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Cercle

Sujets connexes: Math??matiques

Renseignements g??n??raux

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Cercle
CERCLE 1.svg
Cercle illustration montrant un rayon, un diam??tre, le centre et la circonf??rence
Zone \ Pi r ^ 2 \, (O?? r = rayon)
Tycho crat??re, un des nombreux exemples de cercles qui se posent dans la nature

Un cercle est simple forme de la g??om??trie euclidienne qui est l'ensemble de tous points dans un plan qui sont ?? une distance donn??e d'un point donn??, la centre. La distance entre chacun des points et le centre est appel?? le rayon. Elle peut aussi ??tre d??finie comme le lieu g??om??trique d'un point ??quidistant d'un point fixe.

Un cercle est une simple ferm??e courbe qui divise le plan en deux r??gions: une int??rieur et un ext??rieur. En utilisation quotidienne, le terme ??cercle?? peut ??tre utilis?? indiff??remment pour d??signer soit de la limite de la figure, ou ?? la figure enti??re, y compris son int??rieur; dans l'usage strictement technique, le cercle est l'ancien et celui-ci est appel?? disque.

Un cercle peut ??tre d??finie comme la courbe trac??e par un point qui se d??place afin que sa distance ?? un point donn?? est constant.

Un cercle peut ??galement ??tre d??finie comme une sp??ciale ellipse dans laquelle les deux foyers sont confondus et la excentricit?? est 0. Les cercles sont les sections coniques atteint quand un c??ne circulaire droit est coup??e par un plan perpendiculaire ?? l'axe du c??ne.


Terminologie

  • Arc: toute partie connexe de la circonf??rence du cercle.
  • Centre: le point ??quidistant des points sur la circonf??rence.
  • Chord: un segment de droite dont les points d'extr??mit?? situ??s sur le cercle.
  • Circonf??rence: la longueur d'un circuit le long du cercle.
  • Diam??tre : la plus longue corde, un segment de droite dont les extr??mit??s se trouvent sur le cercle et qui passe par le centre; ou la longueur d'un tel segment, qui est la plus grande distance entre deux points quelconques sur le cercle.
  • Radius: un segment de droite reliant le centre du cercle pour ne importe quel point sur le cercle lui-m??me; ou la longueur d'un tel segment, qui est un demi diam??tre.
  • Secant: un accord ??tendu, une ligne droite coupe le cercle en deux points.
  • Secteur: une r??gion d??limit??e par deux rayons et un arc se ??tendant entre les rayons.
  • Segment: une r??gion d??limit??e par une corde et un arc se ??tendant entre les extr??mit??s de la corde.
  • Demi-cercle: une r??gion d??limit??e par un diam??tre et un arc se ??tendant entre les points d'extr??mit?? de la diam??tre. Ce est un cas particulier d'un segment.
  • Tangent : une ligne droite qui touche le cercle en un point unique.


Chord, s??cantes, tangente, rayon, et le diam??tre
Arc, le secteur, et le segment


Histoire

Le mot ??cercle?? d??rive du grec, kirkos "un cercle," de la KER de base qui signifie tourner ou plier. Les origines des mots " Circus "et" circuit "sont ??troitement li??s.

Pi??ce circulaire de la soie avec des images mongoles

Le cercle est connu depuis avant le d??but de l'histoire enregistr??e. Cercles naturelles auraient ??t?? observ??s, comme la Lune, le Soleil, et une tige de plante tr??s courte dans le vent sur le sable, qui constitue une forme de cercle dans le sable. Le cercle est la base de la roue , qui, avec des inventions connexes tels que engrenages, fait une grande partie de la machinerie moderne possible. En math??matiques, l'??tude du cercle a aid?? ?? inspirer le d??veloppement de la g??om??trie, l'astronomie , et le calcul.

Au d??but la science , en particulier la g??om??trie et astrologie et l'astronomie, a ??t?? reli?? au divin pour la plupart savants m??di??vaux, et beaucoup croyaient qu'il y avait quelque chose d'intrins??quement ??divine?? ou ??parfait?? qui pourrait ??tre trouv?? dans les cercles.

