Syst??me de coordonn??es cart??siennes

Figue. 1 - syst??me de coordonn??es cart??siennes. Quatre points sont marqu??s: (2,3) en vert, (-3,1) en rouge, (-1,5, -2,5) en bleu et (0,0), l'origine, en jaune.

Figue. 2 - syst??me de coordonn??es cart??siennes avec le cercle de rayon 2 centr??e ?? l'origine marqu??e en rouge. L'??quation du cercle est x ² + y ² = 4.

En math??matiques , le syst??me de coordonn??es cart??siennes (??galement appel?? syst??me de coordonn??es rectangulaires) est utilis?? pour d??terminer chaque signaler unique dans un avion par deux nombres , g??n??ralement appel??s les coordonn??es x ou abscisse et l'ordonn??e ou ordonn??e du point. Pour d??finir les coordonn??es, deux perpendiculaire lignes dirig??es (l'axe de-x, et l'axe des y), sont pr??cis??s, ainsi que la unit?? de longueur, qui est d??limit?? sur les deux axes (voir Figure 1). Des syst??mes de coordonn??es cart??siennes sont ??galement utilis??s dans espace (o?? trois coordonn??es sont utilis??s) et dimensions sup??rieures.

Utilisation du syst??me de coordonn??es cart??siennes, g??om??triques (telles que des formes courbes ) peuvent ??tre d??crits par alg??briques ??quations , nomm??ment ??quations satisfaites par les coordonn??es des points situ??s sur la forme. Par exemple, le cercle de rayon 2 peut ??tre d??crit par l'??quation x ² + y ² = 4 (voir figure 2).

Histoire

Des moyens cart??siennes relatives ?? la fran??aise math??maticien et philosophe Ren?? Descartes (latin: Cartesius), qui, entre autres choses, a travaill?? ?? fusionner l'alg??bre et de la g??om??trie euclidienne . Ce travail a ??t?? d??terminant dans le d??veloppement de la g??om??trie analytique , le calcul , et cartographie.

L'id??e de ce syst??me a ??t?? d??velopp?? en 1637 dans deux ??crits par Descartes et ind??pendamment par Pierre de Fermat , bien que Fermat n'a pas publi?? la d??couverte. Dans la deuxi??me partie de son Discours de la m??thode, Descartes introduit la nouvelle id??e de sp??cifier la position d'un point ou un objet sur une surface, en utilisant deux axes qui se croisent comme des guides de mesure. En La G??om??trie, il explore davantage les concepts mentionn??s ci-dessus.

Bidimensionnelle syst??me de coordonn??es

Figue. 3 - Les quatre quadrants d'un syst??me de coordonn??es cart??siennes. Les fl??ches sur les axes indiquent qu'elles se ??tendent ?? jamais dans leurs directions respectives (ce est ?? dire ?? l'infini).

Un cart??sien syst??me de coordonn??es en deux dimensions est g??n??ralement d??finie par deux axes, ?? angle droit les uns aux autres, formant un plan (une Plane xy). Le axe horizontal x est normalement marqu??, et la axe vertical est normalement ??tiquet?? y. Dans un syst??me de coordonn??es tridimensionnelles, d'un autre axe, z normalement marqu??, on ajoute, en fournissant une troisi??me dimension de l'espace de mesure. Les axes sont commun??ment d??finis comme mutuellement orthogonal ?? l'autre (chacun ?? angle droit par rapport l'autre). (Les premiers syst??mes autoris??s axes "obliques", ce est-axes qui ne r??pondaient pas ?? angle droit, et ces syst??mes sont parfois utilis??s aujourd'hui, bien que la plupart du temps que des exercices th??oriques.) Tous les points dans un syst??me de coordonn??es cart??siennes pris ensemble forment un soi- appel?? plan cart??sien. Les ??quations qui utilisent le syst??me de coordonn??es cart??siennes sont appel??es ??quations cart??siennes.

Le point d'intersection, o?? les axes se rencontrent, est appel?? l'origine O normalement marqu??. Les axes x et y d??finissent un plan qui est d??sign?? sous le plan xy. Compte tenu de chaque axe, choisir une unit?? de longueur, et marquer chaque unit?? long de l'axe, formant une grille. Pour sp??cifier un point particulier sur un syst??me ?? deux dimensions de coordonn??es, indiquer la premi??re unit?? x (abscisse), suivie par l'unit?? de y (ordonn??e) sous la forme (x, y), une paire ordonn??e.

Le choix de lettres vient d'une convention, d'utiliser la derni??re partie de l'alphabet pour indiquer des valeurs inconnues. En revanche, la premi??re partie de l'alphabet a ??t?? utilis?? pour d??signer des valeurs connues.

Un exemple d'un point P sur le syst??me est indiqu??e sur la figure 3, en utilisant la coordonn??e (3,5).

