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La logique bool??enne

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La logique bool??enne est un syst??me complet Syst??me de logique op??rations. Il a ??t?? nomm?? d'apr??s George Boole, qui a d??fini d'abord un syst??me alg??brique de la logique dans le milieu du 19??me si??cle . La logique bool??enne a de nombreuses applications dans l'??lectronique, du mat??riel informatique et des logiciels, et est la base de l'??lectronique num??rique. En 1938 , Claude Shannon a montr?? comment les circuits ??lectriques avec relais ??taient un mod??le pour la logique bool??enne. Ce fait est vite r??v??l??e ??norm??ment cons??cutifs avec l'??mergence de l'??lectronique ordinateur .

En utilisant le alg??bre des ensembles, cet article contient une introduction de base ?? ensembles, op??rations bool??ennes, les diagrammes de Venn , tables de v??rit??, et les applications bool??ennes. Le L'article de l'alg??bre de Boole traite un type de structure alg??brique qui satisfait les axiomes de la logique bool??enne. L' arithm??tique binaire article traite de l'utilisation des binaires chiffres dans l'ordinateur syst??mes.

R??glez la logique par rapport logique bool??enne

Les jeux peuvent contenir des ??l??ments. Nous allons d'abord commencer par discuter de la logique g??n??rale de jeu, puis nous limiter ?? la logique bool??enne, o?? les ??l??ments (ou "bits") contiennent chacun seulement deux valeurs possibles, appel?? divers noms, tels que ??vrai?? et ??faux??, ??oui?? et "non", "on" et "off", ou "1" et "0".

Termes

Diagramme de Venn montrant l'intersection des ensembles "A et B" (en violet / ombrage fonc??), l'union des ensembles "A ou B" (toutes les r??gions de couleur / ombrag??es), et le cas OU exclusif "ensemble A XOR B" ( toutes les r??gions, sauf les couleurs / seules les r??gions ombrag??es l??g??rement violets). Le ??univers?? est repr??sent?? par toute la r??gion dans le cadre rectangulaire.

Soit X un ensemble:

  • Un ??l??ment est un membre d'un ensemble. Ceci est indiqu?? par \ In . Si ce ne est pas un ??l??ment de l'ensemble, ce est not??e \ Pas dedans .
  • L'univers est l'ensemble X, parfois d??sign?? par 1. Notez que cette utilisation du mot univers signifie ??tous les ??l??ments ?? l'??tude", qui ne sont pas n??cessairement les m??mes que "tous les ??l??ments, il ya".
  • L'ensemble vide ou ensemble vide est l'ensemble des ??l??ments pas, not??e \ Varnothing et parfois 0.
  • Un op??rateur unaire se applique ?? un ensemble unique. Il est un op??rateur unaire, appel?? NON logique. Il fonctionne en prenant le compl??ter.
  • Un op??rateur binaire se applique aux deux ensembles. Les op??rateurs binaires de base sont logiques OU et ET logique. Ils effectuent le syndicat et l'intersection des ensembles. Il ya aussi d'autres op??rateurs binaires d??riv??s, tels que XOR (OU exclusif).
  • Un sous-ensemble est d??sign?? par A \ B subseteq et des moyens de chaque ??l??ment de l'ensemble A est ??galement dans la s??rie B.
  • Un sous-ensemble est d??sign?? par Un \ subset B et des moyens de chaque ??l??ment de l'ensemble A est ??galement dans la s??rie B et les deux ensembles ne sont pas ??gaux.
  • Un sur-ensemble est d??sign?? par A \ B supseteq et des moyens de chaque ??l??ment de l'ensemble B est ??galement dans la s??rie A.
  • Un super-bon est not??e A \ B supset et des moyens de chaque ??l??ment de l'ensemble B est ??galement dans la s??rie A et les deux ensembles ne sont pas ??gaux.

Exemple

Multiples bool??ennes de deux trois 5.svg

Imaginons que l'ensemble A contient tous les nombres pairs (multiples de deux) dans ??l'univers?? (d??fini dans l'exemple ?? droite, comme tous les nombres entiers compris entre 0 et 30 inclus) et l'ensemble B contient tous les multiples de trois dans "l'univers". Puis l'intersection des deux ensembles (tous les ??l??ments dans les ensembles A et B) serait tous des multiples de six "l'univers".

Le compl??ment de l'ensemble A (tous les ??l??ments ne sont pas en jeu A) serait dans tous les nombres impairs "l'univers".

