
Produit Croix
Renseignements g??n??raux
Cette s??lection se fait pour les ??coles par la charit?? pour enfants lire la suite . Avec enfants SOS vous pouvez choisir de parrainer des enfants dans plus de cent pays
En math??matiques , le produit crois?? est un op??ration binaire sur deux vecteurs dans une tridimensionnel euclidien espace qui r??sulte en un autre vecteur qui est perpendiculaire aux deux vecteurs d'entr??e. En revanche, la produit scalaire produit une r??sultat scalaire. Dans de nombreux probl??mes d'ing??nierie et de physique, il est pratique de pouvoir construire un vecteur perpendiculaire ?? partir de deux vecteurs existants, et le produit crois?? fournit un moyen pour le faire. Le produit vectoriel est ??galement connu comme le produit vectoriel ou Gibbs produit vectoriel.
Le produit cart??sien ne est pas d??fini, sauf dans les trois dimensions (et le alg??bre d??finie par le produit croix ne est pas associative ). Comme le produit scalaire, cela d??pend de la m??trique de l'espace euclidien. Contrairement ?? la produit scalaire, cela d??pend aussi sur le choix des l'orientation ou "impartialit??". Certaines fonctionnalit??s du produit croix peuvent ??tre g??n??ralis??s ?? d'autres situations. Pour des choix arbitraires de l'orientation, le produit crois?? doit pas ??tre consid??r??e comme un vecteur, mais comme un pseudovector. Pour des choix arbitraires de m??trique, et dans des dimensions arbitraires, le produit crois?? peut ??tre g??n??ralis??e par la produit ext??rieur de vecteurs, la d??finition d'une deux-forme au lieu d'un vecteur.


D??finition


Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est d??sign?? par a ?? b. Dans un tridimensionnelle espace euclidien , avec une habitude syst??me droitier coordonner , il est d??fini comme un vecteur qui est c perpendiculaire ?? la fois A et B, avec une direction donn??e par le R??gle de la main droite et une grandeur ??gale ?? la surface de la parall??logramme que les vecteurs couvrent.
Le produit vectoriel est donn?? par la formule
o?? θ est la mesure de l' angle entre a et b (0 ?? ≤ θ ≤ 180 ??), a et b sont les grandeurs de vecteurs a et b, et est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant a et b. Si les vecteurs a et b sont colin??aires (c.-?? θ l'angle entre les deux est de 0 ?? ou 180 ??), par la formule ci-dessus, le produit vectoriel de a et b est le vecteur nul 0.
La direction du vecteur est donn??e par la r??gle de droite, o?? on rappelle simplement l'index de la main droite dans le sens d'un et le doigt du milieu dans le sens de b. Puis, le vecteur
qui sort du pouce (voir l'image ?? droite).
Utilisation de l'appareil n??cessite la chiralit?? transversale du syst??me de coordonn??es ?? prendre en compte (comme explicite dans la d??finition ci-dessus). Si un gaucher syst??me de coordonn??es est utilis??, la direction du vecteur est donn??e par la r??gle de gauche et des points dans la direction oppos??e.
Ceci, cependant, cr??e un probl??me parce que la transformation d'un syst??me de r??f??rence arbitraire ?? un autre (par exemple, une transformation d'image miroir d'un droitier ?? un syst??me gaucher coordonner), ne devrait pas changer la direction de . Le probl??me est clarifi?? par se rendre compte que le produit crois?? de deux vecteurs ne est pas un (vrai) vecteur, mais plut??t un pseudovector. Voir produit croix et impartialit?? pour plus de d??tails.
Le calcul du produit vectoriel
Coordonner la notation
Le des vecteurs d'unit?? i, j et k du syst??me de coordonn??es orthogonal donn?? satisfont les ??galit??s suivantes:
- i ?? j = k j ?? k = i k ?? i = j.
