Courbe

Renseignements g??n??raux

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Un parabole, un exemple simple d'une courbe

En math??matiques , une courbe (aussi appel?? une ligne courbe dans les textes anciens) est, de mani??re g??n??rale, un objet semblable ?? une ligne mais qui ne est pas n??cessaire d'??tre tout droit. Cela implique qu'une ligne est un cas particulier de la courbe, ?? savoir une courbe avec null courbure. Souvent, dans les courbes en deux dimensions ( courbes planes) ou en trois dimensions (courbes spatiales) espace euclidien sont d'int??r??t.

Diverses disciplines dans les math??matiques ont donn?? le terme des significations diff??rentes en fonction de la zone d'??tude, de sorte que le sens pr??cis d??pend du contexte. Cependant, bon nombre de ces significations sont des cas particuliers de la d??finition qui suit. Une courbe est un espace topologique qui est localement hom??omorphe ?? une ligne. Dans le langage courant, cela signifie que la courbe est un ensemble de points qui, ?? proximit?? de chacun de ses points, ressemble ?? une ligne, jusqu'?? une d??formation. Un exemple simple d'une courbe est la parabole, indiqu?? ?? droite. Un grand nombre d'autres courbes ont ??t?? ??tudi??s dans des domaines multiples et math??matiques.

La courbe terme a plusieurs significations en langue non-math??matique ainsi. Par exemple, il peut ??tre presque synonyme de fonction math??matique (comme dans courbe d'apprentissage), ou graphique d'une fonction (comme dans Courbe de Phillips).

Une arc ou un segment de courbe est une partie d'une courbe qui est d??limit?? par deux points d'extr??mit?? distinctes et contient tous les points de la courbe entre ses points d'extr??mit??. Selon la mani??re dont l'arc est d??finie, l'un des deux points d'extr??mit?? peuvent ou non faire partie de celui-ci. Lorsque l'arc est droite, il est g??n??ralement appel?? segment de ligne.

Histoire

Art m??galithique de Newgrange montrant un int??r??t pr??coce pour courbes

Fascination avec des courbes a commenc?? longtemps avant qu'ils ont fait l'objet d'??tude math??matique. Ceci peut ??tre vu dans de nombreux exemples de leur usage d??coratif dans l'art et sur les objets du quotidien datant de la pr??histoire. Courbes, ou tout au moins leurs repr??sentations graphiques, sont simples ?? cr??er, par exemple par un b??ton dans le sable sur une plage.

Historiquement, le terme ??ligne?? a ??t?? utilis?? ?? la place du terme "courbe" plus moderne. Par cons??quent, les expressions ??ligne droite?? et ??ligne droite?? ont ??t?? utilis??s pour distinguer ce qui est appel?? aujourd'hui les lignes de "lignes courbes??. Par exemple, dans le livre I des ??l??ments d'Euclide , une ligne est d??finie comme une "longueur sans largeur" (Def. 2), tandis qu'une ligne droite est d??finie comme ??une ligne qui est ??galement plac??e entre les points sur elle-m??me?? (Def. 4) . L'id??e d'Euclide d'une ligne est peut-??tre clarifi?? par la d??claration "Les extr??mit??s d'une ligne sont des points," (Def. 3). Commentateurs ult??rieurs class??es en outre des lignes selon les diff??rents r??gimes. Par exemple:

Lignes composites (lignes formant un angle)
Lignes Incomposite
- D??termin?? (lignes qui ne se ??tendent pas ind??finiment, telles que le cercle)
- Ind??termin??e (lignes qui se ??tendent ind??finiment, comme la ligne droite et la parabole)

Les courbes cr????es par tranchage un c??ne ( des sections coniques ) ont ??t?? parmi les courbes ??tudi??es dans la Gr??ce antique.

Le Grec g??om??tres avaient ??tudi?? de nombreux autres types de courbes. Une raison ??tait de leur int??r??t pour la r??solution de probl??mes g??om??triques qui ne pouvaient ??tre r??solus en utilisant la norme r??gle et au compas construction. Ces courbes sont les suivants:

Les sections coniques , profond??ment ??tudi??es par Apollonius de Perge
Le cisso??de de Diocl??s, ??tudi??e par Diocl??s et utiliser une m??thode pour doubler le cube.
Le concho??de de Nicom??de, ??tudi??e par Nicomedes comme m??thode ?? la fois ?? deux fois le cube et ?? trisecter un angle.
Le Spirale d'Archim??de, ??tudi?? par Archim??de comme une m??thode pour trisecter un angle et la quadrature du cercle.
Le Spiric sections, sections de tores ??tudi??s par Pers??e que des sections de c??nes avait ??t?? ??tudi?? par Apollonius.

