
Nombre binaire
Renseignements g??n??raux
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Syst??mes de num??ration par la culture |
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Syst??mes de positionnement par base |
Decimal (10) |
Ternaire ??quilibr?? |
Liste des syst??mes de num??ration |
Le syst??me de num??ration binaire, ou une base 2-syst??me num??rique, est un syst??me num??rique qui repr??sente des valeurs num??riques en utilisant deux symboles, habituellement 0 et 1 . Plus pr??cis??ment, l'habitude base- 2 est un syst??me avec une notation de position radix de 2. En raison de sa mise en ??uvre simple dans circuits ??lectroniques, le syst??me binaire est utilis?? en interne par tous les modernes ordinateurs .
Histoire
L'ancien ??crivain indien Pingala d??velopp?? des concepts math??matiques avanc??s pour d??crire prosodie, et ce faisant, a pr??sent?? la premi??re description connue d'un syst??me de num??ration binaire, peut-??tre d??s le 8??me si??cle avant JC. D'autres le placent beaucoup plus tard; R. Hall, Math??matiques de la po??sie, a "c. 200 BC??. Le syst??me de num??rotation est bas??e sur la Eye of Horus Ancien Empire syst??me de num??ration.
Un ensemble complet de huit trigrammes et 64 hexagrammes, analogues aux trois bits et 6 bits chiffres binaires, ??taient connus des anciens Chinois dans le texte classique I Ching . Ensembles de combinaisons binaires similaires ont ??galement ??t?? utilis??s dans des syst??mes de divination africains traditionnels tels que If?? ainsi que dans l'Ouest m??di??vale g??omancie.
Un arrangement binaire ordonn??e des hexagrammes du Yi King, repr??sentant la s??quence d??cimal 0-63, et une m??thode pour g??n??rer le m??me, a ??t?? d??velopp?? par le savant et philosophe chinois Shao Yong dans le 11??me si??cle. Cependant, il ne existe aucune preuve que Shao compris calcul binaire.
En 1605, Francis Bacon a discut?? d'un syst??me par lequel les lettres de l'alphabet peuvent ??tre r??duits ?? des s??quences de chiffres binaires, qui pourrait alors ??tre cod??s en variations peine visibles dans la police dans ne importe quel texte al??atoire. Il est important pour la th??orie g??n??rale de codage binaire, il a ajout?? que cette m??thode pourrait ??tre utilis??e avec des objets ?? tous: "?? condition que ces objets soient capables d'une double seule diff??rence, comme par Bells, par Trompettes, par les lumi??res et lampes de poche, par le rapport des mousquets, et des instruments de m??me nature ". (Voir Le chiffrement de Bacon.)
Le syst??me de nombre binaire moderne a ??t?? enti??rement document?? par Gottfried Leibniz au 17e si??cle dans son article Explication de l'Arithm??tique Binaire . Le syst??me de Leibniz utilis?? 0 et 1, comme le syst??me de num??ration binaire moderne.
En 1854, la Colombie- math??maticien George Boole a publi?? un document historique d??taillant un syst??me alg??brique de la logique qui deviendrait connue comme Alg??bre de Boole. Son calcul logique ??tait de devenir contribu?? ?? la conception de circuits ??lectroniques num??riques.
En 1937, Claude Shannon a produit son m??moire de ma??trise ?? MIT qui a mis Alg??bre de Boole et l'arithm??tique binaire en utilisant les relais et les interrupteurs ??lectroniques pour la premi??re fois dans l'histoire. Intitul??e Une analyse symbolique de relais et de circuits de commutation, la th??se de Shannon essentiellement fond??e pratique conception de circuits num??riques.
