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La g??om??trie euclidienne

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Une repr??sentation de Euclid partir L'??cole d'Ath??nes par Raphael .

La g??om??trie euclidienne est un syst??me math??matique attribu?? au Grecque math??maticien Euclide de Alexandria . Le texte d'Euclide Elements est la discussion syst??matique plus ancienne connue de la g??om??trie . Il a ??t?? l'un des livres les plus influents de l'histoire, tant par sa m??thode que pour son contenu math??matique. La m??thode consiste en supposant un petit ensemble de attrayant intuitivement axiomes, puis prouver beaucoup d'autres propositions ( th??or??mes ) de ces axiomes. Bien que beaucoup des r??sultats d'Euclide a ??t?? dit par les math??maticiens grecs ant??rieurs, Euclide fut le premier ?? montrer comment ces propositions pourraient ??tre se embo??tent dans un d??ductive compl??te et syst??me logique.

Les ??l??ments commencent par la g??om??trie plane , toujours enseign?? dans l'??cole secondaire du premier syst??me axiomatique et les premiers exemples de preuve formelle . Les ??l??ments qui se passe ?? la la g??om??trie solide de trois dimensions et la g??om??trie euclidienne a ensuite ??t?? ??tendu ?? un nombre fini de dimensions. Une grande partie des ??l??ments indique les r??sultats de ce qu'on appelle aujourd'hui la th??orie des nombres , prouv?? en utilisant des m??thodes g??om??triques.

Depuis plus de deux mille ans, l'adjectif ??euclidienne?? ??tait inutile car aucune autre sorte de g??om??trie avait ??t?? con??u. Les axiomes d'Euclide semblaient si intuitivement ??vident que tout th??or??me prouv?? d'eux a ??t?? jug?? vrai dans un sens absolu. Aujourd'hui, cependant, beaucoup d'autres auto-coh??rent g??om??tries non-euclidiennes sont connus, les premiers ayant ??t?? d??couverts au d??but du 19??me si??cle. Il est ??galement plus tenir pour acquis que la g??om??trie euclidienne d??crit espace physique. Une implication de Einstein th??orie ??de la relativit?? g??n??rale est que la g??om??trie euclidienne est seulement une bonne approximation des propri??t??s de l'espace physique si le champ gravitationnel est pas trop fort.

Approche axiomatique

La g??om??trie euclidienne est un syst??me axiomatique, dans lequel tous les th??or??mes (??vrais ??tats??) sont issus d'un nombre fini d'axiomes. Vers le d??but du premier livre des ??l??ments, Euclide donne cinq postulats (axiomes):

  1. Tout deux points peuvent ??tre reli??s par une ligne droite .
  2. Tout segment de droite peut ??tre prolong??e ind??finiment dans une ligne droite.
  3. Compte tenu de tout segment de droite, un cercle peut ??tre trac?? ayant le segment que rayon et un point d'extr??mit?? en tant que centre.
  4. Tous angle droit sont congruents.
  5. Postulat des parall??les. Si deux lignes se croisent tiers de telle sorte que la somme des angles int??rieurs d'un c??t?? est inf??rieur ?? deux angles droits, alors in??vitablement les deux lignes doivent se croiser les uns les autres sur le c??t?? si ??tendue assez loin.

Ces axiomes invoquent les notions suivantes: le point, segment de droite et de la ligne, c??t?? d'une ligne, cercle de rayon et le centre, ?? angle droit, la congruence, angles int??rieurs et droite, somme. Les verbes suivants apparaissent: rejoignez, de prolonger, dessiner, se croisent. Le cercle d??crit dans postulat 3 tacitement unique. Postule 3 et 5 ne d??tiennent que pour la g??om??trie plane; en trois dimensions, postulat 3 d??finit une sph??re.

Une preuve ?? partir des ??l??ments d'Euclide que, ??tant donn?? un segment de droite, un triangle ??quilat??ral existe qui comprend le segment comme l'un de ses c??t??s. La preuve en est par construction: un triangle ??quilat??ral ΑΒΓ est faite en dessinant des cercles et Δ Ε centr??s sur les points Α et Β, et en prenant une intersection des cercles comme le troisi??me sommet du triangle.