Cha??nage op??rations ensemble

Alors que tout au plus deux ensembles sont assembl??s dans toute op??ration bool??enne, le nouvel ensemble form?? par cette op??ration peut alors ??tre joint ?? d'autres jeux utilisant des op??rations bool??ennes suppl??mentaires. Dans l'exemple pr??c??dent, nous pouvons d??finir une nouvelle s??rie C comme l'ensemble de tous les multiples de cinq dans "l'univers". Ainsi, ??ensembles A et B ET C" serait tous les multiples de 30 dans "l'univers". Si plus pratique, nous pouvons consid??rer mis AB ?? l'intersection des ensembles A et B, ou l'ensemble des multiples de six "l'univers". Ensuite, nous pouvons dire ??ensembles AB et C" sont l'ensemble des multiples de 30 dans "l'univers". Nous pourrions alors prendre un peu plus loin et appeler ce jeu de r??sultats ABC.

L'utilisation de parenth??ses

Alors que ne importe quel nombre d'ET logiques (ou ne importe quel nombre des RUP logiques) peuvent ??tre cha??n??s ensemble sans ambigu??t??, la combinaison de AND et OR et NOT peut conduire ?? des cas ambigus. Dans de tels cas, les parenth??ses peuvent ??tre utilis??es pour pr??ciser l'ordre des op??rations. Comme toujours, les op??rations ?? l'int??rieur de la paire la plus interne est r??alis??e en premier, suivie par la paire suivante out, etc., jusqu'?? ce que toutes les op??rations entre parenth??ses ont ??t?? accomplies. Ensuite toutes les op??rations en dehors des parenth??ses sont effectu??es.

Application aux valeurs binaires

Dans cet exemple, nous avons utilis?? des nombres naturels , tandis que dans la logique bool??enne nombres binaires sont utilis??s. L'univers, par exemple, peut contenir seulement deux ??l??ments, "0" et "1" (ou "vrai" et "faux", "oui" et "non", "on" ou "off", etc.). On pourrait aussi combiner des valeurs binaires ensemble pour obtenir des mots binaires, tels que, dans le cas de deux chiffres, ??00??, ??01??, ??10?? et ??11??. Appliquer la logique ensemble ?? ces valeurs, nous pourrions avoir un ensemble de toutes les valeurs, o?? le premier chiffre est "0" ("00" et "01") et l'ensemble des valeurs o?? les premier et deuxi??me chiffres sont diff??rents ("01" et "10"). L'intersection des deux ensembles serait alors le seul ??l??ment, "01". Cela pourrait ??tre repr??sent??e par l'expression bool??enne suivante, o?? "1er" est le premier chiffre et "2??me" est le deuxi??me chiffre:

(PAS 1er) ET (1er 2??me PAS)

Propri??t??s

D??finissons symboles pour les deux op??rations binaires primaires que \ Terres / \ cap (ET logique mis intersection /) et \ Lor / \ cup (OU logique / set syndicat), et pour le fonctionnement unaire unique \ Lnot / ~ (NOT logique / set compl??ment). Nous allons ??galement utiliser les valeurs 0 (FALSE logique / l'ensemble vide) et 1 (logique VRAI / l'univers). Les propri??t??s suivantes se appliquent ?? la fois ?? la logique bool??enne et d??finir logique (bien que seulement la notation pour la logique bool??enne est affich?? ici):

un \ lor (b \ lor c) = (a \ lor b) \ lor cun \ terres (b \ terres c) = (a \ terres b) \ c terres associativit??
un \ lor b = b \ lor una \ b = terres b \ terres une commutativit??
un \ lor (une terre \ b) = aun \ terres (un lor \ b) = a absorption
un \ lor (b \ terres c) = (a \ lor b) \ terres (un \ lor c)un \ terres (b \ lor c) = (a \ terres b) \ lor (un \ terres c) distributivit??
un \ lor \ lnot a = 1un \ terres \ lnot a = 0 compl??ments
un \ lor a = aun \ terres a = a idempotence
un \ lor 0 = uneun \ terres 1 = a boundedness
un \ lor 1 = 1un \ terres 0 = 0
\ Lnot 0 = 1\ Lnot 1 = 0 0 et 1 sont compl??ments
\ Lnot (un \ lor b) = \ lnot un \ terres \ b lnot\ Lnot (un \ terres b) = \ lnot un \ lor \ b lnot les lois de Morgan
\ Lnot \ lnot a = a involution

Les trois premi??res propri??t??s d??finissent un r??seau; les cinq premiers d??finissent un Alg??bre de Boole. Les cinq autres sont la cons??quence des cinq premiers.