Le boussole dans ce manuscrit du 13??me si??cle est un symbole de l'acte de Dieu Cr??ation. Notez ??galement la forme circulaire de la halo
Tughrul Tour de l'int??rieur
Cercles sur un vieux dessin astronomique arabe

Parmi les faits saillants de l'histoire du cercle sont:

  • 1700 BCE - Le Papyrus Rhind donne une m??thode pour trouver la surface d'un champ circulaire. Le r??sultat correspond ?? 256/81 (3,16049 ...) en tant que valeur approximative de π.
  • 300 BCE - Livre 3 ??l??ments d'Euclide traite des propri??t??s du cercle.
  • Dans Platon s ' Seventh Letter il ya une d??finition d??taill??e et une explication du cercle. Platon explique le cercle parfait, et comment il est diff??rent de ne importe quel dessin, les mots, la d??finition ou une explication.
  • 1880 CE- Lindemann prouve que π est transcendant, r??gler efficacement le probl??me de mill??naire de la quadrature du cercle.

R??sultats analytiques

Longueur de circonf??rence

Le rapport de cercle de circonf??rence ?? son diam??tre est π (pi), un irrationnelle constante approximativement ??gale ?? 3,141592654. Ainsi, la longueur de la circonf??rence C est li??e ?? la rayon r et de diam??tre D par:

C = 2 \ pi r = \ pi d. \,

Espace clos

Zone d??limit??e par un cercle = π ?? superficie de la place ombrag??e

Comme l'a montr?? par Archim??de, le zone d??limit??e par un cercle est ??gale ?? celle d'un triangle dont la base a la longueur de la circonf??rence du cercle et dont la hauteur est ??gale au rayon du cercle, qui vient ?? π multipli?? par le rayon au carr??:

\ Mathrm {zone} = \ pi r ^ 2. \,

De mani??re ??quivalente, en d??signant diam??tre d,

\ Mathrm {zone} = \ frac {\ pi d ^ 2} {4} \ env {0.} 7854d ^ 2,

soit environ 79 pour cent de la carr?? circonscrit (dont le c??t?? est de longueur d).

Le cercle est la courbe plane entourant la surface maximale pour une longueur d'arc donn??. Il se agit du cercle ?? un probl??me dans le calcul des variations , ?? savoir la isop??rim??trique in??galit??s.

??quations

Les coordonn??es cart??siennes

Cercle de rayon r = 1, centre (a, b) = (1,2, -0,5)

Dans un x - y syst??me de coordonn??es cart??siennes , le cercle de centre Les coordonn??es (a, b) et le rayon r est l'ensemble de tous les points (x, y) de sorte que

\ Left (x - a \ right) ^ 2 + \ left (y - b \ right) ^ 2 = r ^ 2.

Cette ??quation , aussi connu comme ??quation du cercle, d??coule du th??or??me de Pythagore appliqu?? ?? ne importe quel point sur le cercle: comme le montre le sch??ma de droite, le rayon est l'hypot??nuse d'un triangle rectangle dont les c??t??s sont de longueur autre x - A et Y - b. Si le cercle est centr?? ?? l'origine (0, 0), l'??quation se simplifie

x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. \! \

L'??quation peut ??tre ??crite dans forme param??trique en utilisant l' fonctions trigonom??triques sinus et cosinus

x = a + r \, \ cos t, \,
y = b + r \, \ sin t \,

o?? t est un param??trique variables dans la plage de 0 ?? 2π, interpr??t??e g??om??triquement comme ??tant l'angle que le rayon de (a, b) ?? (x, y) fait avec l'axe des x. Une alternative param??trage du cercle est:

x = a + r \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} \,
y = b + r \ frac {} {2t + 1 t ^ 2}. \,

Dans ce param??trage, le rapport de t ?? r peut ??tre interpr??t??e comme la g??om??triquement projection st??r??ographique de cercle sur la droite passant par le centre parall??le ?? l'axe des x.

