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Curl (math??matiques)

Sujets connexes: Math??matiques

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Dans le calcul vectoriel , boucle (ou: rotor) est un op??rateur vectoriel qui montre un ??Le taux de de champ de vecteurs rotation ??, ce est-?? la direction de l'axe de rotation et la amplitude de la rotation. Il peut ??galement ??tre d??crit comme le la densit?? de la circulation.

"Rotation" et "circulation" sont utilis??s ici pour propri??t??s d'une fonction de vecteur de la position, ind??pendamment de leur ??ventuel changement dans le temps.

Un champ de vecteurs qui a courbure nulle partout est appel?? irrotationnel.

Le rotor de la terminologie alternatif et autre notation (utilis?? dans de nombreux pays europ??ens) est \ {Operatorname pourriture} (\ mathbf {F}) sont souvent utilis??s pour friser et \ {Operatorname boucle} (\ mathbf {F}) .

Coordonner-invariant D??finition comme une densit?? de circulation

Le composant de \ {Operatorname boucle} (\ mathbf {F}) dans la direction du vecteur unitaire \ Mathbf {\ hat u} est la limite d'une int??grale de ligne par unit?? de surface de \ Mathbf {F} , ?? savoir l'int??grale ci-apr??s la courbe ferm??e \ S ^ {partielle (2)} . Cette courbe ferm??e est dans un plan normal ?? \ Mathbf {\ hat u} :

\ Mathbf {\ hat u} _ {| \ (\, S ^ {(2)} \ perp \ mathbf \ hat \ u,)} \ cdot \ operatorname {boucle} (\ mathbf {F}) = \ lim_ {S ^ {(2)} \ rightarrow 0} \ frac {1} {| S ^ {(2)} |} \ oint _ {\ S partielle ^ {(2)}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l}

Maintenant pour calculer les composants de \ {Operatorname boucle} (\ mathbf {F}) par exemple en coordonn??es cart??siennes , remplacer \ Mathbf {\ hat u} avec des vecteurs unitaires i, j et k.

Ceci d??finit non seulement la courbure d'une mani??re libre de tout coordonn??es, mais rend ??galement visible que ce est une densit?? de circulation.

Le th??or??me de Stokes (voir ci-dessous) peut ??tre directement d??riv??e de celle-ci et de la repr??sentation en coordonn??es sp??ciaux peut ??tre explicitement obtenu.

Usage

En math??matiques la boucle est d??fini comme:

\ {Operatorname boucle} (\ mathbf {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F}

o?? F est le champ de vecteurs de la boucle qui est appliqu??e. Bien que la version sur la droite est strictement un abus de notation, il est toujours utile en tant que mnemonic si nous prenons \ Nabla comme vecteur op??rateur diff??rentiel del ou nabla. Cette notation impliquant op??rateurs est courante dans la physique et l'alg??bre .

??largi en coordonn??es cart??siennes , \ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} est, par F compos?? de [F x, F y, F z]:

\ Begin {} {bmatrix \ frac {\ F_z partielle} {\ y partielle}} - {\ frac {\ F_y partielle} {\ z partielle}} \\ \\ {\ frac {\ F_x partielle} {\ z partielle }} - {\ frac {\ F_z partielle} {\ x partielle}} \\ \\ {\ frac {\ F_y partielle} {\ x partielle}} - {\ frac {\ F_x partielle} {\ y partielle}} \ end {} bmatrix

Bien exprim??e en termes de coordonn??es, le r??sultat est invariante par rotation appropri??e des axes de coordonn??es, mais le r??sultat inverse en r??flexion.

Un simple repr??sentation de la forme ??largie de la boucle est:

\ Begin {} {bmatrix \ frac {\ partial} {\ x partielle}} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ y partielle}} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ z partielle }} \ end {} \ times bmatrix F

ce est-del transversale F, ou que le d??terminant de la matrice suivante:

\ Begin {bmatrix} \ mathbf {i} et \ mathbf {} j & \ mathbf {k} \\ \\ {\ frac {\ partial} {\ x partielle}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ z partielle}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \ end {} bmatrix

o?? i, j, et k sont le vecteurs unitaires pour la x -, y et z - -axes, respectivement.

