Vectoriel euclidien

Sujets connexes: Math??matiques ; Physique

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Un vecteur allant de A ?? B.

Un vecteur spatial, ou simplement vecteur, est un objet g??om??trique qui a ?? la fois une ampleur et une direction. Un vecteur est souvent repr??sent?? par un segment de ligne reliant le point initial A au point B et la borne not??e

$\ Overrightarrow {AB}.$

L'ampleur est la longueur du segment et la direction caract??rise le d??placement de B par rapport ?? A: combien on doit d??placer le point A ?? "porter" au point B.

Beaucoup op??rations alg??briques sur les nombres r??els ont analogues proches pour les vecteurs. Les vecteurs peuvent ??tre ajout??es , soustraites , multipli??es par un certain nombre, et retourn??es autour de sorte que la direction est invers??e. Ces op??rations ob??issent aux lois alg??briques familiers: la commutativit?? , associativit?? , distributivit??. La somme de deux vecteurs avec le m??me point de d??part peut ??tre trouv??e en utilisant l'g??om??triquement la loi de parall??logramme. La multiplication par un nombre positif, commun??ment appel?? un scalaire dans ce contexte, se ??l??ve ?? modifier la grandeur du vecteur, ce est-?? ??tirer ou comprimer tout en conservant sa direction; multiplication par -1 pr??serve l'amplitude du vecteur mais inverse sa direction.

Coordonn??es cart??siennes fournissent un moyen syst??matique de d??crire les vecteurs et les op??rations sur eux. Un vecteur devient un triplet de nombres r??els, ses composants. L'addition de vecteurs et un vecteur de multiplication par un scalaire est effectu??e simplement composante par composante, voir vecteur de coordonn??es.

Vecteurs jouent un r??le important dans la physique : la vitesse et l'acc??l??ration d'un objet en mouvement et les forces agissant sur un corps sont tous d??crits par des vecteurs. Beaucoup d'autres grandeurs physiques peuvent ??tre consid??r??s comme des vecteurs de utilement. Il faut garder ?? l'esprit, cependant, que les composantes d'un vecteur physique d??pendent de la Syst??me utilis?? pour d??crire de coordonn??es. Autres objets vectoriels comme d??crivant des quantit??s physiques et transforment d'une mani??re similaire en vertu des modifications du syst??me de coordonn??es comprennent pseudovectors et tenseurs.

Vue d'ensemble

De fa??on informelle, un vecteur est une quantit?? caract??ris?? par un grandeur (en math??matiques un certain nombre, en physique un certain nombre de fois par unit??) et une direction, souvent repr??sent??s graphiquement par une fl??che. Parfois, on parle de vecteurs li??s ou fixes, qui sont des vecteurs dont le point initial est le origine. Ceci est en contraste aux vecteurs libres, qui sont des vecteurs dont le point initial ne est pas n??cessairement l'origine.

Utilisez en physique et en ing??nierie

Les vecteurs sont fondamentale dans les sciences physiques. Ils peuvent ??tre utilis??s pour repr??senter ne importe quelle quantit?? qui a ?? la fois une amplitude et une direction, tels que la vitesse , l'amplitude de ce qui est vitesse. Par exemple, la vitesse de 5 m??tres par seconde vers le haut peuvent ??tre repr??sent??es par le vecteur (0,5). Une autre quantit?? repr??sent??e par un vecteur est active , car il a une amplitude et une direction. Vecteurs d??crivent ??galement d'autres grandeurs physiques, telles que d??placement, l'acc??l??ration , ??lectrique et champs magn??tiques, l'??lan , et le moment angulaire .

Vecteurs dans l'espace cart??sien

En coordonn??es cart??siennes , un vecteur peut ??tre repr??sent?? par identifier les coordonn??es de son point initial et terminal. Par exemple, les points A = (1,0,0) et B = (0,1,0) dans l'espace libre de d??terminer le vecteur $\ Overrightarrow {AB}$ pointant du point x = 1 sur la y axe des x au point = 1 sur le axe des y.