En coordonn??es homog??nes chaque section conique avec l'??quation d'un cercle est de la forme

ax ^ 2 + ay ^ 2 + 2b_1xz + 2b_2yz + cz ^ 2 = 0. \,

Il peut ??tre prouv?? qu'une section conique est un cercle exactement quand il contient (lorsqu'il est ??tendu ?? la plan projectif complexe) les points que je (1: i: 0) et J (1: - i: 0). Ces points sont appel??s les Points cycliques.

Les coordonn??es polaires

En coordonn??es polaires l'??quation d'un cercle est:

r ^ 2-2 r r_0 \ cos (\ theta - \ phi) + r_0 ^ 2 = a ^ 2 \,

o?? a est le rayon du cercle, (R, \ theta) est la coordonn??es polaires d'un point g??n??rique sur le cercle, et (R_0, \ phi) est la coordonn??e polaire du centre du cercle (?? savoir, r 0 est la distance de l'origine au centre du cercle, et φ est l'angle de sens anti-horaire ?? partir de l'axe des x x positif ?? la ligne reliant l'origine au centre de le cercle). Pour un cercle centr?? ?? l'origine, soit R 0 = 0, ce qui r??duit simplement ?? r = a. Quand R 0 = un, ou lorsque l'origine est sur le cercle, l'??quation devient

r = 2 a \ cos (\ theta - \ phi). \,

Dans le cas g??n??ral, l'??quation peut ??tre r??solue pour r, ce qui donne

r = r_0 \ cos (\ theta - \ phi) + \ sqrt {a ^ 2 - r_0 ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta - \ phi)},

la solution avec un signe moins devant la racine carr??e donnant la m??me courbe.

Plan complexe

Dans le plan complexe , un cercle de centre c et au rayon (r) a pour ??quation | Z-c | ^ 2 = r ^ 2 \, . Dans cette forme param??trique peut ??tre ??crit z = re ^ {it} + c .

L'??quation l??g??rement g??n??ralis??e pz \ overline {z} + + gz \ overline {gz} = q pour de vrai p, q et g complexe est parfois appel?? cercle g??n??ralis??e. Cela devient l'??quation ci-dessus pour un cercle avec p = 1, \ g = - \ overline {c}, \ q = r ^ 2- | c | ^ 2 Car | ZC | ^ 2 = z \ overline {z} - \ overline {c} zc \ overline {} z + c \ overline {c} . Pas tous les milieux g??n??ralis??es sont en fait des cercles: un cercle g??n??ralis??e est soit un (vrai) cercle ou une ligne .

tangentes

La tangente passant par un point P sur le cercle est perpendiculaire au diam??tre passant par P. Si P = (x 1, y 1) et le centre cercle a (a, b) et de rayon r, alors la tangente est perpendiculaire ?? la ligne ?? partir de (a, b) ?? (x 1, y 1), de sorte qu'il a la forme (x 1 - a) x + (y 1 - y) b = c. L'??valuation au (x 1, y 1) d??termine la valeur de c et le r??sultat est que l'??quation de la tangente est

(X_1-a) x + (y_1-b) y = (x 1-a) x_1 + (y_1-b) y_1 \,

ou

(X 1-a) (x-a) + (y_1-b) (y-b) 2 = r ^. \! \

Si y 1B, alors la pente de cette ligne est

\ Frac {} {dx dy} = - \ frac {x 1-a} {b}-y_1.

Cela peut ??galement ??tre trouv??e en utilisant la diff??renciation implicite.

Lorsque le centre du cercle est ?? l'origine de l'??quation de la ligne tangente devient

x_1x + y_1y = r ^ 2, \! \

et sa pente est

\ Frac {} {dx dy} = - \ frac {} {x_1 y_1}.

