la calculatrice de Microsoft Windows.

Maple simplifie de ⁰ ?? 1 et ^un 0 ?? 0, m??me si aucune contrainte sont plac??es sur un, et ??value 0 ^0-1.

Recherche Google lorsqu'il est utilis?? pour sa fonction calculatrice ??value 0 ^0-1.

Mathematica simplifie un ^0-1, m??me si aucune contraintes sont plac??es sur un. Il ne simplifie pas ^un 0, et il prend ⁰ 0 d'??tre une forme ind??termin??e.

Dans le .NET Framework, le m??thode System.Math.Pow traite ⁰ 0 ?? 1.

Pouvoirs avec l'infini

Expressions exponentielles impliquant l'infini peuvent ??tre consid??r??s comme des g??n??ralisations de types plus familiers de exponentiation, mais il ya au moins deux types distincts de g??n??ralisation fortement au cas infini. D'une part, il ya la combinatoire interpr??tation th??orique ou ensemble; voir exponentiation des nombres cardinaux .

D'autre part, on peut trouver des expressions telles que $\ Infty ^ 0$ et $1 ^ \ infty$ provenant d'analyse pour la m??me raison que 0 ^0, et ils ne sont pas d??finis pour la m??me raison. Ce est, il est vrai que (lim f (x)) ^{lim g (x)} = lim f (x) ^{g (x)} lorsque constantes non nulle fini F et d'approche de g, mais pas quand ils se approchent 0 ou l'infini; puis, ?? la limite de la puissance peut ??tre ne importe quoi, pas pr??visibles ?? partir des limites de f et g.

Il est logique de dire que $\ Infty = \ infty ^ \ infty$ Si ce est simplement interpr??t??e comme une abr??viation pour le th??or??me que si f et g approche ?? la fois l'infini quand x tend vers a, alors lim f (x) ^{g (x)} est aussi infinie. (De m??me, $\ Infty = 7 ^ \ infty$ , $\ Infty = 1,3 ^ \ infty$ , Etc.)

Calculer efficacement une puissance

La m??thode la plus simple de calculer a ⁿ n-1 n??cessite des op??rations de multiplication, mais elle peut ??tre calcul??e de fa??on plus efficace comme illustr?? par l'exemple suivant. Pour calculer 2 ^100, notez que 100 = 96 + 4 et 96 = 3 * 32. Calculer la suivante dans l'ordre:

2 ² = 4

(2 ^{2) 2} = 2 ⁴ = 16

(2 ^{4) 2} = 2 ⁸ = 256

(2 ^{8) 2} = 2 ¹⁶ = 65536

(2 ^{16) 2} = 2 ³² = 4294967296

2 ³² 2 ³² 2 ³² 2 ⁴ = 2 ¹⁰⁰

Cette s??rie d'??tapes ne n??cessite huit op??rations de multiplication au lieu de 99.

En g??n??ral, le nombre d'op??rations de multiplication n??cessaires pour calculer un ⁿ peut ??tre r??duite ?? Θ (log n) en utilisant Exponentiation rapide ou (plus g??n??ralement) exponentiation outre-cha??ne. Trouver la s??quence minimale de multiplications (dans la cha??ne d'addition longueur minimale de l'exposant) pour un ⁿ est un probl??me difficile pour lequel aucun des algorithmes efficaces sont actuellement connus, mais de nombreux algorithmes heuristiques raisonnablement efficaces sont disponibles.

La notation exponentielle pour les noms de fonction

D??poser une exposant entier apr??s le nom ou le symbole d'une fonction, comme si la fonction ??taient ??lev??s ?? une puissance, se r??f??re commun??ment ?? r??p??ter la composition de fonctions plut??t que la multiplication r??p??t??e. Ainsi f ³ (x) peut signifier f (f (f (x))); en particulier, f ^-1 (x) d??signe g??n??ralement la fonction inverse de f.

Cependant, pour des raisons historiques, une syntaxe sp??ciale se applique aux fonctions trigonom??triques : un exposant positive appliqu??e ?? l'abr??viation de la fonction signifie que le r??sultat est ??lev?? ?? ce pouvoir, tout en un exposant de -1 d??signe la fonction inverse. Ce est, sin ² x est juste un raccourci pour ??crire (sin x) ² sans l'aide de parenth??ses, alors que sin ^-1 x se r??f??re ?? la fonction inverse de la sinus, ??galement appel?? arcsin x. Il ne est pas n??cessaire pour un raccourci pour les inverses des fonctions trigonom??triques puisque chacun a son propre nom et abr??viation, par exemple 1 / sin (x) = (sin x) ^-1 est csc x. Une convention similaire se applique aux logarithmes, o?? log ² (x) = (log (x)) ² et il n'y a pas d'abr??viation courante pour log (log (x)).