Typiquement en coordonn??es cart??siennes, on consid??re vecteurs principalement li??s. Un vecteur li?? est d??termin??e par les coordonn??es du point terminal, son point initial ayant toujours les coordonn??es de l'origine O = (0,0,0). Ainsi le vecteur li?? repr??sent?? par (1,0,0) est un vecteur de longueur unitaire pointant depuis l'origine jusqu'?? l'axe des x positifs.

La repr??sentation des coordonn??es des vecteurs permet les fonctions alg??briques de vecteurs de se exprimer de fa??on num??rique pratique. Par exemple, la somme des vecteurs (1,2,3) et (-2,0,4) est le vecteur

$(1, \ 2, \, 3) + (-2, \, 0, \, 4) = (1 ?? 2, \, 2 + 0, \, 3 + 4) = (- 1, \, 2 , \, 7). \,$

Vecteurs et les vecteurs de affine euclidien

Dans les param??tres g??om??triques et physiques, il est parfois possible d'associer, d'une mani??re naturelle, une longueur des vecteurs ainsi que la notion d'un angle entre deux vecteurs. Lorsque la longueur des vecteurs est d??fini, il est ??galement possible de d??finir un produit scalaire - un produit scalaire ?? valeur de deux vecteurs - ce qui donne une caract??risation alg??brique commode ?? la fois de la longueur et de l'angle. Dans les trois dimensions, il est en outre possible de d??finir un produit vectoriel qui fournit une caract??risation alg??brique de zone.

Toutefois, il ne est pas toujours possible ou souhaitable de d??finir la longueur d'un vecteur d'une mani??re naturelle. Ce type plus g??n??ral de vecteur spatial est l'objet d' espaces vectoriels (pour les vecteurs li??s) et espaces affines (pour des vecteurs libres).

G??n??ralisations

En plus g??n??rales sortes de syst??mes, les rotations d'un vecteur (et ??galement de coordonner tenseurs) peuvent ??tre g??n??ralis??s et class??s d'admettre une caract??risation analogue par leur covariance et contravariance dans les changements de coordonn??es.

En math??matiques , un vecteur est consid??r??e comme plus qu'une repr??sentation d'une grandeur physique. En g??n??ral, un vecteur est un ??l??ment d'un espace vectoriel sur certaines domaine. Les vecteurs spatiaux de cet article sont un cas tr??s particulier de cette d??finition g??n??rale (ils ne sont pas tout simplement tout ??l??ment de R ^d dans les dimensions d), qui comprend une vari??t?? d'objets math??matiques ( alg??bres, le ensemble de toutes les fonctions d'une donn??e domaine ?? un lin??aire donn??e plage, et transformations lin??aires). Notez que dans cette d??finition, un tenseur est un vecteur sp??cial.

Repr??sentation d'un vecteur

Vecteurs sont habituellement not??s en gras, comme un. D'autres conventions comprennent $\ Vec {a}$ ou un, en particulier ?? la main. Alternativement, certains utilisent un tilde (~) ou un trait de soulignement ondul?? ??tabli sous le symbole, qui est une convention pour indiquer le type de gras.

Les vecteurs sont g??n??ralement pr??sent??s sous forme de graphiques ou d'autres sch??mas que des fl??ches, comme illustr?? ci-dessous:

Ici, le point A est appel?? le point initial, la queue, ou la base; point B est appel?? la t??te, une astuce, ou le terminal. La longueur de la fl??che repr??sente la magnitude du vecteur, tandis que la direction dans laquelle la fl??che repr??sente la direction du vecteur.

Dans la figure ci-dessus, la fl??che peut aussi se ??crire $\ Overrightarrow {AB}$ ou AB.

Notation des vecteurs dans ou hors d'un plane.svg

Sur un diagramme ?? deux dimensions, parfois un vecteur perpendiculaire au plan du diagramme est souhait??. Ces vecteurs sont g??n??ralement indiqu??s par de petits cercles. Un cercle avec un point au centre indique un vecteur pointant hors de l'avant de la figure, vers l'observateur. Un cercle avec une croix inscrite dans cela indique un pointage de vecteur dans et derri??re le diagramme. Ceux-ci peuvent ??tre consid??r??es comme la pointe d'un affichage fl??che avant sur l'affichage et les aubes d'une fl??che ?? l'arri??re.