Avec ces r??gles, les coordonn??es du produit crois?? de deux vecteurs peuvent ??tre calcul??es facilement, sans la n??cessit?? de d??terminer les angles: Let
- A = A 1 + i + j 2 3 k = (a 1, a 2, a 3)
et
- b = b 1 i + b 2 j + b 3 k = (b 1, b 2, b 3)
Puis
- a ?? b = (2 b 3 - 3 b 2) i + (3 b 1 - un 1 b 3) j + (A 1 B 2 - 2 b 1) k = (2 b 3 - un 3 b 2, 3 b 1 - un 1 b 3, un 1 b 2 - 2 b 1)
notation matricielle
La notation de coordonn??es peut aussi se ??crire formellement que le facteur d??terminant d'une matrice :
Le d??terminant de trois vecteurs peut ??tre r??cup??r?? que
- det (a, b, c) = a ?? (b ?? c).
Intuitivement, le produit vectoriel peut ??tre d??crit par Le r??gime de Sarrus. Consid??rons la table
Pour les trois premiers vecteurs unitaires, multiplier les ??l??ments de la diagonale vers la droite (par exemple, la premi??re diagonale contiendrait i, a 2, et b 3). Pour les trois derniers vecteurs unitaires, multiplier les ??l??ments sur la diagonale vers la gauche et ensuite nier le produit (par exemple, la derni??re diagonale contiendrait k, 2, et b 1). Le produit vectoriel serait d??fini par la somme de ces produits:
Bien ??crit ici en termes de coordonn??es, il r??sulte de la d??finition g??om??trique ci-dessus que le produit crois?? est invariant sous rotations autour de l'axe d??fini par une ?? b, et flips signe sous permutation a et b.
Exemples
Exemple 1
Consid??rons deux vecteurs, a = (1,2,3) et b = (4,5,6). Le produit une croix ?? b est
- a ?? b = (1,2,3) x (4,5,6) = ((2 x 6-3 x 5), - (1 x 6-3 x 4), + (1 x 5 - 2 ?? 4)) = (-3,6, -3).
Exemple 2
Consid??rons deux vecteurs, a = (3,0,0) et b = (0,2,0). Le produit une croix ?? b est
- a ?? b = (3,0,0) x (0,2,0) = ((x 0 0 - 0 x 2), (x 0 0-3 x 0), (3 x 2 - 0 x 0) ) = (0,0,6).
Cet exemple pr??sente les interpr??tations suivantes:
- L'aire du parall??logramme (un rectangle dans le cas pr??sent) est de 2 x 3 = 6.
- Le produit vectoriel de deux vecteurs quelconques dans le plan xy sera parall??le ?? l'axe z.
- Depuis la composante z du r??sultat est positif, l'angle obtus non de A ?? B est le sens antihoraire (quand on l'observe d'un point sur le + demi-axe z, et lorsque le syst??me de coordonn??es est droitier).
Propri??t??s
Sens g??om??trique


L'ampleur du produit vectoriel peut ??tre interpr??t??e comme la non sign?? domaine de la parall??logramme ayant a et b c??t??s:
En effet, on peut ??galement calculer le volume V d'un parall??l??pip??dique comportant a, b et c que les c??t??s en utilisant une combinaison d'un produit vectoriel et un produit scalaire, appel??e produit scalaire triple:
Propri??t??s alg??briques
Le produit vectoriel est anticommutative,
- a ?? b = - b ?? a,
distributive sur l'addition,
- a ?? (b + c) = (a ?? b) + (a ?? c),
et compatible avec multiplication scalaire sorte que
- (R a) ?? ?? b = a (R b) = r (a ?? b).
Il ne est pas associative , mais satisfait la Jacobi identit??:
- a ?? (b ?? c) + b ?? (c ?? a) + c ?? (axb) = 0.
Il ne ob??it pas ?? la le droit d'annulation:
- Si une ?? b = a ?? c et a ≠ 0, alors on peut ??crire:
- (A ?? b) - (a ?? c) = 0 et, par la loi distributive ci-dessus:
- a ?? (b - c) = 0
- Maintenant, si un est parall??le ?? (B - C), alors, m??me si a ≠ 0, il est possible que (B - C) ≠ 0 et donc que b ≠ c.
