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Relation d'??quivalence

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En math??matiques , une relation d'??quivalence est une relation binaire entre deux ??l??ments d'un d??finir les groupes ensemble comme ??tant ????quivalent?? en quelque sorte. Soit a, b et c des ??l??ments arbitraires de certains ensemble X. Ensuite, "a ~ b" ou "ab" indique qu'un ??quivaut ?? b.

Une relation d'??quivalence "~" est r??flexive, sym??trique , et transitive. En d'autres termes, les ??l??ments suivants doivent tenir pour "~" ??tre une relation d'??quivalence sur X:

Une relation d'??quivalence partitionne un ensemble en plusieurs sous-ensembles disjoints, appel??s classes d'??quivalence. Tous les ??l??ments d'une classe d'??quivalence donn??e sont ??quivalents entre eux, et aucun ??l??ment est ??quivalent ?? ne importe quel ??l??ment d'une classe diff??rente.
  • R??flexivit??: une ~ a
  • Sym??trie: si un b ~ b ~ puis une
  • Transitivit??: si un b ~ b ~ c et puis un ~ c.

Le une classe d'??quivalence de la rubrique "~", not??e [A], est la partie de X dont les ??l??ments b sont tels que X a ~ b. avec "~" est appel?? un setoid.

Des exemples de relations d'??quivalence

Une relation d'??quivalence est l'omnipr??sente l'??galit?? ("=") relation entre les ??l??ments de ne importe quel ensemble. D'autres exemples comprennent:

  • ??A le m??me anniversaire que" sur l'ensemble de toutes les personnes, ??tant donn?? la th??orie des ensembles na??ve.
  • "Est similaire ??" ou "congru ??" sur l'ensemble des triangles .
  • "Est congru ?? modulo n "sur les entiers .
  • "A la m??me une image en fonction "sur les ??l??ments de la domaine de la fonction.
  • ??quivalence logique de phrases logiques.
  • "Est- isomorphe ?? "sur mod??les d'un ensemble de phrases.
  • Dans certains set th??ories axiomatiques autres que canonique ZFC (par exemple, Nouvelles fondations et des th??ories connexes):
  • Soit a, b, c, d ??tre des nombres naturels , et laisser (a, b) et (c, d) ??tre paires ordonn??es de ces num??ros. Puis le classes d'??quivalence en vertu de la relation (a, b) ~ (c, d) sont les:
  • Soit (r n) et (n s) soient tout deux Suites de Cauchy de nombres rationnels. Les nombres r??els sont les classes d'??quivalence de la relation (r n) ~ (s n), si la s??quence (r n - s n) a la limite 0.
  • Relations de Green sont cinq relations d'??quivalence sur les ??l??ments d'une semi-groupe.
  • "Est- parall??lement ?? "sur l'ensemble des un sous-espaces de espace affine.

Des exemples de relations qui ne sont pas ??quivalences

  • La relation "≥" entre les chiffres r??els est r??flexive et transitive, mais pas sym??trique. Par exemple, sept ≥ 5 ne implique pas que ≥ 5 7. Il est, cependant, un ordre partiel.
  • Le rapport "a un facteur commun avec plus de 1" entre des nombres naturels sup??rieurs ?? 1, est r??flexive et sym??trique, mais pas transitive. (Les deux nombres naturels et 6 ont un facteur commun sup??rieur ?? 1, et 6 et 3 ont un facteur commun sup??rieur ?? 1, 2 et 3 mais ne ont pas de facteur commun sup??rieur ?? 1).
  • La relation R sur un vide non vide X (ce est ?? dire aRb ne est jamais vrai) est vacuously sym??trique et transitive, mais pas r??flexive. (Si X est ??galement vide alors R est r??flexive.)
  • La relation ??est approximativement ??gal ???? entre les nombres r??els ou d'autres choses, m??me si plus pr??cis??ment d??finis, ne est pas une relation d'??quivalence, parce que m??me si r??flexive et sym??trique, il ne est pas transitive, depuis plusieurs petits changements peuvent se accumuler pour devenir un grand changement.
  • La relation ??est un fr??re du" sur l'ensemble de tous les ??tres humains ne est pas une relation d'??quivalence. Bien siblinghood est sym??trique (si A est un fr??re de B, alors B est un fr??re de A) il ne est ni r??flexive (personne ne est un fr??re de lui-m??me), ni transitive (car si A est un fr??re de B, alors B est un fr??re de A, mais A ne est pas un fr??re de A). Au lieu d'??tre transitive, siblinghood est ??presque transitive??, ce qui signifie que si A ~ B, et B ~ C, et AC, alors A ~ C.
  • La notion de parall??lisme g??om??trie command?? ne est pas sym??trique et est, par cons??quent, pas une relation d'??quivalence.
  • Une relation d'??quivalence sur un ensemble ne est jamais une relation d'??quivalence sur un sur-ensemble appropri?? de cet ensemble. Par exemple R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)} est une relation d'??quivalence sur {1,2,3} mais pas sur {1,2,3,4} ou sur le nombre naturel. Le probl??me est que la r??flexivit?? ??choue parce que (4,4) ne est pas membre.

