
Anneau commutatif
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En la th??orie des anneaux, une branche de l'alg??bre abstraite , un anneau commutatif est un anneau dans lequel l'op??ration de multiplication ob??it ?? la loi commutative . Cela signifie que si a et b sont des ??l??ments de l'anneau, puis a ?? b = b ?? a.
L'??tude des anneaux commutatifs est appel?? alg??bre commutative.
Exemples
- L'exemple le plus important est l' anneau des entiers avec les deux op??rations d'addition et la multiplication. La multiplication ordinaire d'entiers est commutative. Cet anneau est g??n??ralement not??e Z dans la litt??rature pour signifier le mot allemand Zahlen (num??ros).
- Les rationnels , r??els et complexes num??ros forment anneaux commutatifs; en fait, ils sont m??me domaines.
- Plus g??n??ralement, tous les domaines est un anneau commutatif, donc la classe des champs est une sous-classe de la classe des anneaux commutatifs.
- Un exemple simple d'un noyau non-commutative est la ensemble de tous les deux-par-deux matrices dont les entr??es sont des nombres r??els. Par exemple, la multiplication matricielle
- ne est pas ??gal ?? la multiplication effectu??e dans l'ordre inverse:
- Si n est un entier positif, alors l'ensemble Z des entiers modulo n n forme un anneau commutatif ?? n ??l??ments (voir arithm??tique modulaire ).
- Si R est un anneau commutatif donn??, alors l'ensemble de tous les polyn??mes de la variable X dont les coefficients sont dans la R forme un nouveau anneau commutatif, not?? R [X].
- De m??me, l'ensemble de s??ries formelles R [[X 1, ..., X n]] sur un anneau commutatif R est un anneau commutatif. Si R est un champ, l'anneau de s??ries formelles de puissance est un type sp??cial d'anneau commutatif, appel?? complet anneau local.
- L'ensemble des nombres rationnels ordinaires dont le d??nominateur est formes bizarres un anneau commutatif, en fait un anneau local. Cet anneau contient l'anneau des entiers correctement, et est lui-m??me un sous-ensemble du champ rationnel.
- Si p est tout nombre premier , l'ensemble des p entiers -adiques forme un anneau commutatif.
- Un ensemble de matrices qui peuvent ??tre diagonalis??e avec le m??me transformation similitude forme un anneau commutatif. Un exemple est l'ensemble des matrices de diff??rences divis??es par rapport ?? un ensemble fixe de n??uds.
Construire anneaux commutatifs
??tant donn?? un anneau commutatif, on peut l'utiliser pour construire de nouveaux anneaux, comme d??crit ci-dessous.
- anneau de Factor: ??tant donn?? un anneau commutatif R et une id??al I de R, le anneau de facteur R / I est l'ensemble des classes ?? de I avec les op??rations (A + i) + (B + I) = (a + b) + I et (a + I) (b + I) = ab + I .
- Localisation: Si S est un partie multiplicative d'un anneau commutatif R alors nous pouvons d??finir la localisation de R ?? S, ou un anneau de fractions avec des d??nominateurs dans S, g??n??ralement not??e S -1 R. L'exemple ci-dessus avant-dernier est la localisation de l'anneau des entiers ?? la partie multiplicative des nombres impairs. Le corps des rationnels est la localisation de l'anneau commutatif d'entiers ?? l'ensemble multiplicatif des entiers non nuls.
- Ach??vement: Si I est un id??al d'un anneau commutatif R, les pouvoirs de I forment des quartiers topologiques de 0 qui permettent R pour ??tre consid??r?? comme un anneau topologique. Cette topologie est appel??e la topologie I-adique. R peut alors ??tre compl??t?? par rapport ?? cette topologie. Formellement, l'ach??vement -adique I est le limite projective des anneaux R / I n. Par exemple, si k est un corps, k [[X]], le formelle anneau de s??rie de puissances d'une variable sur k, est l'ach??vement -adique I de k [X] o?? I est l'id??al principal engendr?? par X. De mani??re analogue, l'anneau des entiers de p -adiques est l'ach??vement -adique I de Z o?? I est l'id??al principal engendr?? par p.