Postulat 5 conduit ?? la m??me g??om??trie que la d??claration suivante, connue sous le nom L'axiome de Playfair, qui d??tient ??galement que dans le plan:

Gr??ce ?? un point pas sur une ligne droite donn??e, une et une seule ligne peut ??tre tir??e que ne rencontre jamais la ligne donn??e.

Postule 1, 2, 3, et 5 affirment l'existence et l'unicit?? de certaines figures g??om??triques, et ces affirmations sont de nature constructive: ce est, nous ne sommes pas seulement dit que certaines choses existent, mais sont ??galement donn??s m??thodes pour les cr??er avec pas plus d'une boussole et d'une r??gle non marqu?? . En ce sens, la g??om??trie euclidienne est plus concret que de nombreux syst??mes axiomatiques modernes tels que la th??orie des ensembles , qui affirment souvent l'existence des objets sans dire comment les construire, ou m??me affirmer l'existence des objets qui ne peuvent ??tre construites dans la th??orie.

Strictement parlant, les constructions de lignes sur le papier etc sont mod??les des objets d??finis dans le syst??me formel, plut??t que des instances de ces objets. Par exemple une ligne droite euclidienne n'a pas la largeur, mais ne importe quelle ligne r??elle sera tir??.

Ces ??l??ments comprennent ??galement les cinq ??notions communes?? suivants:

  1. Les choses qui ??galent la m??me chose aussi ??gale une autre.
  2. Si ??gaux sont ajout??s ?? des ??gaux, alors les ensembles sont ??gaux.
  3. Si ??gaux sont soustraites des ??gaux, alors les restes sont ??gaux.
  4. Les choses qui co??ncident avec une autre ??gale une autre.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

Euclide a ??galement invoqu?? d'autres propri??t??s relatives ?? magnitudes. 1 est la seule partie de la logique sous-jacente qui Euclid explicitement articul??. 2 et 3 sont des principes "arithm??tiques"; noter que les significations de "ajouter" et "soustraire" dans ce contexte purement g??om??trique sont consid??r??s comme donn??s. 1 ?? 4 d??finie op??rationnellement l'??galit??, qui peut ??galement ??tre pris dans le cadre de la logique sous-jacente ou comme une relation d'??quivalence exigeant, comme "co??ncide," d??finition pr??alable prudent. 5 est un principe de m??r??ologie. , "Partie" "Tout" et "reste" mendier pour des d??finitions pr??cises.

Au 19e si??cle, on a r??alis?? que dix axiomes d'Euclide et notions communes ne suffisent pas ?? prouver tout de th??or??mes ??nonc??s dans les ??l??ments. Par exemple, Euclide suppose implicitement que ne importe quelle ligne contient au moins deux points, mais cette hypoth??se ne peut ??tre prouv?? par les autres axiomes, et a donc besoin d'??tre un axiome lui-m??me. La premi??re preuve g??om??trique dans les ??l??ments, montr?? dans la figure sur la droite, ce est que ne importe quel segment de ligne fait partie d'un triangle; Euclid construit ce de la mani??re habituelle, en dessinant des cercles autour des deux extr??mit??s et en prenant leur intersection que la troisi??me vertex. Ses axiomes, cependant, ne garantissent pas que les cercles se croisent effectivement, parce qu'ils sont compatibles avec discr??te, plut??t que continu, l'espace. ?? partir de Moritz Pasch en 1882, de nombreux syst??mes axiomatiques am??lior??es pour la g??om??trie ont ??t?? propos??s, les plus connus ??tant ceux de Hilbert, George Birkhoff, et Tarski.

