??l??ments d'Euclide

Le frontispice de la premi??re version de Sir Henry Billingsley anglaise de El??ments d'Euclide, 1570

??l??ments d'Euclide ( grec : Στοιχεῖα) est une math??matique et g??om??trique trait?? compos?? de 13 livres ??crit par le Grecque math??maticien Euclide dans Alexandria circa 300 BC. Il comprend une collection de d??finitions, de postulats ( axiomes), propositions ( th??or??mes et constructions ), et les preuves math??matiques des propositions. Les treize livres couvrent la g??om??trie euclidienne et l'ancienne version grecque de ??l??mentaire th??orie des nombres . ?? l'exception de Autolycus 'sur la sph??re anim??e, l'Elements est un des plus anciens trait??s de math??matiques grecs existants et il est le plus ancien traitement axiomatique d??ductive existante de math??matiques . Il se est av??r?? d??terminant dans le d??veloppement de la logique et moderne la science .

??l??ments d'Euclide est le manuel le plus r??ussi et le plus influent jamais ??crit. ??tant d'abord r??gler dans le type de Venise en 1482, il est l'un des tout premiers travaux math??matiques ?? imprimer apr??s l'invention de la imprimerie et est le deuxi??me seulement ?? la Bible dans le nombre d'??ditions publi??es, avec le nombre atteint plus de mille. Il a ??t?? utilis?? comme texte de base sur la g??om??trie dans le monde occidental pendant environ 2000 ann??es. Pendant des si??cles, lorsque la quadrivium a ??t?? inclus dans le programme d'??tudes de tous les ??tudiants de l'universit??, la connaissance d'au moins une partie des ??l??ments d'Euclide a ??t?? n??cessaire de tous les ??l??ves. Non jusqu'?? ce que le 20??me si??cle, ??poque ?? laquelle son contenu a ??t?? universellement enseign?? dans les livres scolaires, ne cessent d'??tre consid??r??s comme quelque chose de tous les gens instruits avaient lu.

Histoire

Le frontispice d'un Ad??lard de Bath traduction latine des ??l??ments, c d'Euclide. 1309-1316; la traduction latine plus ancien des ??l??ments est un travail du 12??me si??cle par Adelard, ce qui se traduit au latin de l'arabe.

Euclide ??tait Math??maticien grec qui a ??crit Elements ?? Alexandrie au cours de la P??riode hell??nistique (environ 300 avant JC). Les sp??cialistes croient que les ??l??ments est en grande partie une collection de th??or??mes prouv??s par d'autres math??maticiens ainsi que contenant des travaux originaux. Proclus, un math??maticien grec qui vivait plusieurs si??cles apr??s Euclide, ??crit dans son commentaire des ??l??ments: "Euclide, qui a mis ensemble les ??l??ments, la collecte de beaucoup de Les th??or??mes d'Eudoxe, perfectionner beaucoup de Th????t??te ', et aussi apporter ?? la d??monstration irr??fragable les choses qui ne ont ??t?? que peu l??che prouv?? par ses pr??d??cesseurs ".

Bien connu, par exemple, Cic??ron, il ne ya aucune trace existante du texte ayant ??t?? traduit en latin avant Bo??ce dans le cinqui??me ou sixi??me si??cle. Les Arabes ont re??u les ??l??ments de la Byzantins en 760 environ; cette version, par un ??l??ve d'Euclide appel?? Proclo, a ??t?? traduit en arabe sous Harun al Rashid vers 800 AD. La premi??re ??dition est apparu dans 1482 (bas?? sur Giovanni Campano de 1260 ??dition), et depuis lors il a ??t?? traduit en plusieurs langues et publi?? dans environ un millier ??ditions diff??rentes. En 1570, John Dee a fourni une tr??s respect?? "math??matique Pr??face", avec beaucoup de notes et du mat??riel suppl??mentaire, ?? la premi??re ??dition anglaise par Henry Billingsley.

Des exemplaires du texte grec existent encore, dont certains peuvent ??tre trouv??s dans le Biblioth??que du Vatican et de la Bodleian Library ?? Oxford. Les manuscrits disponibles sont de qualit?? variable, et toujours incompl??te. Par une analyse minutieuse des traductions et originaux, des hypoth??ses ont ??t?? ??labor??es sur le contenu du texte original (dont des copies ne sont plus disponibles).

Les textes anciens qui se r??f??rent ?? des ??l??ments lui-m??me et ?? d'autres th??ories math??matiques qui ??taient en cours au moment o?? il a ??t?? ??crit sont ??galement importants dans ce processus. Ces analyses sont effectu??es par JL Heiberg et Sir Thomas Heath dans leurs ??ditions du texte.