Toutefois, si ?? la fois un ?? b = a ?? c et a ?? b = a ?? c, alors nous pouvons conclure que b = c. En Effet,
- a. (B - c) = 0, et
- a ?? (b - c) = 0
de sorte que b - c est ?? la fois parall??le et perpendiculaire au vecteur non nul a. Ceci ne est possible que si b - c = 0.
La distributivit??, lin??arit?? et Jacobi spectacle identit?? que R 3 avec l'addition de vecteurs et le produit forme une croix Alg??bre de Lie.
En outre, deux vecteurs non nuls a et b sont parall??les ssi a ?? b = 0.
Triple expansion du produit
L'expansion du produit triple, aussi connu comme la formule de Lagrange, est une formule reliant le produit vectoriel de trois vecteurs (appel?? le vecteur produit triple) avec le produit scalaire:
- A ?? (B ?? C) = b (un ?? c) - c (a ?? b).
Le "BAC moins CAB" mn??monique est utilis??e pour m??moriser l'ordre des vecteurs dans l'??l??ment de la main droite. Cette formule est utilis??e en physique pour simplifier les calculs vectoriels. Un cas particulier, en ce qui concerne gradients et utile dans le calcul vectoriel , est donn??e ci-dessous.
Ce est un cas particulier de la plus g??n??rale Op??rateur de Laplace-de Rham .
L'identit?? suivante concerne ??galement le produit croix et le produit scalaire:
Ce est un cas particulier de la multiplicativit?? de la norme dans le quaternion alg??bre, et une restriction ??
de Identit?? de Lagrange.
Autres moyens de calculer le produit crois??
Quaternions
Le produit crois?? peut ??galement ??tre d??crite en termes de quaternions, et ce est pourquoi les lettres i, j, k sont une convention pour la base standard sur : Il est consid??r?? comme les quaternions imaginaires.
Avis par exemple, que les relations de produits ci-dessus donn??es crois??es entre i, j, k et d'accord avec les relations multiplicatives entre les quaternions i, j, k. En g??n??ral, si nous repr??sentons un vecteur [A 1, A 2, 3] comme un quaternion 1 i + 2 j + 3 k, on obtient le produit crois?? de deux vecteurs en prenant leur produit comme quaternions et la suppression du partie r??elle du r??sultat. La partie r??elle sera le n??gatif de la point produit des deux vecteurs.
La conversion ?? la multiplication de matrices
Un produit vectoriel entre les deux vecteurs (qui ne peut ??tre d??fini dans un espace tridimensionnel) peut ??tre r????crite en termes de multiplication de la matrice pure comme le produit d'une antisym??trique matrice et un vecteur, comme suit:
o??
En outre, si est elle-m??me un produit en croix:
puis
Cette notation constitue une autre fa??on de g??n??raliser produit en croix aux dimensions sup??rieures en substituant pseudovectors (tels que vitesse angulaire ou champ magn??tique) avec de telles matrices antisym??triques. Il est clair que de telles quantit??s physiques auront n (n-1) / 2 composantes ind??pendantes en n dimensions, qui co??ncide avec le nombre de dimensions de l'espace ?? trois dimensions, et ce est pourquoi vecteurs peuvent ??tre utilis??s (et le plus souvent sont utilis??s) pour repr??senter de telles quantit??s.
Cette notation est souvent beaucoup plus facile de travailler avec, par exemple, dans g??om??trie ??pipolaire.
Dans les propri??t??s g??n??rales du produit croix suit imm??diatement que
et
et de fait que est antisym??trique il se ensuit que
L'expansion de triple produit mentionn?? ci-dessus (r??gle bac cabine) peut ??tre facilement prouv?? en utilisant cette notation.
La d??finition ci-dessus signifie qu'il ya un mappage un-??-un entre l'ensemble des trois matrices ?? 3 antisym??triques, ??galement not??e SO (3), et le fonctionnement de la prise du produit avec un vecteur croix
.