Un vecteur dans le plan cart??sien, avec crit??re (2,3). Le vecteur se est identifi?? avec son extr??mit??.

Afin de calculer avec des vecteurs, la repr??sentation graphique peut ??tre trop lourd. Vecteurs dans un espace de dimension euclidienne de n peuvent ??tre repr??sent??es dans un syst??me de coordonn??es cart??siennes . Le crit??re d'??valuation d'un vecteur peut ??tre identifi?? avec une liste de n nombres r??els, parfois appel?? vecteur ligne ou vecteur colonne. A titre d'exemple en deux dimensions (voir image), le vecteur de l'origine O = (0,0) au point A = (2,3) est simplement ??crit

$\ OA overrightarrow {} = (2,3).$

Dans l'espace euclidien ?? trois dimensions (ou R ^3), les vecteurs sont identifi??s par des triplets de nombres correspondant aux coordonn??es cart??siennes du point d'extr??mit?? (a, b, c). Ces num??ros sont souvent dispos??s dans un vecteur de colonne ou de rang??e vecteur, en particulier lorsqu'il se agit de matrices , comme suit:

$\ Mathbf {a} = \ begin {} bmatrix un \\ b \\ c \\ \ end {} bmatrix$

$\ Mathbf {a} = (a \ b \ c).$

Une autre fa??on d'exprimer un vecteur en trois dimensions est d'introduire les trois coordonner vecteurs de base, parfois appel?? vecteurs unitaires:

${\ Mathbf e} _1 = (1,0,0), {\ mathbf e} _2 = (0,1,0), {\ mathbf e} _3 = (0,0,1).$

Ceux-ci ont l'interpr??tation intuitif comme vecteurs de longueur unitaire pointant vers le haut des x, y et l'axe z, respectivement. En termes de ceux-ci, tout vecteur dans R ³ peut ??tre exprim??e sous la forme:

$(A, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = a {\ mathbf e} _1 + b {\ mathbf e} _2 + c {\ mathbf e} _3.$

Remarque: Dans les classes d'introduction ?? la physique, ces trois vecteurs sp??ciaux sont souvent d??sign??s ?? la place i, j, k (ou $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ quand en coordonn??es cart??siennes ), mais ces affrontements de notation avec le notation d'index et le convention de sommation couramment utilis?? dans les math??matiques de niveau sup??rieur, la physique et l'ing??nierie. Cet article va choisir d'utiliser e _1, e _2, e _3.

L'utilisation de vecteurs unitaires cart??siennes $\ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ comme un base dans laquelle pour repr??senter un vecteur, ne est pas obligatoire. Les vecteurs peuvent ??galement ??tre exprim??s en termes de vecteurs unitaires cylindriques $\ Boldsymbol {\ hat {r}}, \ boldsymbol {\ hat {\ theta}}, \ boldsymbol {\ hat {z}}$ ou sph??riques vecteurs unitaires $\ Boldsymbol {\ hat {r}}, \ boldsymbol {\ hat {\ theta}}, \ boldsymbol {\ hat {\ phi}}$ . Ces deux derni??res options sont plus commodes pour r??soudre les probl??mes qui poss??dent une sym??trie sph??rique ou cylindrique, respectivement.

L'addition et la multiplication par un scalaire

Vecteur ??galit??

Deux vecteurs sont dits ??tre ??gales si elles ont la m??me amplitude et la direction. Toutefois, si nous parlons des vecteurs libres, puis deux vecteurs libres sont ??gales si elles ont le m??me point de base et le point final.