Aussi sont d'une importance du scolies ou annotations au texte. Ces ajouts, qui se distinguent souvent du texte principal (selon le manuscrit), accumul??s au fil du temps que les opinions varient sur ce qui ??tait digne d'explication ou de l'??lucidation. Certaines d'entre elles sont utiles et ajouter le texte, mais beaucoup ne sont pas.

Un texte difficile

Bien que l'on consid??re maintenant les ??l??ments ?? un texte sur la g??om??trie ??l??mentaire, ce ne ??tait pas toujours le cas. Il est dit que le roi Ptol??m??e a demand?? une mani??re g??om??trie qui ??tait plus courte que les ??l??ments. Euclid a r??pondu que "il n'y a pas voie royale ?? la g??om??trie ??. Plus r??cemment, Sir Thomas Heath a ??crit, dans l'introduction ?? la biblioth??que Euclid Introduction l'Everyman 1932

"La simple v??rit?? est qu'il n'a pas ??t?? ??crit pour les ??coliers ou ??coli??res, mais pour l'homme adulte qui aurait la connaissance et le jugement n??cessaires pour appr??cier les questions tr??s controvers??es qui doivent ??tre prises avec toute tentative de d??finir l'essentiel de euclidienne en tant que g??om??trie strictement syst??me logique ... ".

Le premier passage difficile du livre I est r??f??r??e comme la pont aux ??nes, qui est latin pour "Pont de Asses" (traditionnellement, il est difficile d'obtenir ??nes de traverser un pont).

Aper??u des ??l??ments

Une preuve de El??ments d'Euclide que, ??tant donn?? un segment de droite, un triangle ??quilat??ral existe qui comprend le segment comme l'un de ses c??t??s. La preuve en est par construction: un triangle ??quilat??ral ΑΒΓ est faite en dessinant des cercles et Δ Ε centr??s sur les points Α et Β, et en prenant une intersection des cercles comme le troisi??me sommet du triangle.

The Elements est toujours consid??r?? comme un chef-d'??uvre dans l'application de la logique de math??matiques . Dans le contexte historique, il se est av??r?? tr??s influent dans de nombreux domaines de la science . Les scientifiques Nicolas Copernic , Kepler , Galil??e , et Sir Isaac Newton ont tous ??t?? influenc??s par les ??l??ments, et ont appliqu?? leurs connaissances de celui-ci ?? leur travail. Les math??maticiens et les philosophes, comme Bertrand Russell , Alfred North Whitehead, et Baruch Spinoza , ont tent?? de cr??er leurs propres "Elements" fondamentaux pour leurs disciplines respectives, en adoptant les structures d??ductives axiomatis??e que le travail d'Euclide introduit.

Le succ??s des ??l??ments est principalement attribuable ?? sa pr??sentation logique de la plupart des connaissances math??matiques disponibles ?? Euclide. Une grande partie de la mati??re d'origine ne est pas lui, bien que la plupart des preuves sont les siennes. Cependant, le d??veloppement syst??matique d'Euclide de son sujet, ?? partir d'un petit ensemble d'axiomes aux r??sultats profondes, et la coh??rence de sa d??marche ?? travers des ??l??ments, a encourag?? son utilisation comme un manuel pour environ 2000 ann??es. Les ??l??ments influe encore des livres de g??om??trie modernes. En outre, son approche axiomatique logique et d??monstrations rigoureuses demeurent la pierre angulaire des math??matiques.

Bien que des ??l??ments est principalement un travail g??om??trique, il inclut ??galement des r??sultats qui aujourd'hui serait class?? comme la th??orie des nombres . Euclid a probablement choisi pour d??crire les r??sultats en th??orie des nombres en termes de g??om??trie, car il ne pouvait pas d??velopper une approche constructible ?? l'arithm??tique. Une construction utilis?? dans l'une des ??preuves d'Euclide requis une preuve qu'il est effectivement possible. Cela ??vite les probl??mes rencontr??s avec les Pythagoriciens irrationnels, puisque leurs preuves fallacieuses tenus habituellement un ??nonc?? tel que "Trouver la plus grande mesure commune de ..."

Premi??res principes

R??server une d'Euclide commence avec 23 d??finitions - telles que le point, la ligne , et surface - suivie par cinq postulats et cinq ??notions communes?? (qui sont tous deux appel?? aujourd'hui axiomes). Ce sont le fondement de tout ce qui suit.

