Division (math??matiques)

En math??matiques , en particulier dans ??l??mentaire arithm??tique , la division est une op??ration arithm??tique qui est l'inverse de la multiplication .

Plus pr??cis??ment, si c fois B est ??gal ?? un, ??crit:

o?? b ne est pas nul , alors divis?? par un b est ??gal ?? c, ??crit:

Par exemple,

depuis

.

Dans l'expression ci-dessus, un se appelle le dividende, le diviseur b et c du quotient.

La division par z??ro (?? savoir lorsque le diviseur est z??ro) ne est pas d??finie.

Notation

Division est le plus souvent repr??sent?? en pla??ant le dividende sur le diviseur avec une ligne horizontale, ??galement appel?? vinculum, entre eux. Par exemple, un divis?? par b est ??crit

Cela peut ??tre lu ?? haute voix "a divis?? par b" ou "a sur b". Une fa??on d'exprimer la division sur une seule ligne est d'??crire le dividende, puis un slash, le diviseur, comme ceci:

Ce est la fa??on habituelle de pr??ciser la division informatique dans la plupart des langages de programmation car elle peut facilement ??tre saisi comme une simple s??quence de caract??res.

Une variation typographique, qui est ?? mi-chemin entre ces deux formes, utilise un solidus (barre de fraction), mais ??l??ve le dividende, et abaisse le diviseur:

^a / _b.

Chacune de ces formes peuvent ??tre utilis??s pour afficher une fraction . Une fraction est une expression de division o?? les deux dividende et le diviseur sont des nombres entiers (bien que g??n??ralement appel?? le num??rateur et le d??nominateur), et il n'y a pas d'incidence que la division doit ??tre ??valu??e plus loin.

Une mani??re moins commune pour montrer la division est d'utiliser la Obelus (ou signe de division) de cette mani??re:

Cette forme est rare sauf dans l'arithm??tique ??l??mentaire. Le Obelus est ??galement utilis?? seul pour repr??senter l'op??ration de division elle-m??me, comme par exemple sous forme d'??tiquette sur une touche d'un calculateur .

Dans certains non Anglais cultures -speaking, "a divis?? par b" est ??crit a: b. Cependant, dans l'usage de l'anglais colon est limit?? ?? exprimer le concept connexe de ratios (puis ??A est ?? B").

division Informatique

Une personne qui conna??t le tables de multiplication peuvent diviser deux nombres entiers en utilisant crayon et du papier et la m??thode de division longue. Si le dividende a une fraction de partie (exprim??e en fraction d??cimale ), nous pouvons continuer l'algorithme pass?? ceux lieu autant que souhait??. Si le diviseur a une partie fractionnaire, nous pouvons reformuler le probl??me en d??pla??ant la d??cimale vers la droite dans les deux chiffres jusqu'?? ce que le diviseur ne comporte aucune fraction.

Les ordinateurs modernes calculent division par des m??thodes qui sont plus rapides que la division de long: voir Division (num??rique).

Une personne peut calculute division avec un boulier en pla??ant plusieurs reprises le dividende sur l'abaque, puis en soustrayant le diviseur le d??calage de chaque chiffre dans le r??sultat, en comptant le nombre de divisions possibles ?? chaque d??calage.

En arithm??tique modulaire , certains num??ros ont une inverse multiplicatif par rapport au module. Nous pouvons calculer la division par la multiplication dans un tel cas. Cette approche est utile dans les ordinateurs qui ne ont pas une instruction de division rapide.

algorithme de division

Le algorithme de division est un th??or??me de math??matiques qui exprime pr??cis??ment le r??sultat du processus habituel de division de nombres entiers. En particulier, le th??or??me affirme que entiers appel?? le quotient q et le reste r existe toujours et qu'ils sont d??termin??s uniquement par le dividende et le diviseur un d, avec d ≠ 0. Formellement, le th??or??me est d??clar?? ce qui suit: Il existe q et r des nombres entiers uniques de telle sorte que a = qd + r et 0 ≤ r <| d |, o?? | d | d??note la valeur absolue de d.

Division de nombres entiers

Division de nombres entiers ne est pas ferm??e. Mis ?? part la division par z??ro est d??finie, le quotient ne sera pas un nombre entier ?? moins que le dividende est un multiple entier du diviseur; par exemple 26 ne peut ??tre divis?? par 10 pour donner un entier. Dans un tel cas, il ya quatre approches possibles.

1. Dire que 26 ne peut ??tre divis?? par 10; division devient un fonction partielle.
2. Donnez la r??ponse comme une fraction d??cimale ou un nombre mixte , de sorte ou . Ce est l'approche g??n??ralement pris en math??matiques.
3. Donnez la r??ponse comme un entier et un quotient reste, de sorte reste six.
4. Donnez le quotient entier comme la r??ponse, donc . Cela est parfois appel?? la division enti??re.