Par exemple, le vecteur e ₁ + 2 + 3 e ₂ e ₃ avec un point de base (1,0,0) et le vecteur e 2 e _{1 2} 3 e ₃ avec un point de base (0,1,0) sont diff??rents vecteurs libres, mais le m??me (d??placement) vecteur.

plus de Vector et la soustraction

Soit a = a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃ et b = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + b ₃ e _3, e _1, e _2, e ₃ sont des vecteurs unitaires orthogonaux (Note : ils ne doivent ??tre lin??airement ind??pendant, dire non parall??le et non dans le m??me plan, pour ces addition et de soustraction r??gles alg??briques se appliquent)

La somme de a et b est la suivante:

$\ Mathbf {a} + \ mathbf {b} = (a_1 + b_1) \ mathbf {} e_1 + (+ a_2 b_2) \ mathbf {} E_2 + (+ A_3 b_3) \ mathbf {} e_3$

L'addition peut ??tre repr??sent?? graphiquement en pla??ant le d??but de la fl??che b ?? la pointe de la fl??che a, puis en tirant une fl??che ?? partir du d??but d'une ?? la pointe de b. La nouvelle fl??che trac??e repr??sente le vecteur a + b, comme illustr?? ci-dessous:

Cette m??thode d'addition est parfois appel?? la r??gle du parall??logramme parce A et B forment les c??t??s d'un parall??logramme et a + b est l'une des diagonales. Si a et b sont des vecteurs libres, puis l'addition ne est d??fini si A et B ont le m??me point de base, qui sera alors aussi le point de a + b de base. On peut v??rifier g??om??triquement que a + b = b + a et (a + b) + c = a + (b + c).

La diff??rence de a et b est la suivante:

$\ Mathbf {a} - \ mathbf {b} = (a_1-b_1) \ mathbf {} e_1 + (a_2-b_2) \ mathbf {} E_2 + (A_3-b_3) \ mathbf {} e_3$

Soustraction de deux vecteurs peut ??tre g??om??triquement d??finie comme suit: pour soustraire b ?? partir d'un, placer les extr??mit??s des a et b au m??me point, puis dessiner une fl??che de la pointe de b ?? la pointe d'un. Ce fl??che repr??sente le vecteur a - b, comme illustr?? ci-dessous:

Si a et b sont des vecteurs libres, puis la soustraction ne est d??fini que si elles partagent le m??me point de base qui deviendra aussi le point de leur diff??rence de base. Cette op??ration m??rite le nom de "soustraction" parce que (a - b) + b = a.

Multiplication scalaire

Un vecteur peut ??galement ??tre multipli??, ou remplac?? ??chelle, par un nombre r??el r. Dans le contexte de vecteurs spatiaux, ces nombres r??els sont souvent appel??s des scalaires (de l'??chelle) pour les distinguer des vecteurs. L'op??ration consistant ?? multiplier un vecteur par un scalaire est appel?? multiplication scalaire. Le vecteur r??sultant est:

$r \ mathbf {a} = (ra_1) \ mathbf {} e_1 + (ra_2) \ mathbf {} E_2 + (ra_3) \ mathbf {} e_3$

Multiplication scalaire d'un vecteur par un facteur de 3 se ??tend sur le vecteur.

Intuitivement, la multiplication par un scalaire r se ??tend d'un vecteur par un facteur de r. G??om??triquement, cela peut ??tre visualis?? (au moins dans le cas o?? r est un entier) que de placer r copies du vecteur dans une ligne o?? le point final d'un vecteur est le point de d??part du vecteur suivant.

Si r est n??gatif, alors le vecteur change de direction: il est ??ject?? autour d'un angle de 180 ??. Deux exemples (r = r = 1 et 2) sont donn??s ci-dessous:

La multiplications scalaires 2a et -a d'un vecteur d'une

Multiplication scalaire est distributive sur l'addition de vecteur dans le sens suivant: r (a + b) = r a r + b pour tous les vecteurs a et b et toutes les scalaires r. On peut aussi montrer que a - b = a + (-1) b.

L'ensemble de tous les vecteurs g??om??triques, ainsi que les op??rations d'addition de vecteur et multiplication par un scalaire, satisfait tous les axiomes d'un espace vectoriel . De m??me, l'ensemble de tous les vecteurs li??s avec un point de base commune constitue un espace vectoriel. Ce est l?? que le terme ??espace vectoriel?? est n??e.