Pour ??tre juste ?? Euclide, la premi??re la logique formelle capable de supporter sa g??om??trie ??tait celle de Frege 1879 Begriffsschrift, peu lu jusqu'?? ce que les ann??es 1950. Nous voyons maintenant que la g??om??trie euclidienne doit se inscrire dans la logique du premier ordre avec identit??, un syst??me formel d'abord ??nonc?? dans Hilbert et Wilhelm Ackermann 1928 Principes de la logique th??orique. Formel m??r??ologie d??but?? qu'en 1916, avec le travail de Lesniewski et AN Whitehead. Tarski et ses ??l??ves ont fait un travail important sur la fondements de la g??om??trie ??l??mentaire r??cemment entre 1959 et sa mort en 1983.

Le postulat des parall??les

Pour les anciens, le postulat des parall??les semblait moins ??vident que les autres; v??rifier physiquement nous obligerait ?? inspecter deux lignes pour v??rifier qu'ils ne ont jamais recoup??, m??me ?? un moment tr??s lointain, et cette inspection pourrait prendre une quantit?? infinie de temps. Euclide lui-m??me semble avoir consid??r?? comme ??tant qualitativement diff??rent des autres, comme en t??moigne l'organisation des ??l??ments: les 28 premi??res propositions qu'il pr??sente sont ceux qui peuvent ??tre prouv?? sans elle.

Beaucoup de g??om??tres essay?? en vain de prouver la cinqui??me postulat des quatre premiers. En 1763, au moins 28 ??preuves diff??rentes avaient ??t?? publi??es, mais tous ont ??t?? jug??e incorrecte. En fait, le postulat des parall??les ne peut ??tre prouv?? par les quatre autres: cela a ??t?? indiqu?? dans le 19??me si??cle par la construction de la variante ( non-euclidienne) syst??mes de g??om??trie o?? les autres axiomes sont encore vrai, mais le postulat des parall??les sont remplac??s par un axiome contradictoires. Un aspect distinctif de ces syst??mes est que les trois angles d'un triangle ne ajoutent pas ?? 180 ??: en g??om??trie hyperbolique la somme des trois angles est toujours inf??rieur ?? 180 ?? et peut se approcher de z??ro, tandis que dans g??om??trie elliptique elle est sup??rieure ?? 180 ??. Si le postulat parall??le est ray?? de la liste des axiomes sans remplacement, le r??sultat est la g??om??trie plus g??n??ral appel?? la g??om??trie absolue.

Traitement utilisant la g??om??trie analytique

Le d??veloppement de la g??om??trie analytique fourni une m??thode alternative pour formaliser la g??om??trie. Dans cette approche, un point est repr??sent?? par son cart??siennes (x, y) les coordonn??es, une ligne est repr??sent?? par son ??quation, et ainsi de suite. Au 20e si??cle, cet ajustement dans David Hilbert programme de r??duction de toutes les math??matiques ?? l'arithm??tique, puis la consistance de l'arithm??tique en utilisant le raisonnement finitiste. En approche originale d'Euclide, le th??or??me de Pythagore r??sulte des axiomes d'Euclide. Dans l'approche cart??sienne, les axiomes sont les axiomes de l'alg??bre, et l'??quation exprimant le th??or??me de Pythagore est alors une d??finition de l'un des termes dans les axiomes d'Euclide, qui sont maintenant consid??r??s comme des th??or??mes. L'??quation

| PQ | = \ sqrt {(p-r) ^ 2 + (q-s) ^ 2}

la d??finition de la distance entre deux points P = (p, q) et Q = (r, s) est alors connu sous le nom euclidienne m??trique, et d'autres param??tres d??finissent g??om??tries non-euclidiennes.

Comme une description de la r??alit?? physique

Une r??futation de la g??om??trie euclidienne comme une description de l'espace physique. Dans un test 1919 de la th??orie de la relativit?? g??n??rale, les ??toiles (marqu?? avec des lignes horizontales courtes) ont ??t?? photographi??s au cours d'une ??nergie solaire Eclipse. Les rayons de la lumi??re des ??toiles ont ??t?? pli??s par la gravit?? du Soleil sur le chemin de la terre. Ce est interpr??t??e comme une preuve en faveur de la pr??diction d'Einstein que la gravit?? aurait entra??ner des d??viations de la g??om??trie euclidienne.