En Novembre 1937, George Stibitz, qui travaillait alors au Les Bell Labs, a compl??t?? un ordinateur ?? base de relais qu'il a baptis?? la "Mod??le K?? (pour ??K itchen", o?? il avait r??uni il), qui a calcul?? en utilisant addition binaire. De Bell Labs autoris?? ainsi un programme de recherche complet ?? la fin de 1938 avec Stibitz ?? la barre. Leur Nombre complexe informatique, compl??t?? 8 janvier 1940 , a ??t?? en mesure de calculer les nombres complexes . Lors d'une d??monstration ?? la Conf??rence American Mathematical Society au Dartmouth College sur 11 septembre, 1940 , Stibitz a pu envoyer le Complex Number Calculator commandes ?? distance sur des lignes t??l??phoniques par un t??l??scripteur. Ce ??tait la premi??re machine informatique d??j?? utilis?? ?? distance via une ligne t??l??phonique. Certains participants de la conf??rence qui ont ??t?? t??moins de la manifestation ??taient John Von Neumann , John Mauchly et Norbert Wiener, qui a ??crit ?? ce sujet dans ses m??moires.
Repr??sentation
Un certain nombre binaire peut ??tre repr??sent?? par ne importe quelle s??quence de les bits (chiffres binaires), qui ?? leur tour peuvent ??tre repr??sent??s par ne importe quel m??canisme capable de se trouver dans deux ??tats mutuellement exclusifs. Les s??quences suivantes de symboles pourraient tous ??tre interpr??t??s comme la m??me valeur num??rique binaire de 667:
1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 | - | - - | | - | | xoxooxxoxx ynynnyynyy


La valeur num??rique repr??sent??e dans chaque cas d??pend de la valeur affect??e ?? chaque symbole. Dans un ordinateur, les valeurs num??riques peuvent ??tre repr??sent??s par deux diff??rents tensions; sur un magn??tique disque, magn??tique polarit??s peuvent ??tre utilis??s. Un ??positif??, ??oui??, ou ??on?? ne est pas n??cessairement ??quivalente ?? la valeur num??rique d'un; il d??pend de l'architecture utilis??e.
En accord avec la repr??sentation habituelle des chiffres en utilisant les chiffres arabes , nombres binaires sont g??n??ralement ??crits en utilisant les symboles 0 et 1. Lorsque ??crite, chiffres binaires sont souvent indic??s, pr??fixe ou un suffixe pour indiquer leur base, ou racine. Les notations suivantes sont ??quivalentes:
- 100101 binaire (d??claration explicite format)
- 100101b (suffixe indiquant un format binaire)
- 100101B (suffixe indiquant un format binaire)
- bin 100 101 (un pr??fixe indiquant format binaire)
- 100 101 2 (d'un indice indiquant en base 2 (binaire) la notation)
- % 100 101 (un pr??fixe indiquant format binaire)
- 0b100101 (un pr??fixe indiquant format binaire, courante dans les langages de programmation)
Lorsque parl??, chiffres binaires sont g??n??ralement lus chiffre par chiffre, afin de les distinguer des nombres d??cimaux. Par exemple, le binaire num??rique 100 est prononc?? un z??ro z??ro, plut??t que d'une centaine, de faire sa nature binaire explicite, et ?? des fins de correction. ??tant donn?? que le chiffre binaire 100 est ??gale ?? la valeur d??cimale de quatre, il serait source de confusion, et num??riquement incorrecte, se r??f??rer ?? la r??f??rence num??rique comme cent.
Compter en binaire
Binaire | D??cimal |
---|---|
0 | 0 |
1 | 1 |
10 | 2 |
11 | 3 |
100 | 4 |
101 | 5 |
110 | 6 |
111 | 7 |
1000 | 8 |
1001 | 9 |
1010 | 10 |
Comptage en binaire est similaire ?? compter dans tout autre syst??me de num??ration. Commen??ant par un seul chiffre, compter produit par chaque symbole, dans l'ordre croissant. Comptage d??cimal utilise les symboles 0 ?? 9, tandis que binary ne utilise que les symboles 0 et 1.