Les tables de v??rit??

Pour la logique bool??enne utilisant seulement deux valeurs, 0 et 1, l'intersection et l'union de ces valeurs peut ??tre d??finie ?? l'aide tables de v??rit?? comme celles-ci:

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\ Cap 0 1
0 0 0
1 0 1
\ Cup 0 1
0 0 1
1 1 1
  • Plus de tables de v??rit?? complexes impliquant plusieurs entr??es, et d'autres op??rations bool??ennes, peuvent ??galement ??tre cr????s.
  • Tables de v??rit?? ont des applications dans la logique , l'interpr??tation de 0 comme FAUX, 1 TRUE, \ Cap comme ET, \ Cup que OR et NOT ??.

Autres notations

Math??maticiens et ing??nieurs utilisent souvent plus (+) pour OU et un signe du produit ( \ Cdot ) Pour ET. OU et ET sont quelque peu analogue ?? addition et la multiplication dans d'autres structures alg??briques , et cette notation, il est tr??s facile d'obtenir somme des produits former pour l'alg??bre normale. Ne peut pas ??tre repr??sent?? par une ligne trac??e ci-dessus l'expression ??tant neutralis??s ( \ Overline {x} ).

Les programmeurs utilisent souvent un symbole pipe (|) pour OU, une esperluette (&) pour ET, et un tilde (~) pour PAS. Dans de nombreux langages de programmation , ces symboles repr??sentent op??rations bit ?? bit. ??||??, ??&&?? Et ??!" sont utilis??s pour des variantes de ces op??rations.

Un autre utilise la notation ??rencontrer?? pour ET et "join" de OR. Toutefois, cela peut pr??ter ?? confusion, comme le terme "join" est aussi couramment utilis?? pour toute op??ration bool??enne qui combine jeux ensemble, qui comprend ?? la fois AND et OR.

L'utilisation des math??matiques de base des termes bool??ens

  • Dans le cas d'??quations simultan??es, ils sont connect??s avec une logique implicite ET:
x + y = 2
ET
x - y = 2
  • La m??me chose se applique aux in??galit??s simultan??es:
x + y <2
ET
x - y <2
  • Le sup??rieur ou signe ??gal ( \ Ge ) Et inf??rieur ou signe ??gal ( \ Le ) Peut ??tre suppos?? contenir un OU logique:
X <2
OU
X = 2
  • Le signe plus / moins ( \ H ), Comme dans le cas de la solution ?? un probl??me de racine carr??e, peut ??tre consid??r?? comme logique OU:
WIDTH = 3
OU
WIDTH = -3

Anglais utilisation de la langue des termes bool??ens

Des pr??cautions doivent ??tre prises lors de la conversion d'une phrase anglaise dans une d??claration formelle bool??enne. Beaucoup de phrases en anglais ont des significations impr??cises, par exemple "Tout ce qui brille ne est pas or??, ce qui pourrait signifier que ??rien de ce qui brille est or?? ou ??certaines choses qui scintillent sont pas de l'or".

ET et OU peut ??galement ??tre utilis?? de mani??re interchangeable en anglais, dans certains cas:

  • "Je ai toujours un parapluie quand il pleut et il neige."
  • "Je ai toujours un parapluie quand il pleut ou qu'il neige."

Parfois, les mots anglais ET et OU ont le sens oppos?? dans la logique bool??enne:

  • "Donnez-moi tous les fruits rouges et bleus?? signifie g??n??ralement ??Donne-moi toutes les baies qui sont rouges ou bleu". Un phras?? alternative pour l'anglais standard ??crit: "Donnez-moi tous les petits fruits qui sont rouges ainsi que toutes les baies qui sont bleus".

Notez ??galement que le mot OU en anglais peuvent correspondre soit logique OU ou XOR logique, selon le contexte:

  • ??Je commence ?? transpirer quand l'humidit?? ou la temp??rature est ??lev??e." (OU logique)
  • "Vous voulez la cr??me glac??e et des bonbons? Vous pouvez avoir de la cr??me glac??e ou des bonbons." (XOR logique)

La combinaison ET / OU est parfois utilis?? en anglais pour sp??cifier un OU logique, quand juste un mot ou une seule pourrait s'??tre tromp?? en ce sens logique XOR:

  • ??Je vais avoir du poulet et / ou de b??uf pour le d??ner." (OU logique). Un phras?? alternative pour la norme de l'anglais ??crit: ??Je vais avoir du poulet ou du b??uf, ou les deux, pour le d??ner."
  • L'utilisation de ??et / ou?? virgule est g??n??ralement d??favoris??e dans formelle anglais ??crit. Une telle utilisation peut introduire impr??cision critique dans les instruments juridiques, les r??sultats de recherche, et les sp??cifications des programmes informatiques ou des circuits ??lectroniques.

