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Section conique

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Types de sections coniques
Tableau de coniques, Cyclopaedia, 1728

En math??matiques , une section conique (ou simplement conique) est une courbe qui peut ??tre form?? par une intersection c??ne (plus pr??cis??ment, une circulaire droite surface conique) avec un plan . Les sections coniques ont ??t?? nomm??s et ??tudi??s il ya aussi longtemps que 200 avant JC, lorsque Apollonius de Perge a entrepris une ??tude syst??matique de leurs propri??t??s.

Types de coniques

Les cinq types de coniques sont le cercle , hyperbole, ellipse , parabole, hyperbole et rectangulaire. Le cercle et la ellipse se posent lorsque l'intersection du c??ne et plan est une courbe ferm??e . Le cercle est un cas particulier de l'ellipse dans le plan qui est perpendiculaire ?? l'axe du c??ne. Si l'avion est parall??le ?? une g??n??ratrice du c??ne, la conique est appel?? une parabole. Enfin, si l'intersection est une courbe ouverte et le plan ne est pas parall??le aux lignes g??n??ratrices du c??ne, la figure est une hyperbole. (Dans ce cas, l'avion va croiser les deux moiti??s du c??ne, produisant deux courbes s??par??es, bien que souvent on est ignor??.)

Cas d??g??n??r??s

Il existe plusieurs cas d??g??n??r??s, dans lequel le plan passe ?? travers le apex du c??ne. L'intersection de ces cas peut ??tre une ligne droite (lorsque le plan tangent ?? la surface du c??ne); une Point (lorsque l'angle entre le plan et l'axe du c??ne est plus grand que ce); ou une paire de lignes qui se coupent (lorsque l'angle est petit). Il existe ??galement un d??g??n??r?? o?? le c??ne est un cylindre (le sommet est ?? l'infini) qui peut produire deux lignes parall??les.

Excentricit??

Ellipse (e = 1/2), la parabole (e = 1) et hyperbole (e = 2) avec mise au point fixe F et directrice.

Les quatre conditions ci-dessus peuvent ??tre d??terminantes combin??s dans une condition qui d??pend d'un point fixe F (le focus), une ligne L (la directrice) ne contenant pas de F et un nombre r??el positif e (la excentricit??). La section conique correspondant se compose de tous les points dont la distance est ??gale ?? F e fois leur distance L. Pour 0 <e <1, on obtient une ellipse, pour e = 1 une parabole, et e> 1 une hyperbole.

Pour une ellipse et une hyperbole, deux combinaisons accent-directrice peuvent ??tre prises, en donnant ?? chacun la m??me ellipse ou hyperbole compl??te. La distance entre le centre de la directrice est un / e O?? un \ est le demi-grand axe de l'ellipse, ou la distance du centre au sommet de l'hyperbole. La distance entre le centre de l'accent est ae \ .

Dans le cas d'un cercle, l'excentricit?? e = 0, et on peut imaginer la directrice infiniment ??loign?? du centre. Cependant, la d??claration que le cercle se compose de tous les points dont la distance est e fois la distance ?? L ne est pas utile, parce que nous obtenons z??ro fois infini.

L'excentricit?? d'une section conique est donc une mesure de la fa??on dont elle se ??carte de la mesure ??tant circulaire.

Pour une donn??e un \ , Le plus proche e \ est proche de 1, plus petit est le demi-petit axe.

Les coordonn??es cart??siennes

Dans le syst??me de coordonn??es cart??siennes , la graphique d'une ??quation du second degr?? ?? deux variables est toujours une section conique, et toutes les sections coniques se pose de cette mani??re. L'??quation sera de la forme

Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 \; avec A \ , B \ , C \ pas tous nuls.

alors:

  • si B ^ 2 - 4AC <0 \ , L'??quation repr??sente une ellipse (?? moins que la conique est d??g??n??r??, par exemple x ^ 2 + y ^ 2 + 10 = 0 \ );
    • si A = C \ et B = 0 \ , L'??quation repr??sente un cercle ;
  • si B ^ 2 - 4AC = 0 \ , L'??quation repr??sente une parabole;
  • si B ^ 2 - 4AC> 0 \ , L'??quation repr??sente une hyperbole;
    • si nous avons aussi A + C = 0 \ , L'??quation repr??sente une hyperbole rectangulaire.

Notez que A et B ne sont que les coefficients de polyn??me, pas les longueurs de demi-grand axe / mineure telles que d??finies dans les sections pr??c??dentes.