Lorsque les symboles pour le premier chiffre sont ??puis??es, le chiffre imm??diatement sup??rieur (?? gauche) est incr??ment??, et le comptage recommence ?? 0. En d??cimal , comptant produit comme ceci:
- 000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (le plus ?? droite chiffre recommence, et chiffre suivant est incr??ment??)
- 0 1 0, 011, 012, ...
- ...
- 090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (plus ?? droite deux chiffres recommencer, et chiffre suivant est incr??ment??)
- 1 00, 101, 102, ...
Apr??s un chiffre atteint 9, une augmentation r??initialise ?? 0, mais provoque ??galement une augmentation du chiffre suivant ?? gauche. En binaire, de comptage est le m??me, sauf que seules les deux symboles 0 et 1 sont utilis??s. Ainsi, apr??s un chiffre atteint 1 en binaire, une augmentation r??initialise ?? 0, mais provoque ??galement une augmentation du chiffre suivant ?? gauche:
- 000, 001, (le plus ?? droite chiffres recommence, et chiffre suivant est incr??ment??)
- 0 1 0, 011, (plus ?? droite deux chiffres recommencer, et chiffre suivant est incr??ment??)
- 1 00, 101, ...
Arithm??tique binaire
Arithm??tique en binaire est un peu comme l'arithm??tique dans d'autres syst??mes de num??ration. Addition, soustraction, multiplication et division peuvent ??tre effectu??es sur des chiffres binaires.
Addition


Le plus simple op??ration arithm??tique binaire est en outre . Ajout de deux nombres binaires ?? un seul chiffre est relativement simple:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10 (report: 1)
Ajout de deux valeurs "1" produit la valeur "10" (parl?? comme "un-z??ro"), ??quivalent ?? la valeur d??cimale 2. Ceci est similaire ?? ce qui se passe en d??cimal lorsque certains nombres ?? un chiffre sont additionn??s; si le r??sultat est ??gal ou sup??rieur ?? la valeur de la base (10), le chiffre ?? gauche est incr??ment??:
- 5 + 5 = 10
- 7 + 9 = 16
Ceci est connu comme la r??alisation dans la plupart des syst??mes de num??ration. Lorsque le r??sultat d'une addition d??passe la valeur de la base, la proc??dure est de "transporter la une" vers la gauche, de l'ajouter ?? la valeur de position suivante. Porter des ??uvres de la m??me fa??on en binaire:
1 1 1 1 1 (chiffres r??alis??s) 0 1 1 0 1 + 1 1 0 1 1 ------------- = 1 0 0 1 0 0
Dans cet exemple, deux chiffres sont additionn??s: 01101 2 (13 d??cimal) et 10 111 2 (23 d??cimal). La rang??e du haut montre les bits de report utilis??s. ?? partir de la colonne de droite, 1 + 1 = 2 10. Le 1 est effectu??e vers la gauche, et le 0 est ??crit au bas de la colonne de droite. La deuxi??me colonne de la droite est ajout??: 1 + 0 + 1 = 10 2 ?? nouveau; l'une est effectu??e, et 0 est ??crit au bas. La troisi??me colonne: 1 + 1 + 1 = 11 2 Cette fois, un 1 est effectu??e, et un 1 est ??crit dans la rang??e du bas.. Proc??der de cette fa??on donne la r??ponse finale 2 100 100 (36 d??cimal).
Lorsque les ordinateurs doivent additionner deux nombres, la r??gle selon laquelle: x ^ y = x + y% 2 pour deux bits x et y permet de calculer tr??s rapide, aussi bien.
Soustraction
Soustraction fonctionne de la m??me mani??re:
- 0 - 0 = 0
- 0-1 = 1 (avec emprunt)
- 1-0 = 1
- 1 - 1 = 0
Un chiffre binaire peut ??tre soustraite de l'autre comme suit:
* * * * (Colonnes ??toil??s sont emprunt??s) 1 1 0 1 1 1 0 - 1 0 1 1 1 ---------------- = 1 0 1 0 1 1 1
Soustrayant un nombre positif est ??quivalent ?? l'ajout d'un n??gatif nombre d'??gale valeur absolue ; ordinateurs utilisent g??n??ralement la notation en compl??ment ?? deux pour repr??senter les valeurs n??gatives. Cette notation ??limine la n??cessit?? d'une op??ration distincte "soustraction". La soustraction peut se r??sumer par cette formule:
A - B = A + B + 1 pas
Pour plus de d??tails, voir le compl??ment ?? deux.