Analytic courbes g??om??trie permises, comme le Folium de Descartes, ?? d??finir en utilisant des ??quations au lieu de construction g??om??trique.

Une avanc??e fondamentale dans la th??orie des courbes ??tait l'av??nement de la g??om??trie analytique au XVIIe si??cle. Cela a permis une courbe ?? ??tre d??crit par une ??quation plut??t que d'une construction g??om??trique complexe. Ce permis non seulement de nouvelles courbes ?? d??finir et ??tudi??, mais il a permis une distinction formelle ?? faire entre les courbes qui peuvent ??tre d??finis ?? l'aide ??quations alg??briques, courbes alg??briques, et ceux qui ne peuvent pas, courbes transcendantes. Auparavant, les courbes ont ??t?? d??crits comme ??g??om??trique?? ou ??m??canique??, selon la fa??on dont ils ??taient ou pourraient ??tre suppos??ment, g??n??r??s.

Sections coniques ont ??t?? appliqu??es dans l'astronomie par Kepler . Newton a ??galement travaill?? sur un exemple pr??coce dans le calcul des variations . Les solutions aux probl??mes de variations, comme le brachistochrone et questions tautochrone, propri??t??s introduites de courbes dans de nouvelles fa??ons (dans ce cas, le cyclo??de). Le cat??naire tire son nom comme la solution au probl??me d'une cha??ne de suspension, le genre de question qui est devenue r??guli??rement accessible par des moyens de le calcul diff??rentiel.

Au XVIIIe si??cle vinrent les d??buts de la th??orie des courbes planes alg??briques, en g??n??ral. Newton avait ??tudi?? la cubiques, dans la description g??n??rale des points r??els en ??ovales??. La d??claration de Th??or??me de B??zout a montr?? un certain nombre d'aspects qui ne ??taient pas directement accessibles ?? la g??om??trie de l'??poque, ?? voir avec les points singuliers et des solutions complexes.

D??s le XIXe si??cle, il ne est pas une th??orie de la courbe s??par??e, mais plut??t l'apparence de courbes que l'aspect unidimensionnel de la g??om??trie projective, et la g??om??trie diff??rentielle ; et par la suite la topologie , lorsque par exemple la Th??or??me de Jordan a ??t?? entendu ?? mentir assez profond, ainsi que d'??tre requis dans analyse complexe. L'??re de la courbe l'espace-remplissage finalement provoqu?? les d??finitions modernes de la courbe.

Topologie

Les limites des composantes hyperboliques de Mandelbrot comme courbes ferm??es

Dans la topologie , une courbe est d??finie comme suit. Laisser $Je$ ??tre un intervalle de nombres r??els (c.-??-un non vide reli?? sous-ensemble de $\ Mathbb {R}$ ). Ensuite, une courbe $\! \, \ Gamma$ est un continu cartographie $! \, \ \ Gamma: Je \ rightarrow X$ O?? $X$ est un espace topologique.

La courbe $\! \, \ Gamma$ est dit ??tre simple, ou un arc Jordanie, se il est injective, ce est ?? dire si pour tout $x$ , $y$ en $Je$ , Nous avons $\, \! \ Gamma (x) = \ gamma (y)$ implique $x = y$ . Si $Je$ est un intervalle ferm?? born?? $\, \! [A, b]$ , Nous permettons aussi la possibilit?? $\, \! \ Gamma (a) = \ gamma (b)$ (Cette convention permet de parler de courbes simples ??ferm??s??, voir ci-dessous).

En d'autres termes cette courbe "ne se croisent pas et n'a pas de points manquants".

Si $\ Gamma (x) = \ gamma (y)$ pour certains $x \ ne y$ (Autres que les extr??mit??s de $Je$ ), Puis $\ Gamma (x)$ est appel?? un point double (ou multiple) de la courbe.

Une courbe $\! \, \ Gamma$ est dit ??tre ferm?? ou si une boucle $\, \! I = [a, b]$ et si $\! \, \ Gamma (a) = \ gamma (b)$ . Une courbe ferm??e est donc une application continue du cercle $S ^ 1$ ; une courbe ferm??e simple est ??galement appel??e courbe de Jordan. Le Th??or??me de Jordan indique que ces courbes divisent le plan en un ??int??rieur?? et ??ext??rieur??.

Un courbe plane est une courbe pour lesquels X est le plan euclidien -Ce sont les exemples les premier rencontr??es ou dans certains cas, la plan projectif. Une courbe de l'espace est une courbe pour laquelle X est de trois dimensions, g??n??ralement l'espace euclidien ; une courbe gauche est une courbe de l'espace qui se trouve dans aucun plan. Ces d??finitions se appliquent ??galement ?? courbes alg??briques (voir ci-dessous). Toutefois, dans le cas des courbes alg??briques, il est tr??s fr??quent de consid??rer les syst??mes num??riques plus g??n??rale que les r??els.