Postule:

1. Un segment de ligne droite peut ??tre trac??e en joignant deux points quelconques.
2. Un segment de ligne droite peut ??tre prolong??e ind??finiment en ligne droite.
3. Compte tenu d'un segment de droite, un cercle peut ??tre dessin?? en utilisant le segment que le rayon et un point d'extr??mit?? de centre.
4. Tous les angles droits sont ??gaux.
5. Si deux lignes sont trac??es qui se coupent tiers de telle sorte que la somme des angles int??rieurs d'un c??t?? est inf??rieur ?? deux angles droits, alors in??vitablement les deux lignes doivent se croiser les uns les autres sur le c??t?? si ??tendue assez loin.

Notions communes:

1. Des choses qui ??galent la m??me chose sont ??gales entre elles. ( Propri??t?? euclidienne de l'??galit??)
2. Si ??gaux sont ajout??s ?? des ??gaux, alors les sommes sont ??gales. (Propri??t?? Ajout de l'??galit??)
3. Si ??gaux sont soustraites des ??gaux, alors les restes sont ??gaux. (Propri??t?? de soustraction de l'??galit??)
4. Les choses qui co??ncident avec une autre sont ??gales les unes aux autres. ( Propri??t?? r??flexive de l'??galit??)
5. Le tout est plus grand que la partie.

Ces principes de base refl??tent l'int??r??t d'Euclide, avec ses math??maticiens grecs et hell??nistiques contemporains, en g??om??trie constructive. Les trois premiers postulats d??crivent essentiellement les constructions on peut effectuer avec un boussole et un banalis??e r??gle. A marqu?? r??gle, utilis?? dans la construction de neusis, est interdit dans la construction Euclide, probablement parce que Euclid ne pouvait pas prouver que les lignes confinant rencontrent.

Postulat des parall??les

Si la somme des deux angles int??rieurs est ??gale ?? 180 ??, les lignes sont parall??les et se croisent jamais.

Le dernier des cinq postulats d'Euclide m??rite une mention sp??ciale. La dite postulat des parall??les semblait toujours moins ??vident que les autres. Euclid se utilis?? qu'avec parcimonie dans le reste des ??l??ments. Beaucoup de g??om??tres soup??onn??s qu'il pourrait ??tre prouvable des autres postulats, mais toutes les tentatives de le faire ont ??chou??.

D??s le milieu du 19e si??cle , il a ??t?? montr?? qu'une telle preuve existe, parce que l'on peut construire g??om??tries non-euclidiennes o?? le postulat des parall??les est fausse, tandis que les autres postulats restent fid??les. Pour cette raison, les math??maticiens disent que le postulat des parall??les est ind??pendant des autres postulats.

Deux alternatives au postulat des parall??les sont possibles dans des g??om??tries non-euclidiennes: soit un nombre infini de lignes parall??les peut ??tre aspir?? ?? travers un point non sur une ligne droite dans un g??om??trie hyperbolique (??galement appel?? G??om??trie Lobachevskian), ou personne ne peut dans un g??om??trie elliptique (??galement appel??e La g??om??trie de Riemann). Que d'autres g??om??tries peuvent ??tre logiquement coh??rente ??tait l'une des d??couvertes les plus importantes en math??matiques, avec de vastes implications pour la science et la philosophie. En effet, Albert Einstein th??orie ??de la relativit?? g??n??rale montre que l'espace r??el dans lequel nous vivons est non-euclidienne.

Contenu des livres

Un fragment des ??l??ments d'Euclide trouv?? ?? Oxyrhynchus , qui est dat?? du Circa 100 AD. Le sch??ma accompagne Proposition 5 du Livre II des ??l??ments.

Livres 1 ?? 4 accord avec la g??om??trie plane:

• Livre 1 contient les propositions de base de la g??om??trie: le th??or??me de Pythagore (Proposition 47), l'??galit?? des angles et des zones , le parall??lisme, la somme des angles d'un triangle, et les trois cas dans lesquels triangles sont ????gaux?? (avoir la m??me aire ).
• Book 2 est commun??ment appel?? le ??livre de l'alg??bre g??om??trique," parce que le mat??riel qu'il contient peut facilement ??tre interpr??t?? en termes de l'alg??bre .
• R??server 3 offres avec des cercles et leurs propri??t??s: angles inscrits, tangentes , la puissance d'un point.
• R??server 4 concerne l'inscription et entourant triangles et polygones r??guliers.