Multiplication
Multiplication en binaire est similaire ?? son homologue d??cimal. Deux nombres A et B peuvent ??tre multipli??es par produits partiels: pour chacun des chiffres B, le produit de ce chiffre dans A est calcul?? et ??crit sur une nouvelle ligne, d??cal?? vers la gauche de sorte que ses lignes de chiffres les plus ?? droite aligne avec le chiffre B qui ??tait utilis??. La somme de tous ces produits partiels donne le r??sultat final.
Comme il n'y a que deux chiffres en binaire, il n'y a que deux r??sultats possibles de chaque multiplication partielle:
- Si le chiffre B = 0, le produit partiel est aussi 0
- Si le chiffre B = 1, le produit partiel est ??gal ?? A
Par exemple, les nombres binaires 1011 et 1010 sont multipli??s comme suit:
1 0 1 1 (A) ?? 1 0 0 1 (B) --------- 0 0 0 0 ← correspond ?? un z??ro ?? B + 1 0 1 1 ← correspond ?? une une en B + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 --------------- = 1 1 0 1 1 1 0
Les nombres binaires peuvent ??galement ??tre multipli??s avec des morceaux apr??s un virgule binaire:
1 0 1,1 0 1 (A) (5,625 en d??cimal) ?? 1 1 0,0 1 (B) (6,25 en d??cimal) ------------- 1 0 1 1 0 1 ← correspond ?? une une en B + 0 0 0 0 0 0 ← correspond ?? un z??ro ?? B + 0 0 0 0 0 0 + 1 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 0 1 ----------------------- = 1 0 0 0 1 0 1 0 1.0 1 (35,15625 en d??cimal)
Voir ??galement L'algorithme de multiplication de Booth.
Division
Binary division est ?? nouveau similaire ?? son homologue d??cimales:
__________ 1 0 1 | 1 1 0 1 1
Ici, le diviseur est 101 2, ou 5 d??cimales, tandis que le dividende est 11011 2, ou 27 d??cimal. La proc??dure est la m??me que celle de d??cimal la division de long; ici, le diviseur 101 2 va dans les trois premiers chiffres 110 2 du dividende une fois, donc un "1" est ??crit sur la premi??re ligne. Ce r??sultat est multipli?? par le diviseur, et soustrait les trois premiers chiffres du dividende; le chiffre suivant ("1") est inclus pour obtenir une nouvelle s??quence ?? trois chiffres:
1 __________ 1 0 1 | 1 1 0 1 1 - 1 0 1 ----- 0 1 1
La proc??dure est ensuite r??p??t??e avec la nouvelle s??quence, continue jusqu'?? ce que les chiffres du dividende ont ??t?? ??puis??es:
1 0 1 __________ 1 0 1 | 1 1 0 1 1 - 1 0 1 ----- 0 1 1 - 0 0 0 ----- 1 1 1 - 1 0 1 ----- 1 0
Ainsi, le quotient de 11 011 divis?? par 2 101 2 101 2 est, comme indiqu?? sur la premi??re ligne, tandis que le reste, indiqu?? sur la ligne de fond, est de 10 2. En d??cimal, 27 divis?? par 5 est 5, avec un reste de 2.