Propri??t??s

  • Le cercle est la forme la plus grande surface pour une longueur donn??e de p??rim??tre. (Voir Th??or??me isop??rim??trique.)
  • Le cercle est une forme tr??s sym??trique: chaque ligne par le centre forme une ligne de sym??trie de r??flexion et il a sym??trie de rotation autour du centre pour chaque angle. Son groupe de sym??trie est le groupe orthogonal O (2, R). Le groupe des rotations est le seul groupe de cercle T.
  • Tous les cercles sont similaire.
    • La circonf??rence et le rayon d'un cercle sont proportionnelle.
    • La zone ferm??e et le carr?? de son rayon sont proportionnelle.
      • Le constantes de proportionnalit?? sont 2π et π respectivement.
  • Le cercle qui est centr?? ?? l'origine de rayon 1 est appel?? cercle unit??.
    • Consid??r?? comme un grand cercle de la sph??re unit??, il devient le Cercle de Riemann.
  • Gr??ce ?? trois points quelconques, pas tous sur la m??me ligne, il se trouve un cercle unique. En coordonn??es cart??siennes , il est possible de donner des formules explicites pour les coordonn??es du centre du cercle et le rayon en termes de coordonn??es des trois points donn??s. Voir circonscrit.

Corde

  • Les accords sont ?? ??gale distance du centre d'un cercle si et seulement si elles sont ??gales en longueur.
  • La m??diatrice d'une corde passe par le centre d'un cercle; d??clarations ??quivalentes d??coulant de l'unicit?? de la m??diatrice:
    • Une ligne perpendiculaire au centre d'un cercle bissecte la corde.
    • Le segment de ligne ( segment de cercle) ?? travers le centre d'une corde bissecteur est perpendiculaire ?? la corde.
  • Si un angle central et un angle inscrit d'un cercle sont sous-tendu par la m??me corde et sur le m??me c??t?? de la corde, l'angle au centre est le double de l'angle inscrit.
  • Si deux angles sont inscrits sur la m??me membrure et sur le m??me c??t?? de la corde, ils sont ??gaux.
  • Si deux angles sont inscrits sur la m??me membrure et sur des c??t??s oppos??s de la corde, ils sont compl??mentaires.
    • Pour un quadrilat??re cyclique, l'angle ext??rieur est ??gal ?? l'angle int??rieur oppos??.
  • Un angle inscrit sous-tendu par un diam??tre est un angle droit (voir Thales th??or??me).
  • Le diam??tre est la plus longue corde du cercle.
  • Si l'intersection de deux des accords divise une corde en longueurs A et B et divise l'autre corde en longueurs c et d, puis ab = cd.
  • Si l'intersection de deux des accords perpendiculaires divise une corde en longueurs A et B et divise l'autre corde en longueurs c et d, puis une 2 + 2 b + c 2 + d 2 est ??gale au carr?? du diam??tre.
  • La somme des carr??s des longueurs des cordes des deux coupant ?? angle droit en un point donn?? est la m??me que celle des deux autres cordes se coupent en un m??me point, et est donn?? par r 8 2-4 2 p (o?? r est le le rayon de cercle et p est la distance du point au point d'intersection) de centre.
  • La distance d'un point sur le cercle ?? une fois d'accords donn??s le diam??tre du cercle est ??gal au produit des distances du point aux extr??mit??s de la corde.

Sagitta

Le Sagitta est le segment vertical.
  • Le sagitta (??galement connu sous le nom Versine) est un segment de droite trac??e perpendiculairement ?? un accord, entre le point milieu de cette corde et l'arc de cercle.
  • Compte tenu de la longueur y d'un accord, et la longueur x du Sagitta, le th??or??me de Pythagore peut ??tre utilis?? pour calculer le rayon du cercle unique qui se adapte autour des deux lignes:
r = \ frac {y ^ 2} {8x} + \ frac {x} {2}.

Une autre preuve de ce r??sultat qui ne repose que sur deux propri??t??s d'accords indiqu??es ci-dessus est le suivant. ??tant donn?? une corde de longueur et y sagitta de longueur x, depuis le sagitta croise le milieu de la corde, nous savons que ce est une partie d'un diam??tre du cercle. Comme le diam??tre est deux fois le rayon, la partie ??manquant?? est le diam??tre (r 2 - x) de longueur. En utilisant le fait que une partie d'une fois de membrure l'autre partie est ??gal au m??me produit, prise le long d'une corde coupant la premi??re corde, on constate que (r 2 - x) = x (y / 2) 2. R??solution pour r, nous trouvons le r??sultat requis.