L'intersection des deux axes cr??e quatre r??gions, appel??es quadrants, renseign??es par les chiffres romains I (+, +), II (-, +), III (-, -) et IV (+, -). Classiquement, les quadrants sont ??tiquet??s anti-horaire ?? partir du coin sup??rieur droit ("nord") de quadrant. Dans le premier quadrant, les deux coordonn??es sont positives, dans le deuxi??me quadrant x -coordinates sont n??gatifs et y -coordinates positif, dans le troisi??me quadrant deux coordonn??es sont n??gatifs et dans le quatri??me quadrant, x -coordinates sont positifs et y -coordinates n??gative ( voir tableau ci-dessous.)

Three-dimensional syst??me de coordonn??es

Figue. 4 - syst??me tridimensionnel de coordonn??es cart??siennes avec l'axe y se ??loignant de l'observateur.

Figue. 5 - tridimensionnel syst??me de coordonn??es cart??siennes avec l'axe des abscisses orient?? vers l'observateur.

Le coordonner surfaces des coordonn??es cart??siennes (x, y, z). L'axe z est vertical et l'axe des x est surlign?? en vert. Ainsi, le rouge plan montre les points avec x = 1, le bleu plan montre les points avec z = 1, et le plan jaune indique les points avec y = -1. Les trois surfaces se coupent au point P (pr??sent??e comme une sph??re noire) avec les coordonn??es cart??siennes (1,0, -1,0, 1,0).

Le syst??me de coordonn??es cart??siennes dimensions trois fournit les trois dimensions physiques de l'espace - Longueur, largeur, hauteur et. Les figures 4 et 5 repr??sentent deux mani??res communes de repr??senter.

Les trois axes cart??siens d??finissant le syst??me sont perpendiculaires les uns aux autres. Les coordonn??es pertinentes sont de la forme (x, y, z). A titre d'exemple, la figure 4 montre deux points trac??s dans un syst??me de coordonn??es cart??siennes en trois dimensions: P (3,0,5) et Q (-5, -5,7). Les axes sont repr??sent??s dans un "monde coordonn??es" orientation de l'axe z vers le haut.

Les x -, y -, et z -coordinates d'un point peuvent ??galement ??tre consid??r??es comme les distances du plan yz, xz Plane, Plane et xy respectivement. La figure 5 montre les distances de point P des avions.

Le xy -, yz -, xz et -plans diviser l'espace en trois dimensions en huit subdivisions appel??es octants, semblables aux quadrants d'espace 2D. Alors que les conventions ont ??t?? ??tablies pour l'??tiquetage des quatre quadrants du plan x - y, seul le premier octant de l'espace tridimensionnel est ??tiquet??. Elle contient tous les points dont x, y et z les coordonn??es sont positives.

Le z -Coordonner est aussi appel?? applicate.

Orientation et impartialit??

Dans deux dimensions

Le r??gle de la main droite.

Fixation ou en choisissant l'axe des x d??termine l'axe y jusqu'?? direction. A savoir, l'axe des y est n??cessairement le perpendiculaire ?? l'axe des x par le point marqu?? 0 sur l'axe des x. Mais il se agit d'un choix de celui des deux lignes de moiti?? sur la perpendiculaire ?? d??signer comme positif et n??gatif qui. Chacun de ces deux choix d??termine une orientation diff??rente (??galement appel??e chiralit??) du plan cart??sien.

La mani??re habituelle d'orientation des axes, avec le x positif selon l'axe pointant vers la droite et l'y positif selon l'axe vers le haut (et l'axe des x ??tant la ??premi??re?? et l'axe des y la "deuxi??me" axe) est consid??r?? comme le positif ou l'orientation standard, ??galement appel?? l'orientation droitier.

Un moyen mn??motechnique couramment utilis?? pour d??finir l'orientation positive est le r??gle de la main droite. Pla??ant une main peu ferm?? ?? droite sur le plan avec le pouce vers le haut, les doigts pointent du axe x ?? l'axe des y, dans un syst??me de coordonn??es orient?? positivement.

L'autre fa??on d'orienter les axes suit la r??gle de la main gauche, en pla??ant la main gauche sur le plan avec le pouce pointant vers le haut.

Ind??pendamment de la r??gle utilis??e pour orienter les axes, la rotation du syst??me de coordonn??es permettra de pr??server l'orientation. Commutation le r??le de x et y sera inverser l'orientation.

En trois dimensions

Figue. 7 - L'orientation de la main gauche est repr??sent??e sur la gauche, et le droitier ?? droite.

Figue. 8 - Le droitier syst??me de coordonn??es cart??siennes indiquant les plans de coordonn??es.