En physique, scalaires peuvent ??galement avoir une unit?? de mesure qui leur est associ??e. Par exemple, la seconde loi de Newton est

${\ Mathbf F} = m {\ mathbf a}$

o?? F a des unit??s de force, une a unit??s de l'acc??l??ration et le scalaire m a unit??s de masse. Dans une possible interpr??tation physique du sch??ma ci-dessus, l'??chelle de l'acc??l??ration est, par exemple, 2 m / s ^2: cm, et celle de la force 5 N: cm. Ainsi, un rapport d'??chelle de 2,5 kg: 1 est utilis?? pour la messe. De m??me, si le d??placement a une ??chelle de 1: 1000 et la vitesse de 0,2 cm: 1 m / s, ou ??quivalente, 2 ms: 1, un rapport d'??chelle de 0,5: s est utilis?? pour le temps.

La longueur et le produit scalaire

Longueur d'un vecteur

Le longueur ou ampleur ou norme du vecteur est d??sign?? par un || a || ou, moins fr??quemment, | a |, qui ne doit pas ??tre confondue avec la valeur absolue (un scalaire "norme").

La longueur du vecteur a = a ₁ e ₁ + e _{2 2} + a _{3 3} e dans une tridimensionnel espace euclidien , o?? e _1, e _2, e ₃ sont des vecteurs unitaires orthogonaux, peut ??tre calcul??e avec la Norme euclidienne

$\ Left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = \ sqrt {{} a_1 ^ 2 + {} a_2 ^ 2 + {} A_3 ^ 2}$

qui est une cons??quence du th??or??me de Pythagore depuis la vecteurs de base e _1, e _2, e ₃ sont des vecteurs unitaires orthogonaux.

Cela arrive ?? ??tre ??gale ?? la racine carr??e de la dot produit du vecteur avec lui-m??me:

$\ Left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = \ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}$

Longueur du vecteur et unit??s

Si un vecteur spatial est elle-m??me, la longueur de la fl??che d??pend d'un dimension ??chelle. Si elle repr??sente par exemple une force, ??l'??chelle?? est de Dimension Longueur / force physique. Ainsi, il est g??n??ralement la coh??rence ?? l'??chelle entre les quantit??s de la m??me dimension, mais sinon l'??chelle ratios peuvent varier; Par exemple, si "1 newton" et "5 m" sont tous deux repr??sent??s par une fl??che de 2 cm, les ??chelles sont 1: 250 et 1 m: 50 N respectivement. ??gale longueur de vecteurs de dimension diff??rente n'a pas de signification particuli??re, sauf si il ya une certaine constante de proportionnalit?? inh??rent au syst??me que repr??sente le diagramme. Aussi longueur d'un vecteur de l'unit?? (de la longueur de dimension, pas de longueur / force, etc.) n'a pas de coordonn??es syst??me invariant importance.

vecteur d'unit??

Un vecteur unitaire est ne importe quel vecteur d'une longueur de un; g??om??triquement, il indique une direction mais pas de grandeur. Si vous avez un vecteur de longueur arbitraire, vous pouvez diviser par sa longueur pour cr??er un vecteur unitaire. Ceci est connu comme normaliser un vecteur. Un vecteur de l'unit?? est souvent indiqu?? avec un chapeau comme dans un.

La normalisation d'un vecteur dans un ?? un vecteur unitaire

Pour normaliser un vecteur a = [A _1, A _{2, 3],} l'??chelle le vecteur par l'inverse de sa longueur || a ||. C'est:

$\ Mathbf {\ hat {a}} = \ frac {\ mathbf {a}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} = \ frac {} {a_1 \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} \ mathbf {} e_1 + \ frac {} {a_2 \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |} \ mathbf {} E_2 + \ frac {} {A_3 \ left \ | \ mathbf { a} \ right \ |} \ mathbf {} e_3$

Vecteur nul

Le vecteur nul (ou vecteur nul) est le vecteur avec une longueur nulle. ??crite en coordonn??es, le vecteur est (0,0,0), et il est commun??ment d??sign?? $\ Vec {0}$ , Ou 0, ou tout simplement 0. Contrairement ?? tout autre vecteur, il n'a pas de sens, et ne peut ??tre normalis??e (ce est ?? dire, il n'y a pas vecteur unitaire qui est un multiple du vecteur nul). La somme du vecteur nul avec un quelconque vecteur est un (ce est ?? dire, 0 + a = a).