Tangente

  • Le trac?? perpendiculaire ?? un rayon passant par le point du rayon d'extr??mit?? est tangente ?? un cercle.
  • Une ligne trac??e perpendiculaire ?? une tangente passant par le point de contact avec un cercle passant par le centre du cercle.
  • Deux tangentes peuvent toujours ??tre attir??s par un cercle de tout point en dehors du cercle, et ces tangentes sont ??gaux en longueur.
  • Si une tangente en A et une tangente en B se coupent au point ext??rieur P, puis d??signant le centre que O, les angles ∠ BOA et ∠ BPA sont suppl??mentaire.
  • Si AD est tangente au cercle en A et si AQ est une corde du cercle, alors DAQ = 1/2 arc (AQ).

Th??or??mes

Th??or??me Secant-s??cant
  • Le th??or??me d'accord stipule que si deux accords, CD et EB, se coupent en A, puis CA ?? DA = EA ?? BA.
  • Si une tangente d'un point D externe r??pond le cercle au C et un s??cant du point D externe r??pond le cercle en G et E respectivement, puis DC = 2 ?? DG DE. (Th??or??me de Tangent-s??cant.)
  • Si deux s??cantes, DG et DE, ont ??galement r??duit le cercle au H et F, respectivement, alors DH ?? DG = DF ?? DE. (Corollaire du th??or??me de la tangente-s??cante.)
  • L'angle entre une tangente et la corde est ??gale ?? une moiti?? de l'angle sous-tendu sur le c??t?? oppos?? de la membrure (Tangent Jaquette Angle).
  • Si l'angle sous-tendu par la corde au centre est de 90 degr??s , alors L = √2 r, o?? l est la longueur de la corde et r est le rayon du cercle.
  • Si deux s??cantes sont inscrits dans le cercle comme illustr?? ?? droite, la mesure de l'angle A est ??gal ?? la moiti?? de la diff??rence des mesures des arcs ferm??s (DE) et la Colombie-Britannique. Ce est le th??or??me s??cante s??cant.

Les angles inscrits

Inscrite th??or??me d'angle

Une angle inscrit (exemples sont les angles bleu et vert sur la figure) est exactement la moiti?? du correspondant angle au centre (rouge). Par cons??quent, tous les angles inscrits qui sous-tendent le m??me arc (rose) sont ??gaux. Angles inscrits sur l'arc (marron) sont compl??mentaires. En particulier, tout angle inscrit qui sous-tend un diam??tre est un angle droit (depuis l'angle au centre est de 180 degr??s).


Cercle d'Apollonius

La d??finition d'Apollonius de cercle: d 1 / d 2 constante

Apollonius de Perga montr?? qu'un cercle peut ??galement ??tre d??finie comme l'ensemble des points dans un plan, ayant un rapport constant (autre que 1) des distances ?? deux foyers fixes A et B. (L'ensemble des points o?? les distances sont ??gales est la m??diatrice de A et B, une ligne.) Ce cercle est dit parfois ?? tirer environ deux points.

La preuve est en deux parties. Premi??rement, il faut prouver que, compte tenu de deux foyers A et B et un rapport de distances, tout point P satisfaisant le rapport des distances doit tomber sur un cercle particulier. Soit C un autre point, satisfaisant ??galement le rapport et couch?? sur le segment AB. Par le bissectrice th??or??me le segment de ligne PC va couper la int??rieur angle APB, depuis les secteurs sont similaires:

\ Frac {AP} {BP} = \ frac {} {AC BC}.

De mani??re analogue, un PD segment de droite passant par un point D sur AB ??tendu divise le correspondant angle ext??rieur BPQ o?? Q est sur AP prolong??e. Depuis les angles int??rieurs et ext??rieurs r??sument ?? 180 degr??s, l'angle CPD est exactement 90 degr??s, soit un angle droit. L'ensemble des points P tels que angle CPD est un angle droit forme un cercle, dont le CD est un diam??tre.