Euclid croyait que ses axiomes sont des d??clarations ??videntes sur la r??alit?? physique.

Cela a conduit ?? des difficult??s philosophiques profondes ?? concilier l'??tat des connaissances de l'observation par opposition aux connaissances acquises par l'action de la pens??e et de raisonnement. Une enqu??te majeure de cette zone a ??t?? men??e par Emmanuel Kant dans La Critique de la raison pure.

Cependant, d'Einstein de la th??orie de la relativit?? g??n??rale montre que la v??ritable g??om??trie de l'espace-temps est g??om??trie non-euclidienne. Par exemple, si un triangle est construit ?? partir de trois rayons de lumi??re, puis en g??n??ral des angles int??rieurs ne est pas ??gale ?? 180 degr??s de la pesanteur. Un nombre relativement faible champ de gravitation, comme celle de la Terre ou du soleil, est repr??sent??e par une mesure qui est approximativement, mais pas exactement, euclidienne. Jusqu'au 20??me si??cle, il n'y avait pas de technologie capable de d??tecter les ??carts par rapport ?? la g??om??trie euclidienne, mais Einstein pr??dit que ces ??carts seraient exister. Ils ont ensuite ??t?? v??rifi??es par des observations telles que l'observation de la l??g??re courbure de la lumi??re des ??toiles par le Soleil pendant une ??clipse solaire en 1919, et g??om??trie non-euclidienne est maintenant, par exemple, fait partie int??grante du logiciel qui ex??cute le Syst??me GPS. Il est possible de se opposer ?? l'interpr??tation non-euclidienne de la relativit?? g??n??rale au motif que les rayons lumineux peuvent ??tre des mod??les physiques inappropri??es des lignes d'Euclide, ou que la relativit?? pourraient ??tre reformul??s de fa??on ?? ??viter les interpr??tations g??om??triques. Cependant, l'une des cons??quences de la th??orie d'Einstein est qu'il n'y a pas de test physique possible qui peut faire mieux que un faisceau de lumi??re comme un mod??le de la g??om??trie. Ainsi, les seules possibilit??s logiques sont ?? accepter g??om??trie non-euclidienne que physiquement r??el, ou de rejeter toute la notion de tests physiques des axiomes de la g??om??trie, qui peuvent ensuite ??tre imagin?? comme un syst??me formel sans aucune signification intrins??que du monde r??el.

En raison de l'incompatibilit?? de la mod??le standard avec la relativit?? g??n??rale , et en raison de certaines preuves empiriques r??centes contre l'ancien, les deux th??ories sont maintenant sous surveillance accrue, et de nombreuses th??ories ont ??t?? propos??es pour remplacer l'ancien et, dans de nombreux cas, ce dernier comme ainsi. ( GUT sont le seul exemple des th??ories du mod??le post-standard qui ne est pas attaqu?? ?? la relativit?? g??n??rale.) Les d??saccords entre les deux th??ories proviennent de leurs cr??ances sur l'espace-temps, et il est maintenant admis que la g??om??trie physique doit d??crire l'espace-temps plut??t que de simplement l'espace. Alors que la g??om??trie euclidienne, le mod??le standard et la relativit?? g??n??rale sont tous compatibles avec ne importe quel nombre de dimensions spatiales et une sp??cification ?? laquelle de ces cas ??ch??ant sont compacifi??e (voir la th??orie des cordes ), et alors que toutes les barres g??om??trie euclidienne (qui ne distingue pas l'espace ?? partir temps) insistent sur exactement une dimension temporelle, les alternatives propos??es, dont aucun ne est encore partie de consensus scientifique, diff??rent significativement dans leurs pr??dictions ou son absence ?? ces d??tails de l'espace-temps. Les d??saccords entre les th??ories pr??occupation physique classique si l'espace-temps est euclidienne (depuis th??orie quantique des champs dans le mod??le standard est construit sur l'hypoth??se que ce est) et qu'il se agit quantifi??. Rares sont les alternatives propos??es nier que l'espace-temps est quantifi??, avec le quanta de longueur et de temps sont respectivement la Et la longueur de Planck Temps de Planck. Cependant, ce qui g??om??trie ?? utiliser - euclidienne, Riemann, de Stitter, anti de Stitter et quelques autres - est un important point de d??marcation entre eux. Beaucoup de physiciens attendent ?? une certaine th??orie des cordes euclidienne, ?? terme, devenir le Th??orie du tout, mais leur point de vue ne est nullement unanime, et en tout cas l'avenir de cette question est impr??visible. En ce qui concerne la fa??on dont voire pas du tout la g??om??trie euclidienne seront impliqu??s dans la physique avenir, ce qui est incontestable, ce est que la d??finition de lignes droites sera toujours en termes de chemin dans un vide de rayonnement ??lectromagn??tique (y compris la lumi??re) jusqu'?? ce que la gravit?? est expliqu?? avec une coh??rence math??matique Conditions d'un ph??nom??ne autre que la courbure espace-temps, et que le test de postulats g??om??triques (euclidiennes ou autrement) se situera dans l'??tude de la fa??on dont ces chemins sont affect??s par des ph??nom??nes. Pour l'instant, la gravit?? est le ph??nom??ne pertinente que connu, et son effet est incontestable (voir lentille gravitationnelle).