Connexion ?? d'autres relations

Un relation de congruence est une relation d'??quivalence dont le domaine X est aussi l'ensemble sous-jacent pour une structure alg??brique , et qui respecte la structure suppl??mentaire. En g??n??ral, les relations de congruence jouent le r??le de grains de homomorphismes, et le quotient d'une structure par une relation de congruence peuvent ??tre form??s. Dans de nombreux cas importants relations de congruence ont une repr??sentation alternatif en tant que sous-structures de la structure sur laquelle ils sont d??finis. Par exemple, les relations de la congruence sur les groupes correspondent ?? la sous-groupes normaux.

Ordre et d'??quivalence relations sont ?? la fois transitive, mais seulement ??quivalence relations sont sym??triques ainsi. Si sym??trie est affaiblie ?? antisym??trie, le r??sultat est un ordre partiel.

Un relation d'??quivalence partielle est transitive et sym??trique, mais pas r??flexive.

  • Transitive et sym??trique impliquent r??flexive ssi pour tout a, bX, a ~ b est toujours d??fini.

Un relation de d??pendance est r??flexive et sym??trique, mais pas transitive.
Un pr??commande est r??flexive et transitive, mais ni sym??trique ni antisym??trique.
Un ordre partiel strict est transitive seul.

relations d'??quivalence peuvent donc ??tre consid??r??s comme le point culminant d'une hi??rarchie des relations d'ordre.

classe d'??quivalence, ensemble quotient, la partition

Soit X un ensemble non vide avec des ??l??ments typiques a et b. Quelques d??finitions:

  • L'ensemble de tous a et b pour laquelle une ~ b d??tient composer une classe d'??quivalence de X par ~. Laissez [a] =: {xX: x ~ a} d??signer la classe d'??quivalence ?? laquelle appartient un. Puis tous les ??l??ments de X ??quivalent ?? l'autre sont ??galement des ??l??ments de la m??me classe d'??quivalence: ∀ a, bX (a ~ b[a] = [b]).
  • L'ensemble des classes d'??quivalence possibles de X par ~, not??e X / ~ =: {[x]: xX}, est le quotient ensemble de X par ~. Si X est un espace topologique, il est un moyen naturel de transformer X / ~ dans un espace topologique; voir espace quotient pour les d??tails.
  • Le projection de ~ est la fonction π: XX / ~, d??finie par π (x) = [x], ??l??ments de cartographie de X dans leurs classes d'??quivalence respectifs par ~.
Th??or??me sur projections (Birkhoff et Mac Lane 1999: 35, 19 Th.): Soit la fonction f: XB tels qu'un ~ bf (a) = f (b). Ensuite, il ya une fonction unique g: X / ~B, tel que f = g π. Si f est une surjection et un b ↔ ~ f (a) = f (b), alors g est un bijection.
  • Le noyau de l'??quivalence d'une fonction f est la relation d'??quivalence, not??e Ef, de telle sorte que xEfy de f (x) = f (y). Le noyau de l'??quivalence d'une injection est le relation d'identit??.
  • Un partition de X est un ensemble P de sous-ensembles de X, de telle sorte que chaque ??l??ment de X est un ??l??ment d'un seul ??l??ment de P. Chaque ??l??ment de P est une cellule de la partition. En outre, les ??l??ments de P sont deux ?? deux disjoints et leur union est X.

Th??or??me ("th??or??me fondamental des relations d'??quivalence": Wallace 1998:. 31, Th 8; Dummit et Foote 2004:. 3, Prop 2):

  • Une relation d'??quivalence ~ cloisons X.
  • A l'inverse, correspondant ?? une partition de X, il existe une relation d'??quivalence ~ sur X.