Livres 5 ?? 10 introduisent ratios et proportions:

• R??server 5 est un trait?? sur les proportions de magnitudes.
• R??servez 6 se applique ?? la g??om??trie des proportions: Thales th??or??me, des chiffres similaires.
• R??servez 7 traite strictement th??orie ??l??mentaire num??ro: divisibilit?? , nombres premiers , plus grand commun diviseur , moins commun multiple.
• Livre 8 traite proportions en th??orie des nombres et s??quences g??om??triques.
• R??server 9 applique les r??sultats des deux livres pr??c??dents: l'infinit?? de nombres premiers, la somme d'un s??rie g??om??trique, nombres parfaits .
• R??servez 10 tentatives de classification incommensurables (en langage moderne, irrationnelle ) grandeurs en utilisant le m??thode de l'??puisement, un pr??curseur de l'int??gration .

Livres 11 ?? 13 traitent de g??om??trie spatiale:

• R??server 11 g??n??ralise les r??sultats de Livres 1-6 ?? l'espace: la perpendicularit??, parall??lisme, les volumes de parall??l??pip??des.
• R??server 12 calcule surfaces et des volumes en utilisant la m??thode de l'??puisement: c??nes, pyramides, cylindres, et la sph??re .
• R??server 13 g??n??ralise livre 4 ?? l'espace: section d'or , les cinq r??guliers solides platoniciens inscrits dans une sph??re.

Critique

Malgr?? son acceptation et son succ??s universel, des ??l??ments a ??t?? critiqu??e comme ayant des preuves et des d??finitions insuffisantes. Par exemple, dans le premier livre de construction 1, Euclide a utilis?? une pr??misse qui a ??t?? postul?? ni ni prouv??: que deux cercles de centres ?? la distance de leur rayon se croisent en deux points. Plus tard, dans la quatri??me construction, il a utilis?? le mouvement des triangles de prouver que si deux c??t??s et leurs angles sont ??gaux, ils sont congruents; Toutefois, il n'a pas postuler ou m??me d??finir le mouvement.

Au 19??me si??cle, g??om??tries non-euclidiennes attir?? l'attention des math??maticiens contemporains. Math??maticiens de premier plan, y compris Richard Dedekind et David Hilbert , tent?? de reformuler les axiomes des ??l??ments, par exemple en ajoutant un axiome de continuit?? et un axiome de congruence, de faire la g??om??trie euclidienne plus compl??te.

Math??maticien et historien WW Rouse Ballon envoy?? les critiques en perspective, remarquant que "le fait que depuis deux mille ans [les ??l??ments] ??tait l'habituel texte livre sur le sujet soul??ve une forte pr??somption que ce ne est pas impropre ?? cette fin."

Apocryphes

Il ne ??tait pas rare dans les temps anciens ?? attribuer ?? des auteurs c??l??bres ??uvres qui ne ??taient pas ??crits par eux. Ce est par ces moyens que les apocryphes livres XIV et XV de les ??l??ments ??taient parfois inclus dans la collection. Le parasite livre XIV a probablement ??t?? ??crit par Hypsicles sur la base d'un trait?? par Apollonius. Le livre continue la comparaison d'Euclide des solides r??guliers inscrits dans les sph??res, avec le principal r??sultat ??tant que le rapport des surfaces de la dod??ca??dre et icosa??dre inscrit dans la m??me sph??re est le m??me que le rapport de leurs volumes, le rapport ??tant .

Le parasite livre XV a probablement ??t?? ??crit, au moins en partie, par Isidore de Milet. Ce livre inf??rieure couvre des sujets comme compter le nombre d'ar??tes et angles solides dans les solides r??guliers, et de trouver la mesure des angles di??dres de visages qui r??pondent ?? un bord.

Editions

L' italienne J??suite Matteo Ricci (?? gauche) et le Math??maticien chinois Xu Guangqi (?? droite) a publi?? le chinois ??dition des ??l??ments d'Euclide (幾何原本) en 1607.

• Ann??es 1460, Regiomontanus (incompl??te)
• 1533 ??dition princeps par Simon Gryn??us
• 1572, Commandinus
• 1574, Christoph Clavius

Traductions

• 1505, Zamberti (latin)
• 1543, Venturino Ruffinelli (italien)
• 1555, Johann Scheubel (allemand)
• 1562, Jacob K??ndig (allemand)
• 1564, Pierre Forcadel de B??ziers (Fran??ais)
• 1570, John Day (anglais)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (espagnol)
• 1594, Typografia Medicea (??dition de la traduction en arabe de Nasir al-Din al-Tusi)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (chinois)
• 1660, Isaac Barrow (anglais)
• Pr??sent, Irineu Bicudo (portugais) (travaux en cours)

Actuellement en version imprim??e

"El??ments d'Euclide - Tous les treize livres en un seul volume" Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7 Bas?? sur la traduction de Heath.