Deuxi??mement, voir une preuve que chaque point sur le cercle indiqu?? satisfait du rapport donn??.

Croix-ratios

Une propri??t?? tr??s proche de cercles implique la g??om??trie de la birapport de points dans le plan complexe . Si A, B, et C sont tels que ci-dessus, puis le cercle d'Apollonius pour ces trois points est l'ensemble des points P pour lequel la valeur absolue de la traverse rapport est ??gal ?? une:

| [A, B, C, P] | = 1. \

En d'autres termes, P est un point sur le cercle d'Apollonius si et seulement si le birapport [A, B, C, P] est le cercle unit?? dans le plan complexe.

Cercles g??n??ralis??es

Si C est la milieu du segment AB, puis la collecte de points P satisfaisant ?? la condition qu'Apollonius

\ Frac {| AP |} {| BP |} = \ frac {| CA |} {| BC |} 

ne est pas un cercle, mais une ligne.

Ainsi, si A, B et C sont donn??s points distincts dans le plan, le lieu des points P satisfaisant ?? l'??quation ci-dessus est appel?? un "cercle g??n??ralis??e." Il peut ??tre soit un vrai cercle ou une ligne. Dans ce sens, une ligne est un cercle g??n??ralis??e de rayon infini.

Cercles inscrits ou circonscrites sur les autres chiffres

Dans chaque triangle , un cercle unique, appel??e la cercle inscrit, peut se inscrire de sorte qu'il est tangent ?? chacun des trois c??t??s du triangle.

A propos de tout triangle, un cercle unique, appel??e la cercle circonscrit, peut ??tre circonscrit de telle sorte qu'il passe par chacune des triangle de trois sommets.

Un polygone tangentielle, tel qu'un quadrilat??re tangentielle, est tout polygone convexe ?? l'int??rieur d'un cercle qui peut ??tre inscrit qui est tangent ?? chaque c??t?? du polygone.

Un polygone cyclique est tout polygone convexe autour duquel un cercle peut ??tre circonscrit, en passant par chaque sommet. Un exemple bien ??tudi?? est le quadrilat??re cyclique.

Un hypocyclo??de est une courbe qui se inscrit dans un cercle donn?? en tra??ant un point fixe sur un plus petit cercle qui roule ?? l'int??rieur et tangente au cercle donn??.

Cercle comme limitant cas d'autres chiffres

Le cercle peut ??tre consid??r??e comme un cas limite de chacun des divers autres chiffres:

  • Un Ovale cart??sienne est un ensemble de points tels que A somme pond??r??e des distances des points de l'un de ses deux points fixes ( foyers) est une constante. Une ellipse est le cas dans lequel les pond??rations sont ??gales. Un cercle est une ellipse avec un excentricit?? de z??ro, ce qui signifie que les deux foyers co??ncident les uns avec les autres en tant que centre du cercle. Un cercle est ??galement un cas particulier diff??rent d'un ovale cart??sien dans lequel l'un des poids est ??gal ?? z??ro.
  • Un superellipse a une ??quation de la forme \ Left | \ frac {x} {a} \ right | ^ n \! + \ Left | \ frac {y} {b} \ right | ^ n \! = 1 pour le positif a, b, et n. Un supercircle a b = a. Un cercle est le cas particulier d'un supercircle dans laquelle n = 2.
  • Un Cassini ovale est un ensemble de points tels que le produit de la distance entre ne importe quel de ses points ?? deux points fixes est une constante. Lorsque les deux points fixes co??ncident, un des r??sultats de cercle.
  • Un courbe de largeur constante est un chiffre dont la largeur, d??finie comme la distance perpendiculaire entre deux lignes parall??les distinctes se coupent sa limite en un point unique, est le m??me quel que soit le sens de ces deux lignes parall??les. Le cercle est l'exemple le plus simple de ce type de figure.
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