Sections coniques et th??orie de la gravitation

Apollonius et d'autres g??om??tres grecs antiques ont fait une ??tude approfondie des sections coniques - courbes cr????es par l'intersection d'un c??ne et un plan. Les (non d??g??n??r??es) ceux qui sont les ellipse , le et la parabole hyperbole, distingu?? en ayant z??ro, un ou deux intersections avec l'infini. Ceci se est av??r?? faciliter le travail de Galileo , Kepler et Newton au 17??me si??cle, que ces courbes mod??lis??es avec pr??cision le mouvement des corps sous l'influence de la gravit??. Utilisation La loi de Newton de la gravitation universelle, l'orbite d'une com??te autour du soleil est

  • une ellipse, si elle se d??place trop lentement pour sa position (ci-dessous ??chapper ?? la vitesse), auquel cas il finira par revenir;
  • une parabole, si elle se d??place ?? la vitesse de lib??ration exacte (peu probable), et ne sera jamais revenir parce que la courbe atteint ?? l'infini; ou
  • une hyperbole, si elle se d??place assez vite (ci-dessus vitesse de lib??ration), et de m??me ne reviendra jamais.

Dans chaque cas, le Soleil sera ?? une Objet de la conique, et le mouvement va balayer des aires ??gales en des temps ??gaux.

Galileo a exp??riment?? avec des objets tombant petites distances ?? la surface de la Terre, et empiriquement d??termin?? que la distance parcourue est proportionnelle au carr?? du temps. Compte tenu de son dispositif de chronom??trage et de mesure, ce ??tait une excellente approximation. Au cours de ces petites distances que l'acc??l??ration de la pesanteur peut ??tre consid??r?? comme constant, et en ignorant les effets de l'air (comme sur une plume qui tombe) et la rotation de la Terre , les une trajectoire de projectile sera une trajectoire parabolique.

Des calculs ult??rieurs de ces chemins pour les corps en mouvement par gravit?? seraient r??alis??es en utilisant les techniques de la g??om??trie analytique (en utilisant les coordonn??es et l'alg??bre) et le calcul diff??rentiel, qui fournissent des preuves directes. Bien s??r, ces techniques ne avaient pas ??t?? invent?? ?? l'??poque que Galileo ??tudi?? le mouvement de la chute des corps. Une fois il a constat?? que les corps tombent ?? la terre avec une acc??l??ration constante (?? la pr??cision de ses m??thodes), il se est av??r?? que les projectiles se d??placer dans une trajectoire parabolique en utilisant les proc??dures de la g??om??trie euclidienne.

De m??me, Newton utilis?? quasi-euclidiennes preuves pour d??montrer la d??rivation des mouvements orbitaux de Kepler de ses lois du mouvement et de la gravitation.