Indice de notation
Le produit croix peut aussi ??tre d??fini en termes de Levi-Civita tenseur
o?? les indices correspondre, comme dans la section pr??c??dente, ?? composantes vectorielles orthogonales.
Mn??monique
Le mot xyzzy peut ??tre utilis??e pour rappeler la d??finition du produit vectoriel.
Si
o??:
alors:
Remarquez que les deuxi??me et troisi??me ??quations peuvent ??tre obtenus ?? partir de la premi??re par une simple rotation verticalement les indices, x → y → x → z. Le probl??me, bien s??r, est de savoir comment se souvenir de la premi??re ??quation, et deux options sont disponibles ?? cet effet: soit vous vous souvenez des deux diagonales pertinentes du sch??ma Sarrus (ceux contenant i), ou vous souvenez de la xyzzy s??quence.
Depuis la premi??re diagonale dans le sch??ma de Sarrus est que le diagonale principale du dessus -mentioned matrice, les trois premi??res lettres du mot xyzzy peut ??tre tr??s facile ?? retenir.
Applications
G??om??trie algorithmique
Le produit vectoriel peut ??tre utilis?? pour calculer la normale pour un triangle ou un polygone, une op??ration fr??quemment r??alis??e dans infographie.
En de calcul de la g??om??trie du plan , le produit vectoriel est utilis?? pour d??terminer le signe de l' angle aigu d??fini par trois points ,
et
. Elle correspond ?? la direction du produit vectoriel des deux coplanaires vecteurs d??finis par les paires de points
et
, Ce est ?? dire, par le signe de l'expression
. Dans le syst??me "droitier" coordonner, si le r??sultat est 0, les points sont align??s; si elle est positive, les trois points forment un angle n??gatif de rotation autour de
?? partir de
??
, Sinon un angle positif. D'un autre point de vue, le signe de
indique si
se trouve ?? gauche ou ?? droite de la ligne
.
Autre
Le produit crois?? se produit dans la formule de la op??rateur vectoriel boucle. Il est ??galement utilis?? pour d??crire le Force de Lorentz v??cue par une charge ??lectrique se d??pla??ant dans un champ magn??tique. Les d??finitions de couple et moment angulaire impliquent ??galement le produit crois??.
L'astuce de r????crire un produit transversale en termes d'une multiplication de matrice appara??t fr??quemment dans ??pipolaire et multi-g??om??trie de la vue, en particulier lors de la d??rivation contraintes correspondant.
Produit Croix comme un produit ext??rieur


Le produit croix peut ??tre consid??r??e en termes de produit ext??rieur. Ce point de vue permet une interpr??tation g??om??trique naturelle du produit croix. En ext??rieur calcul formel du produit ext??rieur (ou produit de coin) de deux vecteurs est une bivecteur. Un bivecteur est un ??l??ment plan orient??, de la m??me mani??re qu'un vecteur est un ??l??ment de ligne orient??. ??tant donn?? deux vecteurs a et b, on peut voir le bivecteur a ∧ b que le parall??logramme orient?? engendr?? par a et b. Le produit vectoriel est alors obtenue en prenant la Hodge dual du bivecteur a ∧ b, identifier Deux vecteurs avec des vecteurs:
Cela peut ??tre consid??r?? comme l'??l??ment multi-dimensionnelle orient??e "perpendiculaire" ?? l'bivecteur. Seulement en trois dimensions est le r??sultat d'un ??l??ment orient?? ligne - un vecteur - alors que, par exemple, en 4 dimensions Hodge dual d'un bivecteur est ?? deux dimensions - un autre ??l??ment de plan orient??. Ainsi, en trois dimensions ne est le produit vectoriel de a et b du vecteur double pour le bivecteur a ∧ b: il est perpendiculaire au bivecteur, avec l'orientation d??pend de la chiralit?? du syst??me de coordonn??es, et a la m??me amplitude par rapport ?? l'unit?? normale un vecteur tel que ∧ b a par rapport au bivecteur unitaire; pr??cis??ment les propri??t??s d??crites ci-dessus.
Produit Cross et impartialit??