G??n??ralisations de exponentiation

Exponentiation en alg??bre abstraite

Exponentiation pour exposants entiers peut être définie pour les structures très généraux dansl'algèbre abstraite.

Soit X soit un ensemble avec une puissance associative opération binaire, que nous écrirons multiplicativement. Dans cette situation très générale, on peut définir x ⁿ pour tout élément x de X et tout non nulle nombre naturel n , simplement en multipliant x par lui-même n fois; par définition, le pouvoir associativité signifie qu'il n'a pas d'importance dans quel ordre nous effectuons les multiplications.

Supposons maintenant en outre l'opération qui a un élément ayant une identité 1. Puis on peut définir x ⁰ soit égal à 1 pour chaque x . Maintenant x ⁿ est défini pour tout entier naturel n , y compris 0.

Enfin, supposons que l'opération a inverses, et que la multiplication est associative (de sorte que le magma est un groupe ). Ensuite, nous pouvons définir x ^-n à l'inverse de x ⁿ où n est un nombre naturel. Maintenant x ⁿ est défini pour tout entier n et tout x dans le groupe.

Exponentiation dans ce sens purement algébrique satisfait aux lois suivantes (à chaque fois que les deux parties sont définies):

$\ x^{m+n}=x^mx^n$
$\ x^{m-n}=x^m/x^n$
$\ x^{-n}=1/x^n$
$\ x^0=1$
$\ x^1=x$
$\ x^{-1}=1/x$
$\ (x^m)^n=x^{mn}$

Ici, nous utilisons une division slash ("/") pour indiquer multipliant par l'inverse, afin de réserver le symbole x ^-1 pour élever x à la puissance -1, plutôt que l'inverse de x . Cependant, comme l'un des états ci-dessus lois, x ^-1 est toujours égal à l'inverse de x , de sorte que la notation n'a pas d'importance à la fin.

Si en plus l'opération de multiplication estcommutative(de sorte que l'ensembleXest ungroupe abélien), puis nous avons quelques lois supplémentaires:

(xy)ⁿ=xⁿyⁿ
(x/y)ⁿ=xⁿ/yⁿ

Si nous prenons toute cette théorie de l'exponentiation dans un contexte algébrique mais écrivons l'opération binaire additive, "la multiplication exponentielle est répété", puis peut être réinterprété comme " la multiplication est répété plus ". Ainsi, chacune des lois de exponentiation ci-dessus a un analogue entre les lois de la multiplication.

Quand on a plusieurs opérations autour, celles-ci pouvant être répété en utilisant exponentiation, il est courant d'identifier les opérations qui se répète en plaçant son symbole dans l'exposant. Ainsi, x ^*n est x * ··· * x , alors x ^#n est x ··· # # x , quelles que soient les opérations * et # soient.

Exposant notation est également utilisé, en particulier dans la théorie des groupes , pour indiquer la conjugaison. Autrement dit, g ^h = h ^-1 gh , où g et h sont des éléments d'un certain groupe . Bien que la conjugaison obéit à certains des mêmes lois que exponentiation, il est pas un exemple de la multiplication répétée dans tous les sens. Un quandle est une structure algébrique dans laquelle ces lois de conjugaison jouent un rôle central.

Exponentiation sur des ensembles

Si n est un nombre naturel et A est un ensemble arbitraire, l'expression A ⁿ est souvent utilisé pour désigner l'ensemble des ordonnées n -uplets d'éléments de A . Cela équivaut à laisser un ⁿ désignent l'ensemble des fonctions de l'ensemble {0, 1, 2, ..., n } -1 à l'ensemble A ; le n Z-uplets ( un ₀ , un ₁ , un ₂ , ..., a _n-1 ) représente la fonction qui envoie i à un _je .

Pour un infini nombre cardinal ?? et un ensemble A , la notation A ^?? est également utilisé pour désigner l'ensemble des fonctions d'un ensemble de ?? de taille à un . Cela est parfois écrit ^?? A pour le distinguer du cardinal exponentiation, défini ci-dessous.

Cette exponentielle généralisée peut également être défini pour les opérations sur les ensembles ou pour des ensembles avec supplémentaire structure. Par exemple, dans l'algèbre linéaire , il est logique d'index sommes directes de espaces vectoriels sur des ensembles d'index arbitraires. Autrement dit, nous pouvons parler de

$\bigoplus_{i \in \mathbb{N}} V_{i},$

où chaque V _je est un espace vectoriel. Ensuite, si V _je = V pour chaque i , la somme directe résultant peut être écrit en notation exponentielle comme V ^(+)N , ou tout simplement V ^N avec la compréhension que la somme directe est la valeur par défaut. Nous pouvons à nouveau remplacer la série N avec un nombre cardinal n d'obtenir V ⁿ , bien que sans choix d'une norme spécifique défini de cardinal n , ceci est défini uniquement à isomorphisme. Prenant V soit le domaine R des nombres réels (pensée comme un espace vectoriel sur lui-même) et n y avoir un certain nombre naturel , nous obtenons l'espace vectoriel qui est le plus couramment étudié en algèbre linéaire, l' espace euclidien R ⁿ .