Cette d??finition de la courbe capte notre notion intuitive d'une courbe comme une figure g??om??trique connect??, continu qui est "similaire" une ligne, sans ??paisseur et tir?? sans interruption, m??me se il comprend ??galement des chiffres qui peuvent difficilement ??tre appel??s courbes d'usage courant. Par exemple, l'image d'une courbe peut couvrir un carr?? dans le plan ( courbe de remplissage d'espace). L'image de la courbe de simple plan peut avoir Hausdorff dimension plus grande que l'un (voir Flocon de Koch) et m??me positif Mesure de Lebesgue (le dernier exemple peut ??tre obtenu par la faible variation de Peano courbe construction). Le courbe dragon est un autre exemple inhabituel.

Conventions et terminologie

La distinction entre une courbe et son l'image est importante. Deux courbes distinctes peuvent avoir la m??me image. Par exemple, un segment de droite peut ??tre trac??e en oeuvre ?? des vitesses diff??rentes, ou un cercle peut ??tre d??plac?? d'un nombre diff??rent de fois. Plusieurs fois, cependant, nous sommes seulement int??ress??s ?? l'image de la courbe. Il est important de pr??ter attention au contexte et de congr??s de lecture.

La terminologie est ??galement pas uniforme. Souvent, topologues utilisent le terme " chemin "pour ce que nous appelons une courbe, et" courbe "pour ce que nous appelons l'image d'une courbe. Le terme" courbe "est plus fr??quente dans le calcul vectoriel et de g??om??trie diff??rentielle .

Les longueurs des courbes

Si $X$ est un espace m??trique avec m??trique $r??$ , Alors nous pouvons d??finir la longueur d'une courbe $! \ \, \ Gamma: [a, b] \ rightarrow X$ par

$\ Text {longueur} (\ gamma) = \ sup \ left \ {\ {sum_ i = 1} ^ e (\ gamma (t_i), \ gamma (t_ {i-1})): n \ in \ mathbb { N} \ text {et} a = t_0 <t_1 <\ cdots <t_n = b \ right \}.$

o?? le sup est sur toutes $n$ et toutes les partitions $t_0 <t_1 <\ cdots <t_n$ de $[A, b]$ .

Une courbe rectifiable est une courbe avec longueur finie. Un param??trisation des $\! \, \ Gamma$ est appel?? (vitesse ou unit?? ou param??tr??e par la longueur d'arc) naturelle si, pour quelque $t_1$ , $t_2$ en $[A, b]$ , Nous avons

$\ Text {longueur} (\ gamma | _ {[t_1, t_2]}) = | t_2-t_1 |.$

Si $\! \, \ Gamma$ est un Fonction Lipschitz continue, alors il est automatiquement rectifiable. De plus, dans ce cas, on peut d??finir la vitesse (ou d??riv?? m??trique) des $\! \, \ Gamma$ ?? $t_0$ comme

$\ Text {vitesse} (t_0) = \ limsup_ {t \ pour t_0} {d (\ gamma (t), \ gamma (t_0)) \ over | t-t_0 |}$

et puis

$\ Text {longueur} (\ gamma) = \ int_a ^ b \ text {} vitesse (t) \, dt.$

En particulier, si $X = \ mathbb {R} ^ n$ est un espace euclidien et $\ Gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ est diff??rentiable alors

$\ Text {longueur} (\ gamma) = \ int_a ^ b | \ gamma '(t) | \, dt.$

G??om??trie diff??rentielle

Alors que les premiers exemples de courbes que l'on rencontre sont pour la plupart courbes planes (ce est, dans les mots de tous les jours, des lignes courbes dans l'espace ?? deux dimensions), il ya des exemples ??vidents tels que la h??lice qui existent naturellement dans les trois dimensions. Les besoins de la g??om??trie, mais aussi par exemple la m??canique classique sont d'avoir une notion de la courbe dans l'espace d'un nombre quelconque de dimensions. Dans la relativit?? g??n??rale , une ligne de monde est une courbe dans l'espace-temps.

Si $X$ est un vari??t?? diff??rentiable, alors nous pouvons d??finir la notion de courbe diff??rentiable $X$ . Cette id??e g??n??rale est suffisant pour couvrir la plupart des applications de courbes en math??matiques. D'un point de vue local, on peut prendre $X$ d'??tre l'espace euclidien . D'autre part, il est utile d'??tre plus g??n??rale, en ce que (par exemple), il est possible de d??finir le vecteurs tangents ?? $X$ au moyen de cette notion de courbe.