Dans les deux cas, les cellules de la partition de X sont les classes d'??quivalence de X par ~. Etant donn?? que chaque ??l??ment de X appartient ?? une cellule unique d'une partition de X, et ??tant donn?? que chaque cellule de la partition est identique ?? une classe d'??quivalence de X par ~, chaque ??l??ment de X appartient ?? une classe d'??quivalence unique de X par ~. Ainsi, il est un produit naturel bijection de l'ensemble des relations d'??quivalence possibles sur X et l'ensemble de toutes les partitions de X.

Compter partitions possibles. Soit X un ensemble fini ?? n ??l??ments. ??tant donn?? que chaque relation d'??quivalence sur X correspond ?? une partition de X, et vice versa, le nombre de relations d'??quivalence ??ventuels sur X est ??gal au nombre de partitions distinctes de X, qui est la n-i??me Bell a le num??ro B n:

B_n = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {k ^ n} {ek!}.

G??n??ration relations d'??quivalence

  • Compte tenu de tout ensemble X, il ya une relation d'??quivalence sur l'ensemble de tous les possibles fonctions XX. Deux de ces fonctions sont jug??es ??quivalentes lorsque leurs ensembles respectifs de points fixes ont le m??me cardinal, correspondant ?? des cycles de longueur dans un une permutation . Des fonctions ??quivalentes dans cette mani??re forment une classe d'??quivalence sur X 2, et ceux-ci classes d'??quivalence partition X 2.
  • Une relation d'??quivalence ~ sur X est le noyau de l'??quivalence de son surjective projection π: XX / ~. (Birkhoff et Mac Lane 1999: 33 18 Th.). Inversement, toute surjection entre les s??ries d??termine une partition sur son domaine, l'ensemble des pr??images de singletons dans le codomaine. Ainsi, une relation d'??quivalence sur X, une partition de X, et une projection dont le domaine est X, sont trois mani??res ??quivalentes de sp??cifier la m??me chose.
  • L'intersection de deux des relations d'??quivalence sur X (consid??r?? comme un sous-ensemble de X ?? X) est ??galement une relation d'??quivalence. Cela donne un moyen pratique de g??n??rer une relation d'??quivalence: donn?? aucune relation binaire R sur X, la relation d'??quivalence g??n??r?? par R est la plus petite relation d'??quivalence contenant R. Concr??tement, R g??n??re la relation d'??quivalence a ~ b si et seulement si il existe des ??l??ments x 1, x 2, ..., x n en X de telle sorte que a = x 1, b = x n, et (x i, x i + 1)R ou (x i + 1, x i)R, i = 1, ..., n-1.
A noter que la relation d'??quivalence engendr??e de cette mani??re peut ??tre triviale. Par exemple, la relation d'??quivalence ~ g??n??r?? par:
  • La relation binaire a exactement une classe d'??quivalence, X lui-m??me, parce que x ~ y pour tous les x et y;
  • Une relation antisym??trique a classes d'??quivalence qui sont la singletons de X.
  • Soit r toute sorte de relation sur X. Alors R ∪ r -1 est un relation sym??trique. Le fermeture transitive s des rr -1 assure que l'art est transitive et r??flexive. En outre, s est la "plus petite" relation d'??quivalence contenant r, et r / s partiellement commandes X / s.
  • relations d'??quivalence peuvent construire de nouveaux espaces par ??collage des choses ensemble." Soit X l'unit?? Carr?? cart??sien [0,1] ?? [0,1], et laisser ~ la relation d'??quivalence sur X d??finie par ∀ a, b ∈ [0,1] ((a, 0) ~ (a, 1) ∧ (0 , b) ~ (1, b)). Puis le espace quotient X / ~ peut ??tre naturellement identifi?? avec un tore : prendre un morceau de papier carr??, plier et coller ensemble le bord sup??rieur et inf??rieur pour former un cylindre, puis pliez le cylindre r??sultant de mani??re ?? coller ensemble ses deux extr??mit??s ouvertes, r??sultant dans un tore .