Produit scalaire

Article d??taill??: Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs A et B (parfois appel?? le produit scalaire, ou, depuis son r??sultat est un scalaire, le produit scalaire) est d??sign??e par un ∙ et b est d??fini comme:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta$

o?? || a || et || b || d??signer le norme (ou longueur) de a et b, et θ est la mesure de l' angle entre a et b (voir fonction trigonom??trique pour une explication de cosinus). G??om??triquement, cela signifie que A et B sont tir??s avec un point de d??part commun et la longueur d'une multipli??e par la longueur de cet ??l??ment de b qui pointe dans la m??me direction que a.

Le produit scalaire peut ??galement ??tre d??fini comme la somme des produits des composantes de chaque vecteur:

$\ Mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = (a_1, a_2, \ dots, A_N) \ cdot (b_1, b_2, \ dots, b_n) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ dots + a_n b_n$

o?? a et b sont des vecteurs de dimension n; a _1, a _2, ..., a _n sont des coordonn??es d'un; et b _1, b _2, ..., b _n sont coordonn??es de b.

Cette op??ration est souvent utile dans la physique ; par exemple, le travail est le produit scalaire de la force et d??placement.

Produit Croix

Le produit vectoriel (??galement appel??e produit vectoriel ou produit externe) diff??re du produit scalaire principalement en ce que le r??sultat du produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Alors que tout ce qui a ??t?? dit ci-dessus peut ??tre g??n??ralis??e de mani??re directe ?? plus de trois dimensions, le produit crois?? n'a de sens que dans les trois dimensions, bien que la sept produit crois?? dimensions est similaire ?? certains ??gards. Le produit vectoriel, not?? A ?? B, est un vecteur perpendiculaire ?? la fois a et b et est d??fini comme:

$\ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ sin (\ theta) \, \ mathbf { n}$

o?? θ est la mesure de l'angle entre a et b, et n est un vecteur unitaire perpendiculaire ?? la fois a et b. Le probl??me avec cette d??finition est qu'il existe deux vecteurs unitaires perpendiculaire ?? la fois b et a.

Une illustration du produit croix.

La base de vecteur e _1, e _2, e ₃ est appel?? droitier, si les trois vecteurs sont situ??s comme le pouce, l'index et le majeur (pointant vers le haut de votre paume) de votre main droite. Graphiquement le produit crois?? peut ??tre repr??sent??e par la figure de droite.

Le produit une croix ?? b est d??finie de telle sorte que a, b, et a ?? b devient ??galement un syst??me ?? droite (mais notez que a et b sont pas n??cessairement orthogonale). Ceci est le R??gle de la main droite.

La longueur de a ?? b peut ??tre interpr??t?? comme l'aire du parall??logramme ayant a et b en tant que c??t??s.

Pour des choix arbitraires de l'orientation spatiale (ce est ?? dire, ce qui permet pour les gauchers ainsi que droitier syst??mes de coordonn??es) le produit crois?? de deux vecteurs est une pseudovector au lieu d'un vecteur (voir ci-dessous).

Triple produit scalaire

Le triple produit scalaire (appel?? aussi le produit de bo??te ou triple produit mixte) ne est pas vraiment un nouvel op??rateur, mais un moyen d'appliquer les deux autres op??rateurs de multiplication de trois vecteurs. Le produit scalaire triple est parfois d??sign??e par (a b c), et d??fini comme suit:

$(\ Mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}).$

Il a trois utilisations principales. Premi??rement, la valeur absolue du produit de la bo??te est le volume de la parall??l??pip??de qui pr??sente des bords qui sont d??finis par les trois vecteurs. Deuxi??mement, le produit scalaire est triple z??ro si et seulement si les trois vecteurs sont lin??airement d??pendante, qui peut ??tre facilement prouv?? en consid??rant que, pour que les trois vecteurs de ne pas ouvrir un volume, ils doivent tous se situer dans le m??me plan. Troisi??mement, le produit de la bo??te est positive si et seulement si les trois vecteurs a, b et c sont droitiers.