Si $X$ est un vari??t?? lisse, une courbe lisse $X$ est un carte lisse

$! \ \, \ Gamma: I \ rightarrow X.$

Ce est une notion fondamentale. Il ya des id??es moins et plus restreints, aussi. Si $X$ est un $C ^ k$ collecteur (ce est ?? dire, un collecteur dont cartes sont $k$ fois contin??ment diff??rentiable), puis un $C ^ k$ courbe en $X$ est une courbe qui est seulement suppos?? ??tre $C ^ k$ (C. $k$ fois contin??ment diff??rentiable). Si $X$ est une vari??t?? analytique (ce est ?? dire infiniment diff??rentiables et les graphiques sont exprimable en s??rie de puissance ), et $\ Gamma$ est une carte analytique, puis $\ Gamma$ est dit ??tre une courbe analytique.

Une courbe diff??rentiable est dite r??guli??re si son d??riv?? ne se annule jamais. (En mots, une courbe r??guli??re ne ralentit jamais ?? un arr??t ou revient en arri??re sur lui-m??me.) Deux $C ^ k$ courbes diff??rentiables

$! \ \ \ Gamma_1: Je \ rightarrow X$ et

$! \ \ \ Gamma_2: J \ rightarrow X$

sont dites ??quivalentes se il existe un bijective $C ^ k$ carte

$\ \, P:! J \ rightarrow I$

de telle sorte que la carte inverse

$! \ \, P ^ {- 1}: Je \ rightarrow J$

est aussi $C ^ k$ Et

$\! \, \ Gamma_ {2} (t) = \ gamma_ {1} (p (t))$

pour tous $t$ . La carte $\ Gamma_2$ est appel?? un reparam??trisation de $\ Gamma_1$ ; ce qui rend une relation d'??quivalence sur l'ensemble de tous $C ^ k$ courbes diff??rentiables dans $X$ . Un $C ^ k$ est un arc classe d'??quivalence de $C ^ k$ courbes sous le rapport de reparam??trisation.

Courbe alg??brique

Courbes alg??briques sont les courbes consid??r??es dans g??om??trie alg??brique. Une courbe alg??brique plane est le lieu des points de coordonn??es x, y telles que f (x, y) = 0, o?? f est un polyn??me ?? deux variables d??finies sur un domaine C. La g??om??trie alg??brique regarde normalement non seulement sur des points de coordonn??es par F, mais sur tous les points de coordonn??es dans un corps alg??briquement clos K. Si C est une courbe d??finie par un polyn??me avec des coefficients f par F, la courbe est d??finie sur ledit C. Les points de la courbe C de coordonn??es dans un champ G sont dits rationnel sur G et peuvent ??tre not??es C (G)); ainsi la pleine courbe C = C (K).

Courbes alg??briques peuvent ??galement ??tre courbes spatiales, ou des courbes en dimension encore plus ??lev??, obtenu comme l'intersection (solution de consigne de courant) de plus d'une ??quation polynomiale ?? plus de deux variables. En ??liminant les variables (par ne importe quel outil de la th??orie d'??limination), une courbe alg??brique peut ??tre projet??e sur un courbe alg??brique plane, qui peuvent toutefois introduire de nouvelles singularit??s telles que cuspides ou le double de points.

Une courbe plane peut ??galement peut ??galement ??tre r??alis??e en une courbe dans le plan projectif: si une courbe est d??finie par un polyn??me f de degr?? d totale, puis ^d w f (u / w, v / p) ?? une simplifie g polyn??me homog??ne (u, v, w) de degr?? d. Les valeurs de u, v, w telle que g (u, v, w) = 0 sont les coordonn??es homog??nes des points de l'ach??vement de la courbe dans le plan projectif et les points de la courbe initiale sont ceux tels w est pas z??ro. Un exemple est le Fermat courbe u ⁿ + v ⁿ = w ^n, qui a une forme affine x ⁿ + y ⁿ = 1. Un processus similaire d'homog??n??isation peut ??tre d??fini pour les courbes dans des espaces de dimensions sup??rieures

Des exemples importants de courbes alg??briques sont les coniques , qui sont non singuli??res courbes de degr?? deux et genre z??ro et elliptiques courbes , qui sont courbes non singuli??res du genre une ??tudi?? dans la th??orie des nombres et qui ont des applications importantes pour la cryptographie . Comme les courbes alg??briques dans les domaines de le plus souvent caract??ristique z??ro sont ??tudi??s au cours des nombres complexes , courbes alg??briques en g??om??trie alg??brique peuvent ??tre consid??r??s comme de v??ritables surfaces. En particulier, les courbes alg??briques projectives complexes non-singuliers sont appel??es surfaces de Riemann .

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