Op??rations bit ?? bit
Bien que non directement li??s ?? l'interpr??tation num??rique de symboles binaires, des s??quences de bits peuvent ??tre manipul??es en utilisant Boolean des op??rateurs logiques. Quand une cha??ne de symboles binaires est manipul?? de cette mani??re, il est appel?? un op??ration binaire; les op??rateurs logiques ET, OR, et XOR peut ??tre effectu??e sur les bits correspondants de deux nombres binaires fournis en entr??e. La logique PAS op??ration peut ??tre r??alis??e sur des bits individuels dans un seul chiffre binaire fourni en entr??e. Parfois, ces op??rations peuvent ??tre utilis??s comme raccourcis arithm??tiques, et peuvent avoir d'autres avantages de calcul ainsi. Par exemple, un d??calage arithm??tique ?? gauche d'un nombre binaire est l'??quivalent d'une multiplication par (, entier positif) la puissance de deux.
Conversion vers et ?? partir d'autres syst??mes de num??ration
D??cimal
Pour convertir un entier en base 10 chiffre ?? sa base-2 (binaire) ??quivalente, le nombre est divis?? par deux, et le reste est le bit le moins significatif. Le (entier) r??sultat est ?? nouveau divis?? par deux, sa reste est le bit le plus significatif suivant. Ce processus se r??p??te jusqu'?? ce que le r??sultat de division suppl??mentaire devient nulle.
Par exemple, 10 118, en binaire, est:
Op??ration Reste 118 ?? 2 = 59 0 59 ?? 2 = 29 1 29 ?? 2 = 14 1 14 ?? 2 = 7 0 7 ?? 2 = 3 1 3 ?? 2 = 1 1 1 ?? 2 = 0 1
La lecture de la s??quence de restes de bas en haut donne le chiffre binaire .
Cette m??thode fonctionne pour la conversion d'une base quelconque, mais il existe de meilleures m??thodes de bases qui sont des puissances de deux, tels que octal et hexad??cimal donn??s ci-dessous.
Pour convertir de la base-2 ?? base 10 est l'algorithme inverse. A partir de la gauche, doubler le r??sultat et ajouter le chiffre suivant jusqu'?? ce qu'il n'y ait plus. Par exemple, pour convertir 110010101101 2 ?? d??cimales:
R??sultat Chiffres restants 0 110010101101 0 ?? 2 + 1 = 1 10010101101 1 ?? 2 + 1 = 3 0010101101 3 ?? 2 + 0 = 6 010101101 6 ?? 2 + 0 = 12 10101101 12 x 2 + 1 = 25 0101101 25 x 2 + 0 = 50 101101 50 x 2 + 1 = 101 01101 101 ?? 2 + 0 = 202 1101 202 ?? 2 + 1 = 405 101 405 ?? 2 + 1 = 811 01 811 ?? 2 + 0 = 1622 1 1622 ?? 2 + 1 = 3245
Le r??sultat est 10 3,245.
Binary: 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 D??cimal: [(2 ^ 11) * 1] + [(2 ^ 10) * 1] + [(2 ^ 9) * 0] + [(2 ^ 8) * 0] + [(2 ^ 7) * 1 ] + [(2 ^ 6) * 0] + [(2 ^ 5) * 1] + [(2 ^ 4) * 0] + [(2 ^ 3) * 1] + [(2 ^ 2) * 1 ] + [(2 ^ 1) * 0] + [(2 ^ 0) * 1] = 3245
Les parties fractionnaires d'un certain nombre sont convertis avec des m??thodes similaires. Ils sont de nouveau fond??es sur l'??quivalence de d??calage avec doubler ou r??duire de moiti??.
Dans un nombre binaire fractionn??e comme ,11010110101 2, le premier chiffre est , Le second
, Etc. Donc, si il ya un 1 dans la premi??re place apr??s la virgule, le nombre est au moins
, Et vice versa. Double de ce nombre est au moins 1. Cela sugg??re l'algorithme: ?? plusieurs reprises le double du nombre ?? convertir, fiche si le r??sultat est au moins 1, puis jeter la partie enti??re.
Par exemple, 10, en binaire, est:
Conversion R??sultat 0. 0.0 0,01 0,010 0,0101
Ainsi, en r??p??tant la fraction d??cimale 0. 3 ... est ??quivalente ?? la fraction binaire 0. r??p??tant 01 ....