Il faut ??tre prudent lorsque vous effectuez division de nombres entiers dans un Programme d'ordinateur. Certains langages de programmation tels que C , traiteront division de nombres entiers comme dans le cas 4 ci-dessus, de sorte que la r??ponse sera un entier. D'autres langues, telles que MATLAB, va d'abord convertir les entiers en nombres r??els, et ensuite donner un nombre r??el comme la r??ponse, comme dans le cas 2 ci-dessus.

Les noms et les symboles utilis??s pour la division enti??re comprennent div, /, \, et%. Les d??finitions varient en ce qui concerne la division enti??re lorsque le quotient est n??gatif: l'arrondissement peuvent ??tre vers z??ro ou vers moins l'infini .

r??gles de divisibilit?? peuvent parfois ??tre utilis??s pour d??terminer rapidement si un entier divise exactement dans l'autre.

Division des nombres rationnels

Le r??sultat de la division de deux nombres rationnels est un autre nombre rationnel lorsque le diviseur ne est pas 0. Nous pouvons d??finir la division de deux nombres rationnels p / q et r / s par

Tous les quatre grandeurs sont des entiers, et p peuvent seulement ??tre 0. Cette d??finition se assure que la division est l'op??ration inverse de la multiplication .

Division de nombres r??els

Division de deux nombres r??els r??sultats dans un autre nombre r??el lorsque le diviseur ne est pas 0. Il est d??fini comme a / b = c si et seulement si A = cb et b ≠ 0.

Division de nombres complexes

Divisant deux nombres complexes r??sultats dans un autre nombre complexe lorsque le diviseur ne est pas 0, d??finie ainsi:

Tous les quatre quantit??s sont des nombres r??els. R et S peuvent pas ??tre tous deux 0.

Division de nombres complexes exprim??es sous forme polaire est plus simple que la d??finition ci-dessus:

Encore une fois tous les quatre quantit??s sont des nombres r??els. R peut ne pas ??tre 0.

Division des polyn??mes

On peut d??finir l'op??ration de division pour les polyn??mes . Puis, comme dans le cas des nombres entiers, on a un reste. Voir Division d'un polyn??me.

Division de matrices

On peut d??finir une op??ration de division pour les matrices. La mani??re habituelle de le faire est de d??finir A / B = AB ^-1, o?? B ^-1 d??signe la inverse de B, mais il est beaucoup plus fr??quent d'??crire AB ^-1 (ou B ^-1 A) explicitement pour ??viter toute confusion.

Gauche et la division droit

Parce que la multiplication de matrices ne est pas commutative , on peut ??galement d??finir un division ou soi-disant anti-slash-division gauche comme A \ B = A ^-1 B. Pour que cela soit bien d??fini, B ^-1 besoin existait pas, cependant Une ^-1 n'a pas besoin d'exister. Pour ??viter toute confusion, la division tel que d??fini par A / B = AB ^-1 est parfois appel?? division de droite ou une barre oblique-division dans ce contexte.

Notez qu'avec la division gauche et ?? droite d??fini de cette fa??on, A / (BC) est en g??n??ral pas le m??me que (A / B) / C et ne est (AB) \ C le m??me que A \ (B \ C), mais A / (BC) = (A / C) / B et (AB) \ C = B \ (A \ C).

division de Matrix et pseudo-

Pour ??viter les probl??mes ^-1 lorsque A et / ou B ^-1 ne existent pas, la division peut ??galement ??tre d??finie comme la multiplication avec pseudo-inverse, ce est-A / B = AB ⁺ et A \ B = A ⁺ B, o?? A ⁺ et B ⁺ repr??sentent le pseudo-inverse de A et B.

Division en alg??bre abstraite

Dans alg??bres abstraites telles que la matrice et alg??bres alg??bres de quaternions, fractions telles que sont g??n??ralement d??finis comme ou o?? est pr??sum?? ??tre un ??l??ment inversible (ie il existe un inverse multiplicatif tel que o?? est l'identit?? multiplicative). Dans un domaine int??grante o?? ces ??l??ments ne existent pas, la division peuvent encore ??tre effectu??es sur les ??quations de la forme ou par annulation, respectivement ?? gauche ou ?? droite. Plus g??n??ralement "division" dans le sens de ??annulation?? qui peut ??tre fait dans ne importe quel sonner avec les propri??t??s d'annulation susmentionn??s. Si un tel anneau est fini, puis par l'application de la classer principe, chaque ??l??ment non nul de l'anneau est inversible, donc division par tout ??l??ment non nul est possible dans un tel anneau. Pour en savoir quand alg??bres (au sens technique) ont une op??ration de division, reportez-vous ?? la page sur alg??bres de division. En particulier P??riodicit?? de Bott peut ??tre utilis?? pour montrer que toute r??elle norm?? alg??bre de division doit ??tre isomorphe soit au nombres r??els R, le nombre complexe C, le quaternions H, ou le octonions O.

Division et le calcul

Le d??riv?? du quotient de deux fonctions est donn??e par la r??gle quotient:

Il ne existe aucune m??thode g??n??rale pour int??grer le quotient de deux fonctions.