Structure alg??brique

Treillis modulaires

Les relations d'??quivalence possibles sur un ensemble X, lorsqu'il a ordonn?? par l'inclusion ensemble , forment un treillis modulaire, appel?? Con X par convention. Le canonique carte ker: XXCon X, concerne la monoid X ^ X de toutes les fonctions sur X et X Con. ker est surjective mais pas injective. Moins formellement, le ker de relation d'??quivalence sur X, prend chaque fonction f: XX ?? sa noyau ker f. De m??me, ker (ker) est une relation d'??quivalence sur X ^ X.

La th??orie des groupes

Il est tr??s bien connu que th??orie treillis capte la structure math??matique de relations d'ordre. Il est moins connu que groupes de transformation (certains auteurs pr??f??rent groupes de permutation) et leur orbites faire la lumi??re sur la structure math??matique de relations d'??quivalence. Tout comme relations d'ordre sont fond??es sur ensembles ordonn??s, ensembles ferm??s en vertu paires supremum et infimum, relations d'??quivalence sont fond??es sur ensembles partitionn??s, ensembles ferm??s en vertu bijections en pr??servant la structure de la partition. Depuis toutes ces bijections carte une classe d'??quivalence sur lui-m??me, ces bijections sont ??galement connus comme les permutations .

Let '~' d??signent une relation d'??quivalence sur un certain ensemble non vide A, appel?? univers ou ensemble sous-jacent. Soit G d??signent l'ensemble des fonctions bijectives sur A qui pr??servent la structure de partition de A:xAgG (g (x)[x]). Ensuite, les trois suivantes sont connect??s th??or??mes (Van Fraassen 1989: ??10.3):

  • ~ Un partitions en classes d'??quivalence. (Ce est le th??or??me fondamental des relations d'??quivalence, mentionn??s ci-dessus);
  • ??tant donn?? un partition de A, G est un groupe de transformation par composition, dont la orbites sont le les cellules de la partition ???;
  • ??tant donn?? un groupe de transformation G sur A, il existe une relation d'??quivalence ~ sur A, dont les classes d'??quivalence sont les orbites de G. (Wallace 1998: 202, Th 6; Dummit et Foote 2004:. 114, 2 Prop.).

En somme, ??tant donn?? une relation d'??quivalence ~ sur A, il existe un groupe de transformation G sur A dont orbites sont les classes d'??quivalence de A sous ~.

Cette caract??risation du groupe de transformation des relations d'??quivalence diff??re fondamentalement de la mani??re treillis caract??risent relations d'ordre. Les arguments des op??rations de la th??orie des treillis rencontrer et sont des ??l??ments de rejoindre un univers A. Pendant ce temps, les arguments de la op??rations du groupe de transformation composition et inverse sont des ??l??ments d'un ensemble de bijections, AA.

D??placement ?? des groupes en g??n??ral, H un sous-groupe d'un certain groupe G. Soit ~ une relation d'??quivalence sur G, de sorte que a ~ b(ab -1H). Les classes d'??quivalence de ~ -??galement appel??s les orbites de la action de H sur G -Y le droit cosets de H dans G. Interchangeant A et B donne les classes ?? gauche.

Pour en savoir plus sur la th??orie des groupes et des relations d'??quivalence, voir Lucas (1973: ??31).

??? Preuve (adapt?? de Van Fraassen 1989: 246). Que la composition de fonctions interpr??ter groupe multiplication et fonction inverse interpr??ter groupe inverse. Alors G est un groupe sous la composition, ce qui signifie que ∀ xAgG ([g (x)] = [x]), parce que G satisfait les quatre conditions suivantes:

  • G est ferm?? dans la composition . La composition de deux ??l??ments quelconques de G existe, car la domaine et codomaine de tout ??l??ment de G est un. En outre, la composition est de bijections bijective (Wallace 1998: 22, Th. 6);
  • Existence de ??l??ment d'identit??. Le la fonction d'identit??, I (x) = x, est un ??l??ment ??vident de G;
  • Existence de fonction inverse . Chaque fonction bijective g a une inverse g -1, de sorte que gg -1 = I;
  • Composition associ??s . f (gh) = (fg) h. Cela vaut pour toutes les fonctions sur tous les domaines (Wallace 1998:. 24, Th 7).