Ou par exemple, 10 0,1, en binaire, est:
Conversion R??sultat 0,1 0. 0,1 x 2 = 0,2 <1 0.0 0,2 x 2 = 0,4 <1 0,00 0,4 x 2 = 0,8 <1 0,000 0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0,0001 0,6 x 2 = 1,2 ≥ 1 0,00011 0,2 x 2 = 0,4 <1 0.000110 0,4 x 2 = 0,8 <1 0.0001100 0,8 x 2 = 1,6 ≥ 1 0.00011001 0,6 x 2 = 1,2 ≥ 1 0,000110011 0,2 x 2 = 0,4 <1 0,0001100110
Ce est aussi une fraction binaire r??p??titive 0,00011 ... 0011. Il peut venir comme une surprise que de terminaison fractions d??cimales peuvent avoir expansions r??p??tition en binaire. Ce est pour cette raison que beaucoup sont surpris de d??couvrir que 0,1 + 0,1 + ..., (10 ajouts) diff??re de 1 ?? virgule flottante. En fait, les seules fractions binaires avec des extensions de terminaison sont de la forme d'un nombre entier, divis?? par une puissance de 2, ce qui ne est pas 10/01.
La conversion finale est de binaire en d??cimal fractions. La seule difficult?? se pose avec des fractions de r??p??tition, mais sinon, la m??thode est de faire passer la fraction d'un nombre entier, le convertir comme ci-dessus, puis diviser par le pouvoir appropri?? de deux dans la base d??cimale. Par exemple:
= 1100 .1011100 11100 ... = 1100101110 0,01110 01110 ... = 11001 0,01110 01110 ... = 1100010101 = (789/62) 10
Une autre fa??on de conversion de binaire en d??cimal, souvent plus rapide pour une personne famili??re avec hexad??cimale , est de le faire indirectement premi??re conversion ( en binaire) en (
en hexad??cimal), puis en convertissant (
en hexad??cimal) dans (
en d??cimal).
Pour un tr??s grand nombre, ces m??thodes simples sont inefficaces parce qu'ils remplissent un grand nombre de multiplications ou des divisions, o?? l'un des op??randes est tr??s grande. Un algorithme simple diviser pour r??gner est asymptotiquement plus efficace: ??tant donn?? un nombre binaire, nous divisons par 10 k, o?? k est choisi de mani??re que le quotient ??quivaut ?? peu pr??s le reste, puis chacune de ces pi??ces est converti en d??cimal et les deux sommes concat??n??e. Compte tenu d'un nombre d??cimal, nous divisons en deux morceaux d'environ la m??me taille, convertir chaque binaire, puis multiplier la premi??re pi??ce de 10 k et ajoutez-les, o?? k est le nombre de chiffres dans le moins significatif (le plus ?? droite) pi??ce .
Hexad??cimal
Peut ??tre converti en binaire et ?? partir hexad??cimal un peu plus facilement. Cela est d?? au fait que le base du syst??me hexad??cimal (16) est une puissance de la base du syst??me binaire (2). Plus pr??cis??ment, 16 = 2 4, donc il prend quatre chiffres de binaire pour repr??senter un chiffre d'hexad??cimal.