Si la base de l'opération d'exponentiation est un ensemble, l'opération d'exponentiation est le produit cartésien, sauf indication contraire. Depuis plusieurs produits cartésiens produisent un n - uplet, qui peut être représenté par une fonction sur un ensemble de cardinal échéant, S ^N devient tout simplement l'ensemble des fonctions de N à S dans ce cas:

$S^N \equiv \{ f: N \to S \}.\,$

Cela correspond à l'exponentiation des nombres cardinaux, dans le sens où | S ^N | = | S | ^|N| , où | X | est le cardinal de X . Lorsque N = 2 = {0,1}, nous avons | 2 ^X | = 2 ^|X| , où 2 ^X , généralement désigné par P X , est le jeu de puissance de X ; chaque sous-ensemble Y de X correspond à une fonction unique sur X prenant la valeur 1 pour x ??? Y et 0 pour x ??? Y .

Exponentiation dans la théorie des catégories

Dans un Cartésienne catégorie fermée, l' opération exponentielle peut être utilisé pour soulever un objet arbitraire à la puissance d'un autre objet. Ceci généralise le produit cartésien dans la catégorie des ensembles.

Exponentiation des nombres cardinaux et ordinaux

Enthéorie des ensembles, il ya des opérations exponentielles pourcardinaletordinalnuméros.

Si ?? et ?? sont des nombres cardinaux, le ?? d'expression ^?? représente le cardinal de l'ensemble des fonctions de tout ensemble de cardinal ?? à un ensemble de cardinal ??. Si ?? et ?? sont finies alors ce d'accord avec l'opération exponentielle ordinaire. Par exemple, l'ensemble des 3-uplets d'éléments d'un ensemble 2-élément est de cardinal 8.

Exponentiation de nombres cardinaux est distinct de l'exponentiation de nombres ordinaux , qui est définie par une limite procédé. Dans les nombres ordinaux, exponentiation est définie par induction transfinie. Pour ordinaux ?? et ??, l'?? exponentielle ^?? est la borne supérieure du produit ordinale a ^?? a sur tout ?? <??.

Exponentiation répétée

Tout comme exponentiation des nombres naturels est motivée par multiplication répétée, il est possible de définir une opération sur la base de l'exponentiation répété; cette opération est parfois appelé tétration. Itération tétration conduit à une autre opération, et ainsi de suite. Cette séquence d'opérations est capturé par la fonction d'Ackermann.

Exponentiation en langages de programmation

La notation exposant x ^y est pratique dans l'écriture, mais gênant pour machines à écrire et des terminaux informatiques qui alignent les lignes de base de tous les caractères sur chaque ligne. De nombreux langages de programmation ont des façons différentes d'exprimer exponentiation qui ne pas utiliser les exposants:

??? x y:Algol,Commodore BASIC
x ^ y:BASIC, J, Matlab, R, Microsoft Excel,TeX(et ses dérivés),Haskell (pour les exposants entiers), et la plupart dessystèmes d'algèbre informatique
x ** y: Ada, Bash, Fortran, FoxPro,Perl,Python, Ruby, SAS,ABAP, Haskell (pour virgule flottante exposants),Turing
x * y: APL
Puissance (x, y): Microsoft Excel, Delphi / Pascal (déclarée dans «Math» -unit)
pow (x, y):C,C ++, PHP
Math.pow (x, y):Java, JavaScript Modula-3
Math.pow (x, y): C #
(Exp xy):Common Lisp,Scheme

Dans Bash, C, C ++, C #, Java, JavaScript, PHP et Python, le symbole ^ représente bit XOR. En Pascal, il représente indirection.

Histoire de la notation

Le terme de puissance a été utilisé par Euclide pour le carré d'une ligne. Nicolas Chuquet utilisé une forme de notation exponentielle dans le 15ème siècle, qui a ensuite été utilisé par Henricus Grammateus et Michael Stifel. Samuel Jeake introduit le terme indices en 1696. Au 16ème siècle, Robert Recorde utilisé les termes carré, cube, zenzizenzic (quatrième pouvoir), surfolide (cinquième), zenzicube (sixième), deuxième surfolide (septième) et Zenzizenzizenzic (huitième).

Un autre synonyme historique,involution, est maintenant rare et ne doit pas être confondu avecson sens plus commun.

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