Dans les composants (par rapport ?? une base orthonorm??e droitier), si les trois vecteurs sont consid??r??s comme des lignes (ou colonnes, mais dans le m??me ordre), le triple produit scalaire est simplement le facteur d??terminant de la 3-en-3 matrice ayant les trois vecteurs que rang??es. Le produit scalaire est lin??aire triple dans les trois entr??es et anti-sym??trique dans le sens suivant:

$(\ Mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c})$	$= (\ Mathbf {c} \ \ mathbf {a} \ \ mathbf {b})$
	$= (\ Mathbf {b} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {a})$
	$= - (\ Mathbf {a} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {b})$
	$= - (\ Mathbf {b} \ \ mathbf {a} \ \ mathbf {c})$
	$= - (\ Mathbf {c} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {a})$

Les composants du vecteur

Illustration des composantes tangentielles et normales d'un vecteur ?? une surface.

Un composant d'un vecteur est l'influence de ce vecteur dans une direction donn??e. Les composants sont eux-m??mes vecteurs.

Un vecteur est souvent d??crit par un nombre fixe de composants qui r??sument dans ce vecteur unique et totalement. Lorsqu'ils sont utilis??s dans ce r??le, le choix de leurs directions constituant d??pend du syst??me de coordonn??es particulier utilis??, comme coordonn??es cart??siennes , coordonn??es sph??riques ou coordonn??es polaires . Par exemple, une composante axiale du vecteur est telle que sa composante dont la direction est d??termin??e par l'une des coordonn??es cart??siennes axes, tandis que le sens radial et composantes tangentielles se rapportent ?? la rayon de rotation d'un objet que leur direction de r??f??rence. Le premier est parall??le au rayon et celle-ci est orthogonal ?? elle. Deux restent orthogonaux ?? l'axe de rotation ?? tout moment. (Dans deux dimensions cette exigence devient redondant que l'axe d??g??n??re ?? un point de rotation.) Le choix d'un syst??me de coordonn??es ne affecte pas les propri??t??s d'un vecteur ou son comportement sous transformations.

Vecteurs que d??riv??es directionnelles

Un vecteur peut ??galement ??tre d??fini comme un d??riv??e directionnelle: envisager une fonction $f (x ^ \ alpha)$ et une courbe $x ^ \ alpha (\ tau)$ . Ensuite, la d??riv??e directionnelle de $fa$ est un scalaire d??fini comme

$\ Frac {df} {d \ tau} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ n \ frac {dx ^ \ alpha} {d \ tau} \ frac {\ f partielle} {\ partial x ^ \ alpha}.$

o?? l'indice $\ Alpha$ est somm??e sur le nombre appropri?? de dimensions (par exemple de 1 ?? 3, dans l'espace euclidien ?? 3 dimensions, de 0 ?? 3 dans l'espace-temps ?? 4 dimensions, etc.). Puis envisager un vecteur tangent ?? $x ^ \ alpha (\ tau)$ :

$t ^ \ alpha = \ frac {dx ^ \ alpha} {d \ tau}.$

Nous pouvons r????crire la d??riv??e directionnelle sous forme diff??rentielle (sans fonction donn??e $fa$ ) Comme

$\ Frac {d} {d \ tau} = \ sum_ \ alpha t ^ \ alpha \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ alpha}.$

Par cons??quent, toute d??riv??e directionnelle peut ??tre identifi?? avec un vecteur correspondant, et tout vecteur peut ??tre identifi?? avec une d??riv??e directionnelle correspondante. Nous pouvons donc d??finir un vecteur pr??cis??ment:

$\ Mathbf {a} \ equiv a ^ \ alpha \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ alpha}.$

Vecteurs, pseudovectors, et des transformations

Une alternative caract??risation des vecteurs spatiaux, en particulier en physique, d??crit des vecteurs que des listes de quantit??s qui se comportent d'une certaine mani??re en vertu d'un transformation de coordonn??es. Un vecteur est n??cessaire d'avoir des composants qui "transformer comme les coordonn??es" sous coordonner les rotations. En d'autres termes, si tout l'espace ont ??t?? tourn??, le vecteur serait tourner exactement de la m??me fa??on. Math??matiquement, si le syst??me de coordonn??es d??crit subit une rotation par une rotation matrice R, de telle sorte qu'un vecteur de coordonn??es x est transform?? en x '= x R, alors ne importe quel autre vecteur v doit ??tre transform??e de mani??re similaire par l'interm??diaire de v' = R c. Cette exigence importante est ce qui distingue un vecteur spatial de toute autre triplet de quantit??s significatives physiquement. Par exemple, si v est constitu?? des x, y et z -Composants de vitesse , alors v est un vecteur du fait que les composantes de la vitesse se transforment sous coordonner les changements. D'autre part, par exemple, un triplet constitu?? de la longueur, la largeur et la hauteur d'une bo??te rectangulaire pourrait ??tre consid??r?? comme les trois composantes d'un r??sum?? vecteur , mais pas un vecteur spatial, puisque la rotation de la bo??te ne transforme pas en cons??quence ceux-ci trois composants. Des exemples de vecteurs comprennent d??placement, vitesse , champ ??lectrique , l'??lan , la force et l'acc??l??ration .

Dans le langage de la g??om??trie diff??rentielle , l'exigence selon laquelle les composantes d'un vecteur ?? transformer selon la m??me matrice de la transition de coordonn??es est ??quivalent ?? d??finir un vecteur d'??tre tenseur contravariant rang un. Cependant, en g??om??trie diff??rentielle et d'autres domaines de math??matiques tels que th??orie de la repr??sentation, les ??coordonner transitions" ne doit pas ??tre limit??e aux rotations. Autres notions de vecteur spatial correspondent aux diff??rents choix de groupe de sym??trie.

Comme un cas particulier o?? le groupe de sym??trie est important, tous les exemples ci-dessus sont des vecteurs qui "transforment comme les coordonn??es" sous la fois appropri??e et rotations inappropri??es. Un exemple d'une mauvaise rotation est un reflet miroir. Autrement dit, ces vecteurs sont d??finis de telle mani??re que, si la totalit?? de l'espace ont ??t?? retourn??es autour ?? travers un miroir (ou autrement soumis ?? une rotation incorrecte), qui bascule autour de vecteur serait exactement de la m??me mani??re. Vecteurs ayant cette propri??t?? sont appel??s vrais vecteurs ou vecteurs polaires. Cependant, d'autres vecteurs sont d??finis d'une mani??re telle que, lors feuilletant un miroir, le vecteur retourne de la m??me mani??re, mais acquiert ??galement un signe n??gatif. Ils sont appel??s pseudovectors (ou vecteurs axiaux), et le plus souvent se produisent que des produits crois??s de v??ritables vecteurs.

Un exemple d'un vecteur axial est un moment angulaire . Conduire dans une voiture , et je ai h??te, chacune des roues a un vecteur moment angulaire pointant vers la gauche. Si le monde se refl??te dans un miroir qui commute le c??t?? gauche et droit de la voiture, le reflet de cette angulaires points de vecteur de mouvement vers la droite, mais le vecteur de la roue d'inertie angulaire r??elle pointe toujours vers la gauche, correspondant au moins signer. D'autres exemples comprennent des pseudovectors champ magn??tique, couple, ou plus g??n??ralement tout produit vectoriel de deux vecteurs (vrai).

Cette distinction entre les vecteurs et pseudovectors est souvent ignor??e, mais il devient important dans l'??tude de sym??trie propri??t??s. Voir parit?? (physique).

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