Le tableau suivant montre chaque chiffre hexad??cimal avec la valeur d??cimale ??quivalente et la s??quence binaire ?? quatre chiffres:
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Pour convertir un nombre hexad??cimal en son ??quivalent binaire, remplacer simplement les chiffres binaires correspondant:
- 3A 0011 1010 16 = 2
- E7 = 16 1110 0111 2
Pour convertir un nombre binaire en son ??quivalent hexad??cimal, le diviser en groupes de quatre bits. Si le nombre de bits ne est pas un multiple de quatre, il suffit d'ins??rer les bits suppl??mentaires 0 ?? gauche (appel??e padding). Par exemple:
- 01010010 2 0101 0010 = group?? avec rembourrage = 52 16
- 11011101 2 1101 1101 = group??s DD = 16
Pour convertir un nombre hexad??cimal en son ??quivalent d??cimale, multiplier l'??quivalent d??cimal de chaque chiffre hexad??cimal par la puissance correspondante de 16 et ajoutez les valeurs qui en r??sultent:
- C0E7 16 = (12 x 16 3) + (2 x 16 0) + (14 ?? 16 1) + (7 ?? 16 0) = (12 x 4,096) + (0 x 256) + (14 x 16) + ( 7 ?? 1) = 49 383 10
Octal
Binaire est facilement converti en le octal syst??me de num??ration, depuis octal utilise une base de 8, qui est un puissance de deux (?? savoir, 2 3, de sorte qu'il prend exactement trois chiffres binaires pour repr??senter un chiffre octal). La correspondance entre octal et les chiffres binaires est le m??me que pour les huit premiers chiffres du hexad??cimale dans le tableau ci-dessus. Binaire 000 est ??quivalent au chiffre octal 0, binaire 111 est ??quivalent ?? octal 7, et ainsi de suite.
Octal Binaire 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111
Conversion de octal au produit binaires de la m??me fa??on qu'il le fait pour hexad??cimal :
- 65 8 2 101 110 =
- 17 8 2 111 001 =
Et de binaire en octal:
- 2 = 101 100 101 100 2 54 8 = regroup??s
- 10 011 2 010 011 2 = group?? avec rembourrage = 23 8
Et ?? partir de octal en d??cimal:
- 65 8 = (6 x 8 1) + (5 x 8 0) = (6 x 8) + (5 x 1) = 53 10
- 127 8 = (1 ?? 8 2) + (2 x 8 1) + (7 ?? 8 0) = (1 x 64) + (2 x 8) + (7 x 1) = 87 10
Repr??sentant des nombres r??els
Non entiers peuvent ??tre repr??sent??s en utilisant des puissances n??gatives, qui sont fix??s hors des autres chiffres au moyen d'un point de base (appel?? virgule dans le syst??me d??cimal). Par exemple, le nombre binaire 11,01 2 signifie donc:
1 ?? 2 1 (1 x 2 = 2) plus 1 ?? 2 0 (1 x 1 = 1) plus 0 ?? 2 -1 (0 x ?? = 0) plus 1 ?? 2 -2 (1 x ?? = 0,25)
Pour un total de 3,25 d??cimal.
Tous nombres rationnels dyadiques avoir un chiffre-la repr??sentation binaire binaire terminaison a un nombre fini de termes apr??s le point de base. Autres nombres rationnels ont repr??sentation binaire, mais au lieu de terminaison, ils se reproduisent, avec une s??quence finie de chiffres r??p??ter ind??finiment. Par exemple
=
= 0.01010101 01 2 ...
=
= 0.10110100 10110100 10110100 2 ...
Le ph??nom??ne que la repr??sentation binaire de toute rationnelle est soit terminaison ou p??riodique, se produit ??galement dans d'autres syst??mes de num??ration ?? base radix. Voir, par exemple, l'explication en d??cimal . Une autre similarit?? est l'existence de repr??sentations alternatives pour ne importe quelle repr??sentation de terminaison, en se fondant sur le fait que 0.111111 ... est la somme de la s??rie g??om??trique 2 -1 -2 + 2 + 2 + -3 ... qui est une.
Chiffres binaires qui ne terminent ni reviennent repr??senter des nombres irrationnels . Par exemple,
- 0,10100100010000100000100 .... a un mod??le, mais ce ne est pas un motif r??current de longueur fixe, de sorte que le nombre est irrationnel
- 1,0110101000001001111001100110011111110 ... est la repr??sentation binaire de
, La racine carr??e de 2, un autre irrationnelle. Il n'a pas de tendance perceptible, m??me si une preuve que
est irrationnel n??cessite plus que cela. Voir nombre irrationnel .