Un cas o?? ce est un probl??me, ce est quand les sp??cifications d'un programme d'ordinateur ou circuit ??lectronique sont fournis comme un paragraphe en anglais d??crivant leur fonction. Par exemple, l'instruction: "le programme doit v??rifier que le demandeur a v??rifi?? l'homme ou la bo??te femelle", doit ??tre pris comme un XOR, et un ch??que ajout??e pour se assurer que l'un, et un seul, bo??te est s??lectionn??. Dans d'autres cas, l'interpr??tation de l'anglais peut ??tre moins certaine, et l'auteur de la sp??cification peut ??tre consult??e afin de d??terminer leur v??ritable intention.

Applications

Conception de circuits ??lectroniques num??riques

La logique bool??enne est ??galement utilis?? pour la conception de circuits en g??nie ??lectrique ; ici 0 et 1 peuvent repr??senter les deux ??tats diff??rents d'un bit dans un circuit num??rique, g??n??ralement haute et basse tension. Les circuits sont d??crits par des expressions contenant des variables, et deux de ces expressions sont ??gales pour toutes les valeurs des variables si, et seulement si, les circuits correspondants ont le m??me comportement d'entr??e-sortie. En outre, chaque comportement possible d'entr??e-sortie peut ??tre mod??lis?? par une expression bool??enne appropri??.

De base des portes logiques tels que ET, OU et NON portes peuvent ??tre utilis??s seuls, ou en combinaison avec NAND, NOR, et portes XOR, pour contr??ler l'??lectronique num??rique et des circuits. Que ces portes sont c??bl??s en s??rie ou en parall??le des contr??les de la priorit?? des op??rations.

applications de base de donn??es

Bases de donn??es relationnelles utilisent SQL ou d'autres langues sp??cifiques ?? la base, d'ex??cuter des requ??tes, qui peut contenir la logique bool??enne. Pour cette application, chaque enregistrement dans un tableau peut ??tre consid??r?? comme un "??l??ment" d'un "set". Par exemple, dans SQL, ceux-ci Instructions SELECT sont utilis??s pour r??cup??rer des donn??es ?? partir des tables dans la base de donn??es:

    SELECT * FROM employ??s lorsque LAST_NAME = 'Smith' ET prenom = 'John';
    SELECT * FROM employ??s lorsque LAST_NAME = 'Smith' OU prenom = 'John';
    SELECT * FROM Employees WHERE NOT LAST_NAME = 'Smith';

Les parenth??ses peuvent ??tre utilis??s pour sp??cifier explicitement l'ordre dans lequel les op??rations bool??ennes se produisent, lorsque plusieurs op??rations sont pr??sents:

    SELECT * FROM Employees WHERE (PAS LAST_NAME = 'Smith') ET (FIRST_NAME = 'John' OU FIRST_NAME = 'Mary');

Plusieurs jeux de parenth??ses imbriqu??es peuvent ??galement ??tre utilis??s, si n??cessaire.

Toute op??ration bool??enne (ou op??rations) qui combine deux (ou plusieurs) des tables ensemble est appel?? une jointure, dans la terminologie de base de donn??es relationnelle.

Dans le domaine de Dossiers m??dicaux ??lectroniques, des applications logicielles utilisent la logique bool??enne pour interroger leurs bases de donn??es de patients, dans ce qui a ??t?? nomm?? La technologie de traitement de Concept.

les requ??tes des moteurs de recherche

les requ??tes des moteurs de recherche utilisent ??galement la logique bool??enne. Pour cette application, chaque page web d'Internet peut ??tre consid??r?? comme un "??l??ment" d'un "set". Les exemples suivants utilisent une syntaxe soutenu par Google .

  • Doublequotes sont utilis??s pour combiner des mots s??par??s par un espace en un seul terme de recherche.
  • Les espaces est utilis?? pour sp??cifier ET logique, car il est l'op??rateur par d??faut pour rejoindre termes de recherche:
    "Chercher terme une" "terme de recherche 2"
  • Le mot-cl?? est utilis?? pour OU OU logique:
    "Le terme de recherche 1?? ou ??Recherche terme 2"
  • Le signe moins est utilis?? pour NOT logique (et non):
    "Le terme de recherche 1" - "Chercher terme 2"


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