En Notation Einstein, avec le Symbole de Levi-Civita il est ??crit que:

(\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F}) _k = \ {k epsilon_ \ ell m} \ partial_ \ ell f_m

ou en tant que:

(\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F}) = \ boldsymbol {\ hat {e}} _ k \ {k epsilon_ \ ell m} \ partial_ \ ell f_m

pour les vecteurs unitaires: \ Boldsymbol {\ hat {e}} _ k , K = 1,2,3 correspondant ?? \ Boldsymbol {\ hat {x}}, \ boldsymbol {\ hat {y}} Et \ Boldsymbol {\ hat {z}} respectivement.

En utilisant le d??riv??e ext??rieure, il est ??crit simplement:

dF \,

En prenant la d??riv??e ext??rieur d'un champ de vecteurs ne aboutit pas ?? un autre champ vectoriel, mais un 2-forme ou champ bivecteur, bien ??crit P \, (dx \ wedge dy) + Q \, (dy \ wedge dz) + R \, (dz \ wedge dx) .

Depuis bivecteurs sont g??n??ralement consid??r??s comme moins intuitive que vecteurs ordinaires, le R ??- double: * DF \, est couramment utilis?? ?? la place (o?? * \, d??signe le Hodge op??rateur ??toiles). C'est un chiral fonctionnement, produisant un pseudovector qui prend des valeurs oppos??es dans la main gauche et la main droite les syst??mes de coordonn??es.

Interpr??tation de la boucle

La boucle du champ de vecteurs nous parle de la rotation, le champ a ?? tout moment. L'ampleur de la boucle nous dit combien il est rotation. La direction nous dit, par le R??gle de la main droite (quatre doigts de la main droite sont boucl??s dans le sens de la motion et le pouce dans la direction de la rotation) dont l'axe le domaine est en rotation.

Un dispositif couramment utilis?? pour penser ?? friser est la roue ?? aubes. Si nous devions placer une tr??s petite roue ?? aubes ?? un point dans le champ de vecteurs en question et de traiter les vecteurs dessin??s et leurs longueurs que les courants dans une rivi??re avec grandeur et la direction, de quelque c??t?? que la roue ?? aubes aurait tendance ?? tourner est la direction de la boucle ?? ce point. Par exemple, si deux courants tentent de faire tourner la roue dans des directions oppos??es, l'une plus forte (le vecteur plus) va gagner.

Exemples

Un champ de vecteurs simples

Prenez le champ de vecteurs construit en utilisant vecteurs unitaires

\ Vec {F} (x, y) = y \ boldsymbol {\ hat {x}} - x \ boldsymbol {\ hat {y}} .

Son intrigue ressemble ?? ceci:

Curl.svg uniforme

Simplement en inspection visuelle, nous pouvons voir que le domaine est en rotation. Si nous nous en tenons une roue ?? aubes ne importe o??, on voit imm??diatement sa tendance ?? tourner vers la droite. En utilisant le R??gle de la main droite, nous nous attendons ?? la boucle soit dans la page. Si nous voulons garder un droitier syst??me de coordonn??es, dans la page sera dans la direction z n??gative.

Si nous faisons le calcul et trouvons la boucle:

\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + [{\ frac {\ partial} {\ x partielle}} (-x) - {\ frac {\ partial} {\ y partielle}} y] \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2 \ boldsymbol {\ hat {z}}

Ce est en effet dans la direction z n??gative, comme pr??vu. Dans ce cas, la boucle est en fait une constante, ind??pendamment de la position. La ??quantit???? de rotation dans le champ de vecteurs ci-dessus est la m??me en tout point (x, y). Trac?? de la boucle de F ne est pas tr??s int??ressant:

Curl de curl.JPG uniforme

Un exemple plus complet

Supposons que nous consid??rons maintenant un champ de vecteurs l??g??rement plus compliqu??e:

F (x, y) = - x ^ 2 \ boldsymbol {\ hat {y}} .