Une fois que le x - et -axes y sont sp??cifi??es, elles d??terminent la ligne le long de laquelle l'axe z devraient mentir, mais il ya deux directions possibles sur cette ligne. Les deux syst??mes possibles de coordonn??es qui en r??sultent sont appel??s ???? droite?? et ??gauchers??. L'orientation standard, o?? la Plane xy est horizontal et l'axe z pointe vers le haut (et le x - et l'axe y former un syst??me de coordonn??es bidimensionnelles orient?? positivement dans le Plane xy si observ?? depuis le dessus du Plane xy ) est appel?? droitiers ou positif.

Le nom d??rive de la R??gle de la main droite. Si le l'index de la main droite est point?? vers l'avant, la doigt du milieu repli??e vers l'int??rieur ?? un angle droit ??, et le pouce plac?? ?? angle droit aux deux, les trois doigts indiquer les directions relatives du x -, y -, et z -axes dans un syst??me droitier. Le pouce indique l'axe des x, l'index de l'axe des y et le majeur de l'axe z. Inversement, si on fait de m??me avec la main gauche, un des r??sultats du syst??me gauchers.

Figure 7 est une tentative repr??sentant un gauche et un syst??me droitier coordonn??es. Parce qu'un objet tridimensionnel est repr??sent?? sur le r??sultat ??cran bidimensionnel, la distorsion et l'ambigu??t??. L'axe point?? vers le bas (et vers la droite) est ??galement destin??e ?? ??tre orient??e vers l'observateur, tandis que l'axe "milieu" est destin?? ?? indiquer l'??cart de l'observateur. Le cercle rouge est parall??le ?? l'Plane horizontal xy et indique une rotation de la axe des x de l'axe des y (dans les deux cas). D'o?? la fl??che rouge passe devant l'axe des z.

Figure 8 est une autre tentative de d??peindre un syst??me droitier coordonn??es. Encore une fois, il existe une ambigu??t?? due ?? la projection du syst??me de coordonn??es ?? trois dimensions dans le plan. Beaucoup d'observateurs consid??rent Figure 8 comme ??retournement in and out?? entre un convexe et un cube concave "coin". Cela correspond aux deux orientations possibles du syst??me de coordonn??es. Voir la figure comme convexe donne un syst??me gaucher coordonn??es. Ainsi, la ??bonne?? fa??on de voir Figure 8 est d'imaginer l'axe des x comme pointant vers l'observateur et donc voir un coin concave.

Repr??sentant un vecteur dans la base standard

Un point de l'espace dans un syst??me de coordonn??es cart??siennes peut ??galement ??tre repr??sent?? par un vecteur, qui peut ??tre consid??r?? comme une fl??che pointant de l'origine du syst??me au point de coordonn??es. Si les coordonn??es repr??sentent des positions spatiales (d??placements) il est courant de repr??senter le vecteur entre l'origine et le point d'int??r??t en tant que . En trois dimensions, le vecteur de l'origine au point de coordonn??es cart??siennes qui est parfois ??crit que:

o?? , Et sont vecteurs unitaires qui indiquent la m??me direction que la , Et axes, respectivement. Ceci est le quaternionique repr??sentation du vecteur et a ??t?? introduit par Sir William Rowan Hamilton. Les vecteurs unitaires , Et on appelle les versors du syst??me de coordonn??es, et sont les vecteurs de la base standard en trois dimensions.

Applications

Les coordonn??es cart??siennes sont souvent utilis??es pour repr??senter deux ou trois dimensions de l'espace, mais ils peuvent ??galement ??tre utilis??s pour repr??senter des quantit??s beaucoup d'autres (tels que masse, temps, force, etc.). Dans ce cas, les axes de coordonn??es sont typiquement marqu??es avec d'autres (tels que des lettres m, t, F, etc.) ?? la place de x, y, et z. Chaque axe peut aussi avoir diff??rentes unit??s de mesure qui lui sont associ??s (tels que kilogramme, seconde, livres, etc.). Il est ??galement possible de d??finir des syst??mes de coordonn??es de plus de trois dimensions pour repr??senter les relations entre les quantit??s de plus de trois. Bien que quatre et espaces de dimensions sup??rieures sont difficiles ?? visualiser, l'alg??bre des coordonn??es cart??siennes peut ??tre ??tendue assez facilement quatre ou plusieurs variables, de sorte que certains calculs impliquant de nombreuses variables peuvent ??tre faites. (Cette sorte d'extension alg??brique est ce qui est utilis?? pour d??finir la g??om??trie des espaces de dimensions sup??rieures, qui peuvent devenir assez compliqu??.) Inversement, il est souvent utile d'utiliser la g??om??trie des coordonn??es cart??siennes en deux ou trois dimensions pour visualiser les relations alg??briques entre deux ou trois (peut-??tre deux ou trois des nombreux) variables non-spatiales.