Gr??ce changement de coordonn??es de ces ??quations peuvent ??tre mises en formes standards:

  • Cercle: x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 \,
  • Ellipse: {X ^ 2 \ sur une ^ 2} {+ y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \ , {X ^ 2 \ over b ^ 2} {+ y ^ 2 \ sur une ^ 2} = 1 \
  • Parabola: y ^ 2 = 4AX \, \
  • Hyperbole: {X ^ 2 \ sur une ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = 1 \ , {X ^ 2 \ sur une ^ 2} - {y ^ 2 \ over b ^ 2} = - 1 \
  • Rectangulaire Hyperbole: xy = c ^ 2 \

Ces formulaires seront sym??trique autour de l'axe des x et pour le cercle, ellipse et hyperbole sym??trique autour de l'axe des y.
L'hyperbole rectangulaire ne est toutefois sym??trique sur les lignes y = x \ et y = -x \ . Par cons??quent, sa fonction inverse est exactement la m??me que sa fonction d'origine.

Ces formulaires standard peuvent ??tre ??crites comme ??quations param??triques,

  • Cercle: (A \ cos \ theta, un \ sin \ theta) \, ,
  • Ellipse: (A \ cos \ theta, b \ sin \ theta) \, ,
  • Parabola: (Un t ^ 2,2 t) \, ,
  • Hyperbole: (Un \ s \ theta, b \ tan \ theta) \, ou (\ H une \ cosh u, b \ sinh u) \, .
  • Rectangulaire Hyperbole: (Ct, {c \ over t}) \,

Coordonn??es homog??nes

En homog??ne coordonne une section conique peut ??tre repr??sent?? par:

A_1x ^ 2 + A_2y ^ 2 + A_3z ^ 2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0.

Ou dans la matrice de notation

\ Begin {} bmatrix x & y & z \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix x \\ y \\ z \ end {} bmatrix = 0.

La matrice M = \ begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {} bmatrix que l'on appelle la matrice de la section conique.

\ Delta = \ det (M) = \ det \ gauche (\ begin {} bmatrix A_1 & B_1 & B_2 \\ B_1 & A_2 & B_3 \\ B_2 & B_3 & A_3 \ end {bmatrix} \ droite) est appel?? le facteur d??terminant de la section conique. Si Δ = 0 alors la section conique est dit ??tre d??g??n??r??, cela signifie que la section conique est en fait une union de deux lignes droites. Une section conique qui se croise est toujours d??g??n??r??, mais pas tous d??g??n??rent sections coniques se croisent, se ils ne le font pas, ils sont des lignes droites.

Par exemple, la section conique \ Begin {} bmatrix x & y & z \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix 1 & 0 & 0 0 \\ & -1 et 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {} bmatrix. \ Begin {} bmatrix x \\ y \\ z \ end {} = 0 bmatrix r??duit ?? l'union de deux lignes:

\ {X ^ 2 - y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) (xy) = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ cup \ {xy = 0 \} .

De m??me, une section conique r??duit parfois ?? un (unique) ligne:

\ {X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 = 0 \} = \ {(x + y) ^ 2 = 0 \} = \ {x + y = 0 \} \ cup \ {x + y = 0 \} = \ {x + y = 0 \} .

\ Delta = \ det \ gauche (\ begin {} bmatrix A_1 & B_1 \\ B_1 & A_2 \ end {bmatrix} \ droite) est appel?? le discriminant de la section conique. Si δ = 0 alors la section conique est une parabole, si δ <0, ce est un hyperbole et si δ> 0, ce est une ellipse . Une section conique est un cercle si δ> 0 et A 1 = A 2, ce est un hyperbole rectangulaire si δ <0 et A = 1 -A 2. Il peut ??tre prouv?? que dans le plan projectif complexe CP 2 deux sections coniques ont quatre points en commun (si on tient compte des multiplicit??), donc il n'y a jamais plus de 4 points d'intersection et il ya toujours 1 point d'intersection (possibilit??s: quatre points distincts d'intersection, deux points d'intersection singuliers et 1 points d'intersection doubles, deux points d'intersection doubles, une singuli??re point d'intersection et une de multiplicit?? 3, 1 point de multiplicit?? 4 d'intersection). Se il existe au moins un point de multiplicit??> une intersection, puis les deux sections coniques sont dits tangente . Se il n'y a qu'un seul point d'intersection, ce qui a multiplicit?? 4, les deux sections coniques sont dits ??tre osculateur.

En outre, chaque ligne droite coupe deux fois par section conique. Si le point d'intersection est double, la ligne est dit ??tre la tangente et elle est appel??e la tangente . Parce que chaque ligne droite croise une section conique ?? deux reprises, chaque section conique a deux points infini (les points d'intersection avec le droite ?? l'infini). Si ces points sont r??els, la section conique doit ??tre un hyperbole, se ils sont imaginaires conjugu??s, la section conique doit ??tre une ellipse , si la section conique a un point ?? double ?? l'infini ce est un parabole. Si les points ?? l'infini sont (1, i, 0) et (1, -i 0), la section conique est un cercle . Si une section conique a un r??el et un point imaginaire ?? l'infini ou il a deux points imaginaires qui ne sont pas conjugu??es il ne est ni une parabole, ni une ellipse ni une hyperbole.