Lorsque des quantit??s mesurables concernent des produits crois??s, l'impartialit?? des syst??mes de coordonn??es utilis??s ne peut ??tre arbitraire. Cependant, lorsque les lois de la physique sont ??crites comme des ??quations, il devrait ??tre possible de faire un choix arbitraire du syst??me de coordonn??es (y compris l'impartialit??). Pour ??viter les probl??mes, il faut ??tre prudent de ne jamais ??crire une ??quation o?? les deux parties ne se comportent pas ??galement dans toutes les transformations qui doivent ??tre pris en consid??ration. Par exemple, si une partie de l'??quation est le produit vectoriel de deux vecteurs, il faut prendre en compte que lorsque la chiralit?? du syst??me de coordonn??es ne est pas fix??e a priori, le r??sultat ne est pas un (true) mais un vecteur pseudovector. Par cons??quent, par souci de coh??rence, de l'autre c??t?? doit ??galement ??tre un pseudovector.
Plus g??n??ralement, le r??sultat d'un produit crois?? peut ??tre un vecteur ou un pseudo-vecteur, en fonction du type de ses op??randes (vecteurs ou pseudovectors). A savoir, les vecteurs et pseudovectors sont li??s dans les fa??ons suivantes sous l'application du produit croix:
- vecteur vecteur ?? = pseudovector
- vecteur ?? pseudovector = vecteur
- pseudovector ?? pseudovector = pseudovector
??tant donn?? que le produit vectoriel peut ??galement ??tre un (true) vecteur, il peut ne pas changer de direction avec une transformation d'image en miroir. Cela se produit, conform??ment aux relations ci-dessus, si l'un des op??randes est une (true) vecteur et l'autre est un pseudo-vecteur (par exemple, le produit vectoriel de deux vecteurs). Par exemple, un vecteur produit triple impliquant trois vecteurs (vrai) est un (vrai) vecteur.
Une approche libre-impartialit?? est possible en utilisant alg??bre ext??rieure.
Dimensions sup??rieures
Il ya plusieurs fa??ons de g??n??raliser le produit crois?? aux dimensions sup??rieures.
Dans le contexte de alg??bre multilin??aire, il est possible de d??finir un produit crois?? g??n??ralis?? en termes de parit?? de telle sorte que le produit crois?? g??n??ralis?? entre deux vecteurs de dimension n est un antisym??trique tenseur de rang n -2.
Utilisation octonions
Un produit vectoriel des vecteurs de dimension 7 peut ??tre obtenu de la m??me mani??re en utilisant le octonions place des quaternions. Le non-existence de ces produits vectoriel de deux vecteurs dans les autres dimensions est li?? au r??sultat que la seule alg??bres de division norm??es sont ceux de dimension 1, 2, 4 et 8.
produit Wedge
En dimension g??n??rale, il n'y a pas analogique directe du produit croix binaire. Il ya cependant un Produit en forme de coin, qui a des propri??t??s similaires, sauf que le produit en forme de coin de deux vecteurs est maintenant 2 vecteur ?? la place d'un vecteur ordinaire. Comme mentionn?? ci-dessus, le produit vectoriel peut ??tre interpr??t??e comme le produit de calage en trois dimensions apr??s l'utilisation de la dualit?? de Hodge identifier deux vecteurs avec des vecteurs.
On peut aussi construire un n analogique -aire du produit croix dans R n 1 donn??e par
Cette formule est identique ?? la structure de la formule d??terminant pour le produit crois?? normale dans R 3, sauf que la rang??e de vecteurs de base est la derni??re ligne dans le facteur d??terminant plut??t que la premi??re. La raison de ceci est d'assurer que les vecteurs ordonn??s (v 1, ..., v n, Λ (v 1, ..., v n)) ont une positif orientation par rapport ?? (e 1, ..., e n + 1). Si n est pair, cette modification quitte la valeur inchang??e, cette convention est d'accord avec la d??finition normale du produit binaire. Dans le cas o?? n est impair, toutefois, la distinction doit ??tre maintenue. Ce formulaire n -aire b??n??ficie d'un grand nombre des m??mes propri??t??s que le produit vecteur de croix: il est alternant et lin??aire dans ses arguments, il est perpendiculaire ?? chacun des arguments, et son amplitude donne l'hypervolume de la r??gion d??limit??e par les arguments. Et tout comme le produit vecteur de croix, elle peut ??tre d??finie dans une coordonn??e de mani??re ind??pendante comme Hodge double du produit de coin des arguments.