Son intrigue:

Nonuniformcurl.JPG

Nous pourrions ne pas voir toute rotation au d??part, mais si nous regardons de pr??s le droit, nous voyons un champ plus large, disons, x = 4 qu'?? x = 3. Intuitivement, si nous avons plac?? une petite roue ?? aubes l??, le plus grand "courant" sur le c??t?? droit causerait la roue ?? aubes de tourner dans le sens horaire, ce qui correspond ?? une boucle dans le sens de z n??gative. En revanche, si nous regardons un point sur la gauche et a plac?? une petite roue ?? aubes l??, le plus grand "courant" sur le c??t?? gauche causerait la roue ?? aubes de tourner dans le sens antihoraire, ce qui correspond ?? une boucle dans le sens de z positif. Nous allons v??rifier notre hypoth??se en faisant le calcul:

\ Vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = 0 \ boldsymbol {\ hat {x}} + 0 \ boldsymbol {\ hat {y}} + {\ frac {\ partial} {\ x partielle}} ( -x ^ 2) \ boldsymbol {\ hat {z}} = - 2x \ boldsymbol {\ hat {z}}

En effet, la boucle se trouve dans la direction z pour x positif et n??gatif dans la direction z n??gative pour x positifs, comme pr??vu. Depuis cette boucle ne est pas le m??me ?? chaque point, son intrigue est un peu plus int??ressant:

Curl de F avec le plan x = 0 soulign?? en bleu fonc??

Nous notons que l'intrigue de cette boucle n'a pas de d??pendance sur y ou z (comme il ne devrait pas) et est dans la direction z n??gative pour x positives et dans la direction z positive pour x n??gatif.

Trois exemples courants

Prenons l'exemple ?? [v ?? F]. Utilisation de coordonn??es cart??siennes, on peut montrer que

\ Mathbf {\ nabla \ fois} \ left (\ mathbf {v \ times F} \ right) = \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot F} \ right) + \ mathbf {F \ cdot \ nabla } \ right] \ mathbf {v} - \ left [\ left (\ mathbf {\ nabla \ cdot c} \ right) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right] \ mathbf {F} \.

Dans le cas o?? le v de champ de vecteur et sont interchangeables:

\ Mathbf {v \ \ times} \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ nabla_F \ left (\ mathbf {v \ cdot F} \ right) - \ left (\ mathbf {v \ cdot \ nabla} \ right) \ mathbf {F} \,

qui introduit la notation de l'Feynman F, ce qui signifie le gradient indic?? fonctionne uniquement sur le facteur F.

Un autre exemple est ?? [∇ ?? F]. En coordonn??es cart??siennes, il peut ??tre d??montr?? que:

\ Nabla \ times \ left (\ mathbf {\ nabla \ times F} \ right) = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla \ cdot F}) - \ nabla ^ 2 \ mathbf {F} \,

qui, avec un peu de casse-t??te, peut ??tre interpr??t?? comme un cas particulier du premier exemple avec la substitution v∇.

Exemples descriptives

  • Dans une tornade les vents tournant autour de l'??il, et un champ de vecteurs montrant des vitesses de vent auraient une boucle non-z??ro ?? l'??il, et peut-??tre ailleurs (voir tourbillon).
  • Dans un champ de vecteurs, qui d??crit les vitesses lin??aires de chaque partie individuelle d'un disque tournant, la boucle aura une valeur constante sur toutes les parties du disque.
  • Si les vitesses de voitures sur une autoroute ont ??t?? d??crit avec un champ de vecteurs et les voies eu des limitations de vitesse diff??rentes, la boucle sur les fronti??res entre les voies serait non nulle.
  • La loi de Faraday de l'induction, l'une des ??quations de Maxwell , peut ??tre exprim??e tr??s simplement en utilisant boucle. Il indique que la boucle d'un champ ??lectrique est ??gal ?? l'inverse du taux de temps de changement du champ magn??tique.
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