Des si??cles plus tard, l'une des premi??res mesures exp??rimentales pour soutenir Einstein de la th??orie de la relativit?? g??n??rale , qui postulait un g??om??trie non-euclidienne de l'espace, ??tait l'orbite de la plan??te Mercure . Kepler d??crit l'orbite comme une ellipse parfaite. Th??orie newtonienne pr??dit que l'influence gravitationnelle d'autres organismes donnerait une orbite plus compliqu??. Mais finalement toutes ces corrections newtoniens en de???? des r??sultats exp??rimentaux; une petite perturbation est rest??e. Einstein a postul?? que la courbure de l'espace serait pr??cis??ment compte de cette perturbation.

Etat logique

La g??om??trie euclidienne est une th??orie du premier ordre . Autrement dit, il permet ??tats tels que ceux qui commencent comme "pour tous les triangles ...", mais il est incapable de former des ??tats tels que "pour toutes les s??ries de triangles ...". Les d??clarations de ce dernier type sont r??put??s ??tre en dehors de la port??e de la th??orie.

Nous devons beaucoup de notre compr??hension actuelle des propri??t??s de la logique et m??tamath??matiques propri??t??s de la g??om??trie euclidienne au travail de Alfred Tarski et ses ??l??ves, en commen??ant dans les ann??es 1920. Tarski prouv?? son formulation axiomatique de la g??om??trie euclidienne soit compl??te dans un certain sens: il existe un algorithme qui, pour chaque proposition, peut montrer qu'elle soit vraie ou fausse. Th??or??mes d'incompl??tude de G??del a montr?? la futilit?? du programme de Hilbert de prouver la coh??rence d'ensemble des math??matiques aide du raisonnement finitiste. Les conclusions de Tarski ne violent pas le th??or??me de G??del, parce g??om??trie euclidienne ne peut pas d??crire une quantit?? suffisante de arithm??tique pour le th??or??me se applique.

Bien compl??te dans le sens formel utilis?? dans la logique moderne, il ya des choses que la g??om??trie euclidienne ne peut accomplir. Par exemple, le probl??me de la trisection un angle avec une r??gle et au compas est celui qui se produit naturellement dans la th??orie, puisque les axiomes sont des op??rations constructives qui peuvent ??tre r??alis??es avec ces outils. Cependant, des si??cles d'efforts ont ??chou?? ?? trouver une solution ?? ce probl??me, jusqu'?? ce Pierre Wantzel publi?? une preuve en 1837 que cette construction ??tait impossible.

La g??om??trie absolue, d'abord identifi?? par Bolyai, la g??om??trie euclidienne est affaibli par omission de la cinqui??me postulat, que les lignes parall??les ne se rencontrent pas. De force interm??diaire entre la g??om??trie euclidienne absolue et sont d??riv??es de g??om??tries d'Euclide par des alt??rations du postulat des parall??les qui peut ??tre montr?? d'??tre coh??rent en pr??sentant des mod??les d'entre eux. Par exemple, la g??om??trie de la surface d'une sph??re est un mod??le de la g??om??trie elliptique. Un autre affaiblissement de la g??om??trie euclidienne est la g??om??trie affine, d'abord identifi?? par Euler , qui conserve la cinqui??me postulat non modifi??e tout en affaiblissant postule trois et quatre dans une mani??re qui ??limine les notions d'angle (d'o?? triangles rectangles deviennent de sens) et de l'??galit?? de longueur des segments de ligne en g??n??ral (cercles d'o?? deviennent sens) tout en conservant les notions de parall??lisme comme une relation d'??quivalence entre les lignes, et l'??galit?? de longueur des segments de lignes parall??les (donc segments de ligne continuent d'avoir un point m??dian).

Th??or??mes classiques

  • Th??or??me de Ceva
  • La formule de H??ron
  • Cercle d'Euler
  • Th??or??me de Pythagore
  • La formule de Tartaglia
  • Le th??or??me de M??n??las
  • Bissectrice th??or??me
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