Soit f et g deux ??l??ments de G. En raison de la d??finition de G, [g (f (x))] = [f (x)] et [f (x)] = [x], de sorte que [g (f (x))] = [x ]. D'o?? G est un groupe de transformation (et un groupe d'automorphismes) parce composition de la fonction pr??serve la partition de A. \ Square

La th??orie des cat??gories

La composition de morphismes centraux la th??orie des cat??gories, d??sign?? ici par concat??nation, g??n??ralise la composition des fonctions centrales ?? des groupes de transformation. Les axiomes de th??orie des cat??gories affirmer que la composition de morphismes associ??s, et que la gauche et la droite morphismes d'identit?? existent. Si tous les morphismes dans un cat??gorie ??tait d'avoir ??inverses??, la cat??gorie ressemblerait ?? un groupe de transformation, dont l'??troite relation ?? l'??quivalence relations vient d'??tre expliqu??. Un morphisme f peut ??tre dit d'avoir un inverse lorsque f est une automorphismes, ?? savoir la domaine et codomaine de f sont identiques, et il existe un morphisme g telle que fg = gf = identit?? morphisme. D'o?? le concept de la cat??gorie la th??orie la plus proche ?? une relation d'??quivalence est une cat??gorie dont les morphismes sont tous les automorphismes.

relations d'??quivalence et de la logique math??matique

Relations d'??quivalence sont une source imm??diate d'exemples ou de contre-exemples. Par exemple, une relation d'??quivalence avec exactement deux classes d'??quivalence infinis est un exemple simple d'une th??orie qui est ω- cat??gorique, mais pas cat??gorique pour tout grand nombre cardinal .

Une implication des th??orie du mod??le est que les propri??t??s d??finissant une relation peut ??tre prouv?? ind??pendants les uns des autres (et donc n??cessaires parties de la d??finition) si et seulement si, pour chaque propri??t??, des exemples peuvent ??tre trouv??s des relations qui ne satisfont pas la propri??t?? donn??e tout en satisfaisant tous les autres propri??t??s. D'o?? la d??finition des propri??t??s de trois relations d'??quivalence peut ??tre prouv??e mutuellement ind??pendants par les trois exemples suivants:

  • R??flexive et transitive: La relation ≤ sur N. Ou tout pr??-commande;
  • Sym??trique et transitive: La relation R sur N, d??finie comme aRbab ≠ 0. Ou tout relation d'??quivalence partielle;
  • R??flexive et sym??trique: Le rapport R sur Z, d??fini comme aRb"a - b est divisible par au moins un des deux ou 3." Ou tout relation de d??pendance.

Propri??t??s d??finissables en logique du premier ordre qu'une relation d'??quivalence peut ou peut ne pas poss??der comprennent:

  • Le nombre de classes d'??quivalence est fini ou infini;
  • Le nombre de classes d'??quivalence est ??gale ?? la (fini) nombre naturel n;
  • Toutes les classes d'??quivalence ont infinie cardinal;
  • Le nombre d'??l??ments dans chaque classe d'??quivalence est le nombre naturel n.

L'??quivalence pr??vue Euclid

Euclid s ' The Elements inclut la "notion commune une" suivante:

Des choses qui ??galent la m??me chose aussi ??gale une autre.

Aujourd'hui, la propri??t?? d??crite par une notion commune est appel??e Euclidienne (en rempla??ant "??gale" par "sont en relation avec"). Les connecte th??or??me suivant Relations euclidiennes et relations d'??quivalence:

Th??or??me. Si une relation est euclidienne et r??flexive, ce est aussi sym??trique et transitive.

Preuve:

  • (ARCBRC)aRb [a / c] = (aRaBRA)aRb [r??flexive; effacer T ∧] = bRaaRb. D'o?? R est sym??trique .
  • (ARCBRC)aRb [sym??trie] = (ARCCRB)aRb. D'o?? R est transitive. \ Square

Ainsi une relation d'??quivalence est une relation qui est euclidienne et r??flexive. Les ??l??ments ne mentionne ni sym??trie, ni r??flexivit??, et d'Euclide aurait probablement jug?? la r??flexivit?? de l'??galit?? trop ??vident pour justifier mention explicite. Si ce (et en prenant ????galit???? comme une relation abstraite tout usage) est accord??e, une lecture de bienfaisance de notion commune serait une cr??diter Euclid d'??tre le premier ?? concevoir des relations d'??quivalence et de leur importance dans syst??mes d??ductifs.

R??cup??r?? ?? partir de " http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equivalence_relation&oldid=192272390 "