- Si R est un anneau commutatif donn??, l'ensemble de tous les polyn??mes R [X 1, ..., X n] sur R forme un nouveau anneau commutatif, appel?? anneau de polyn??mes en n variables sur R.
- Si R est un anneau commutatif donn??, alors l'ensemble de tous s??ries formelles R [[X 1, ..., X n]] sur un anneau commutatif R est un anneau commutatif, appel?? l'anneau de s??rie de puissances de n variables sur R.
Propri??t??s
- Tous sous-anneaux et anneaux quotients des anneaux commutatifs sont ??galement commutative.
- Si f: R → S est un injective homomorphisme d'anneaux (ce est un monomorphism) entre les anneaux R et S, et si S est commutatif, alors R doit ??galement ??tre commutative, puisque f (a ?? b) = f (a) ?? f (b) = f (b) ?? f (a) = f (b ?? a).
- De m??me, si f: R → S est un homomorphisme d'anneaux entre les anneaux R et S, et si R est commutatif, le sous-anneau f (R) S est ??galement commutative; en particulier, si f est surjective (et donc un ??pimorphisme), S doit ??tre commutative.
- Chaque finie Corps est commutative ( Le th??or??me de Wedderburn). N. Jacobson a montr?? que la condition suivante est suffisante: si R est un cycle tel que, pour chaque ??l??ment x de R, il existe un nombre entier n> 1 de telle sorte que x = x n, alors R est commutatif. Des conditions beaucoup plus g??n??rales qui garantissent la commutativit?? d'un anneau ont ensuite ??t?? d??couvert par EN Herstein et autres.
Discussion g??n??rale
La structure interne d'un anneau commutatif est d??termin??e en consid??rant ses id??aux. Tous les id??aux dans un anneau commutatif sont recto-verso, ce qui simplifie consid??rablement la situation.
La structure ext??rieure d'un anneau commutatif est d??termin??e en consid??rant l'alg??bre lin??aire sur cet anneau, ce est ?? dire, en enqu??tant sur la th??orie de son modules. Ce sujet est beaucoup plus difficile lorsque l'anneau commutatif ne est pas un champ et est g??n??ralement appel?? alg??bre homologique. L'ensemble des id??aux dans un anneau commutatif R peut ??tre caract??ris??e exactement comme l'ensemble des -modules R qui sont sous-modules de R.
Un ??l??ment a d'un anneau commutatif (l'identit??) est appel?? unit?? si elle poss??de un inverse multiplicatif, ce est ?? dire, se il existe un autre ??l??ment b de l'anneau (avec b pas n??cessairement distincte d'une) de sorte que ab = 1. Chaque ??l??ment non nul d'un champ est une unit??. Chaque ??l??ment d'un anneau commutatif locale ne figure pas dans l'id??al maximal est une unit??.
Un ??l??ment non nul a d'un anneau commutatif est dit ??tre un Diviseur de z??ro se il existe un ??l??ment non nul b de l'anneau de telle sorte que ab = 0. Un anneau commutatif avec l'identit?? qui poss??de pas de diviseurs z??ro est appel?? domaine int??grante car elle ressemble ??troitement les entiers ?? certains ??gards.
Certains des types sp??cifiques d'anneaux commutatifs sont donn??s avec la cha??ne d'inclusions suivantes:
anneaux commutatifs ⊃ int??gres ⊃ domaines de factorisation uniques ⊃ principaux domaines id??ales ⊃ Domaines euclidiens ⊃ champs
Une autre cha??ne possible (ce qui est plus g??om??trique) est la cha??ne d'inclusions suivantes:
Cohen-Macaulay anneaux ⊃ Anneaux Gorenstein ⊃ Anneaux r??guliers ⊃ Anneaux locaux r??guliers