Les coordonn??es polaires

En coordonn??es polaires , une section conique avec une mise au point ?? l'origine et, le cas ??ch??ant, l'autre sur l'axe des x est donn??e par l'??quation

r = {l \ over {1 + e \ cos \ theta}} ,

o?? e \, est l'excentricit?? et l \, est le rectum semi-latus (voir ci-dessous).

Comme ci-dessus,

pour e \, = 0 , Nous avons un cercle,
pour 0 <e \, <1 on obtient une ellipse,
pour e \, = 1 une parabole,
et pour e \,> 1 une hyperbole.

Param??tres

Diff??rents param??tres peuvent ??tre associ??s ?? une section conique.

section conique ??quation excentricit?? (e) excentricit?? lin??aire (c) demi-latus rectum (l) focal param??tre (p)
cercle x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 \,00r \,\ Infty
ellipse \ Frac {x ^ 2} {a} ^ 2 + \ frac {y ^ 2} {b} ^ 2 = 1\ Frac {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}} {a}\ Sqrt {a ^ 2-b ^ 2}\ Frac {b ^ 2} {a}\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2-b ^ 2}}
parabole y ^ 2 = 4AX \,1une2a \,2a
hyperbole \ Frac {x ^ 2} {a ^ 2} - \ frac {y ^ 2} {b} ^ 2 = 1\ Frac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {a}\ Sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}\ Frac {b ^ 2} {a}\ Frac {b ^ 2} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
param??tres coniques dans le cas d'une ellipse

Pour chaque section conique, il existe un point fixe F, une ligne fixe L et un nombre non n??gatif e telle que la section conique se compose de tous les points dont la distance est ??gale ?? F e fois leur distance par rapport ?? L. e est appel?? l'excentricit?? de la section conique.

Le lin??aire excentricit?? (c) est la distance entre le centre et la mise au point (ou l'un des deux foyers).

Le latus rectum (2l) est la corde parall??le ?? la directrice et passant par le foyer (ou l'un des deux foyers).

Le rectum de semi-latus (l) est la moiti?? du latus rectum.

Le param??tre focal (P) est la distance de mise au point ?? partir de la (ou l'un des deux foyers) de la directrice.


La relation p = l / e d??tient.

Propri??t??s

Sections coniques sont toujours "en douceur". Plus pr??cis??ment, ils ne contiennent jamais les points d'inflexion. Ce est important pour de nombreuses applications, tels que l'a??rodynamique, o?? une surface lisse est n??cessaire pour assurer ??coulement laminaire et ?? ??viter turbulence.

Applications

Sections coniques sont importants dans l'astronomie : la orbites des deux objets massifs qui interagissent selon la loi de Newton de la gravitation universelle sont les sections coniques si leur commune centre de masse est consid??r?? comme au repos. Se ils sont li??s entre eux, ils seront tous deux tracer des ellipses; se ils se ??cartent, ils seront tous deux suivre paraboles ou des hyperboles. Voir probl??me ?? deux corps.

En la g??om??trie projective, les sections coniques dans le plan projectif sont ??quivalents les uns aux autres jusqu'?? transformations projectives.

Pour des applications sp??cifiques de chaque type de section conique, voir les articles cercle , ellipse , parabole, et hyperbole.

Intersection de deux coniques

Les solutions ?? un syst??me ?? deux ??quations du second degr?? ?? deux variables peuvent ??tre consid??r??es comme les coordonn??es des intersections de deux sections coniques g??n??riques. En particulier deux coniques peuvent poss??der aucune, deux, quatre points d'intersection ??ventuellement co??ncidents. La meilleure m??thode pour localiser ces solutions est de exploite l'homog??ne repr??sentation matricielle des sections coniques, ce est ?? dire un 3x3 matrice sym??trique qui d??pend de six param??tres.

La proc??dure pour localiser les points d'intersection se d??roule comme suit:

  • ??tant donn?? les deux coniques C_1 et C_2 consid??rer le faisceau de coniques donn??e par leur combinaison lin??aire \ Lambda C_1 + \ mu C_2
  • identifier les param??tres homog??nes (\ Lambda, \ mu) ce qui correspond ?? la conique d??g??n??r??e du crayon. Cela peut ??tre fait en imposant que det (\ lambda C_1 + \ mu C_2) = 0 , Ce qui se av??re ??tre la solution d'une ??quation du troisi??me degr??.
  • compte tenu du c??ne d??g??n??r?? C_0 , Identifier les deux, peut-??tre en co??ncidence, les lignes constituant ce
  • chaque intersection ligne identifi??e par l'un des deux conique originale; cette ??tape peut ??tre fait efficacement en utilisant la double repr??sentation de conique C_0
  • les points d'intersection se repr??senter la solution du syst??me d'??quations initial

Th??or??me de Dandelin

Voir Th??or??me de Dandelin pour un argument ??l??mentaire courte montrant que la caract??risation de ces courbes que intersections d'un avion avec un c??ne est ??quivalent ?? la caract??risation en termes de foyers ou d'une orientation et une directrice.

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