Le produit de calage et produit scalaire peuvent ??tre combin??s pour former le Clifford produit.
Histoire
En 1773, Joseph Louis Lagrange introduit la forme composante ?? la fois le point et produits crois??s afin d'??tudier le t??tra??dre en trois dimensions. En 1843, le physicien math??matique irlandaise Sir William Rowan Hamilton a pr??sent?? le produit quaternion, et avec lui les termes "vecteur" et "scalaire". ??tant donn?? deux quaternions [0, u] et [0, v], o?? u et v sont des vecteurs de R 3, leur produit de quaternion peuvent ??tre r??sum??es comme [- u ?? v, u ?? v]. James Clerk Maxwell a utilis?? les outils de quaternions de Hamilton de d??velopper ses c??l??bres ??quations de l'??lectromagn??tisme , et pour cette raison et d'autres escouades pour un temps ??taient une partie essentielle de l'??ducation physique.
Cependant, Oliver Heaviside en Angleterre et Josiah Willard Gibbs dans Connecticut a estim?? que les m??thodes de quaternions ??taient trop lourdes, n??cessitant souvent la partie scalaire ou vectorielle d'un r??sultat ?? extraire. Ainsi, environ quarante ans apr??s que le produit de quaternion, le Produit scalaire et produit vectoriel ont ??t?? introduites - ?? une vive opposition. Pivotal ?? (??ventuelle) acceptation a ??t?? l'efficacit?? de la nouvelle approche, permettant de r??duire Heaviside les ??quations de l'??lectromagn??tisme de l'original de 20 ?? quatre couramment vu aujourd'hui de Maxwell.
Largement ind??pendante de ce d??veloppement, et largement incompris ?? l'??poque, Hermann Grassmann cr???? une alg??bre g??om??trique ne est pas li??e ?? la dimension deux ou trois, avec le produit ext??rieur joue un r??le central. William Kingdon Clifford combin?? les alg??bres de Hamilton et de Grassmann pour produire Alg??bre de Clifford, o?? dans le cas de trois dimensions vecteurs bivecteur produite ?? partir de deux vecteurs dualizes ?? un vecteur, reproduisant ainsi le produit crois??.
La notation croix, qui a commenc?? avec Gibbs, a inspir?? le nom de "produit crois??". Paru ?? l'origine dans les notes publi??es priv?? pour ses ??tudiants en 1881 El??ments d'analyse vectorielle, la notation de Gibbs - et le nom - plus tard atteint un plus large public ?? travers Analyse vectorielle (Gibbs / Wilson), un manuel par un ancien ??l??ve. Edwin Bidwell Wilson r??arrang?? mati??re de conf??rences de Gibbs, avec des mati??res ?? partir des publications de Heaviside, F??pps et Hamilton. Il a divis?? l'analyse vectorielle en trois parties:
- ??D'abord, ce qui concerne plus et les produits scalaires et vectoriels de vecteurs. Deuxi??mement, ce qui concerne le calcul diff??rentiel et int??gral dans ses relations aux fonctions scalaires et vectorielles. Troisi??mement, celui qui contient la th??orie de la fonction de vecteur lin??aire."
Deux principaux types de multiplications vectorielles ont ??t?? d??finis, et ils ont ??t?? appel??s comme suit:
- La, scalaire ou produit scalaire de deux vecteurs directe
- L'inclinaison, vecteur, produit ou vectoriel de deux vecteurs
Plusieurs types de des produits et des produits de plus de trois vecteurs triples ont ??galement ??t?? examin??s. L'expansion de triple produit mentionn?? ci-dessus a ??galement ??t?? inclus.