L'identit?? d'Euler

?? partir de e ⁰ = 1, se d??pla??ant ?? la vitesse i par rapport ?? sa position pour la dur??e de π, et en ajoutant 1, on arrive ?? 0. (Le diagramme est un diagramme d'Argand )

Dans l'analyse math??matique , l'identit?? d'Euler, nomm?? d'apr??s Leonhard Euler , est l'??quation

o??

est Le nombre d'Euler, la base du logarithme naturel,

est l' unit?? imaginaire , l'un des deux nombres complexes dont le carr?? est n??gatif (l'autre est ), Et

est pi , la rapport de la circonf??rence d'un cercle ?? son diam??tre.

L'identit?? d'Euler est parfois ??galement appel??e l'??quation d'Euler.

Nature de l'identit??

L'identit?? d'Euler est consid??r?? par beaucoup d'??tre remarquable par sa beaut?? math??matique. Trois de base arithm??tiques op??rations se d??roulent exactement une fois chacun: outre , la multiplication et exponentiation . L'identit?? relie ??galement cinq fondamentale constantes math??matiques:

• Le num??ro 0 .
• Le num??ro 1 .
• Le nombre π , qui est omnipr??sent dans la trigonom??trie , g??om??trie de l'espace euclidien , et l'analyse math??matique .
• Le Num??ro e, la base de logarithmes naturels , ce qui est largement r??pandu dans l'analyse math??matique (e ≈ 2,71828).
• Le nombre i , unit?? imaginaire des nombres complexes , qui contiennent les racines de tous les polyn??mes non constants et conduisent ?? connaissance plus approfondie de nombreux op??rateurs, tels que l'int??gration .

En outre, dans l'analyse math??matique, les ??quations sont g??n??ralement ??crites avec z??ro d'un c??t??.

Perceptions de l'identit??

Un sondage men?? par lecteur Mathematical Intelligencer nomm?? l'identit?? comme le plus beau th??or??me en math??matiques. Un autre sondage men?? par lecteur Physics World en 2004 nomm?? l'identit?? d'Euler ??la plus grande ??quation jamais", avec les ??quations de Maxwell .

Le livre de Dr. Fabulous Formule d'Euler [2006], par Paul Nahin (professeur ??m??rite ?? l'Universit?? du New Hampshire), est consacr?? ?? l'identit?? d'Euler; ce est 400 pages. Le livre affirme que l'identit?? d??finit "l'??talon-or pour la beaut?? math??matique."

Constance Reid a affirm?? que l'identit?? d'Euler ??tait "le plus c??l??bre formule dans toutes les math??matiques."

Gauss aurait comment?? que si cette formule ne ??tait pas imm??diatement apparente ?? un ??tudiant sur ??tant dit il, l'??tudiant ne serait jamais un math??maticien de premi??re classe.

Apr??s avoir prouv?? l'identit?? dans une conf??rence, Benjamin Peirce, un not?? XIXe si??cle math??maticien et Professeur ?? Harvard, a d??clar??: "Il est absolument paradoxale; nous ne pouvons pas comprendre, et nous ne savons pas ce que cela signifie, mais nous l'avons prouv??, et donc nous savons que ce doit ??tre la v??rit??."

Stanford professeur de math??matiques Keith Devlin dit, "Comme un sonnet de Shakespeare qui capture l'essence m??me de l'amour, ou une peinture qui fait ressortir la beaut?? de la forme humaine qui est beaucoup plus que juste la couleur de peau, l'??quation d'Euler descend dans les profondeurs m??mes de l'existence."

D??rivation

La formule d'Euler pour un angle g??n??ral.

L'identit?? est un cas particulier de La formule d'Euler de analyse complexe, qui stipule que

pour tout nombre r??el x. (Notez que les arguments de la trigonom??trique fonctions sin et cos sont prises pour ??tre en radians .) En particulier, si

puis

Depuis

et

il se ensuit que

ce qui donne l'identit??

G??n??ralisation

L'identit?? d'Euler est un cas particulier de l'identit?? plus g??n??rale que la n i??me racines de l'unit??, pour n> 1, se ajoutent ?? 0:

L'identit?? d'Euler est le cas o?? n = 2.

Attribution

Bien Euler a ??crit sur sa formule relative ?? cos e et les modalit??s de p??ch??, il ne ya aucune trace connue d'Euler fait d??clarant ou d??rivant l'??quation d'identit?? simplifi??e elle-m??me; En outre, la formule a probablement connu avant Euler. Ainsi, la question de savoir si ou non l'identit?? devrait ??tre attribu??e ?? Euler est sans r??ponse.