
Moment angulaire
Renseignements g??n??raux
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Un mouvement de rotation Mouvement circulaire
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En physique , le moment cin??tique d'une particule sur l'origine est une grandeur vectorielle ??gale ?? la masse de la particule multipli??e par le produit vectoriel du vecteur de position de la particule avec son vecteur vitesse. Le moment angulaire d'un syst??me de particules est la somme de celle des particules en son sein.
Le moment cin??tique est un concept important ?? la fois dans la physique et de l'ing??nierie, de nombreuses applications. Le moment cin??tique est importante en physique car ce est un quantit?? conserv??e: moment angulaire d'un syst??me reste constante ?? moins qu'une externe couple agit sur elle. Une sym??trie de rotation de l'espace est li??e ?? la conservation du moment cin??tique, par exemple, de Th??or??me de Noether. La conservation du moment angulaire explique beaucoup de ph??nom??nes de la nature.
Moment angulaire en m??canique classique

D??finition
Le moment cin??tique d'une particule sur une origine donn??e est d??fini comme:
o??:
est le moment cin??tique de la particule,
est le vecteur de position de la particule par rapport ?? l'origine,
est la quantit?? de mouvement de la particule, et
est le vecteur produit de croix .
Comme on le voit ?? partir de la d??finition, la unit??s SI d??riv??es de moment angulaire sont newton m??tre seconde (N ?? m ?? s ou kg ?? m 2 s -1). En raison du produit vectoriel, L est un pseudovector perpendiculaire ?? la fois le vecteur r radiale et le vecteur de mouvement p et il est attribu?? un signe par le R??gle de la main droite.
Le moment cin??tique d'un ensemble de particules
Si un syst??me est constitu?? de plusieurs particules, le moment cin??tique total sur l'origine peut ??tre obtenue en ajoutant (ou d'int??gration) tous les moments cin??tiques des particules constitutives. Moment angulaire peut aussi ??tre calcul??e en multipliant le carr?? du d??placement r, la masse de la particule et de la vitesse angulaire .
Moment angulaire dans le centre de masse
Il est tr??s souvent commode de consid??rer le moment cin??tique d'une collection de particules au sujet de leur centre de gravit?? , ??tant donn?? que cela simplifie consid??rablement les math??matiques. Le moment cin??tique d'un ensemble de particules est la somme de la quantit?? de mouvement angulaire de chaque particule:
o?? est la distance de la particule i du point de r??f??rence,
est sa masse, et
est sa vitesse. Le centre de gravit?? est d??fini par:
o?? la masse totale de toutes les particules est donn??e par
Il se ensuit que la vitesse du centre de masse est
Si nous d??finissons que le d??placement de la particule i du centre de masse, et
que la vitesse de la particule i par rapport au centre de masse, puis nous avons
et
et aussi
et
de sorte que le moment cin??tique total est
Le premier terme est que le moment angulaire du centre de masse. Ce est le m??me mouvement angulaire l'on obtiendrait se il y avait juste une particule de masse M se d??pla??ant ?? la vitesse V situ??e au centre de la masse. Le deuxi??me terme est la vitesse angulaire qui est le r??sultat des particules qui se d??placent par rapport ?? leur centre de masse. Ce second terme peut ??tre encore simplifi?? si les particules forment une corps rigide, auquel cas un rotation appara??t. Un r??sultat analogue est obtenu pour une distribution continue de la mati??re.
Axe de rotation fixe
Pour de nombreuses applications o?? l'on est seulement pr??occup?? par rotation autour d'un axe, il suffit de jeter la nature pseudovector du moment angulaire, et de le traiter comme un scalaire o?? il est positif quand il correspond ?? un compteur-horaire des rotations, et dans le sens n??gatif. Pour ce faire, il suffit de prendre la d??finition du produit croix et jeter le vecteur d'unit??, de sorte que le moment angulaire devient:
o?? θ r, p est l'angle entre r et r p, mesur??e ?? partir de p; une distinction importante parce que sans elle, le signe de la croix produit serait vide de sens. De ce qui pr??c??de, il est possible de reformuler la d??finition d'une des op??rations suivantes:
o?? est appel?? le distance de bras levier pour p.
La meilleure fa??on de conceptualiser ce est de consid??rer la distance de bras de levier ?? la distance de l'origine ?? la ligne qui se d??place le long p. Avec cette d??finition, il est n??cessaire de tenir compte de la direction de p (sens horaire pointue ou anti-horaire) pour d??terminer le signe de L. ??quivalente:
o?? est la composante de p qui est perpendiculaire ?? r. Comme ci-dessus, le signe est d??cid?? sur la base du sens de rotation.
Pour un objet avec une masse fixe qui tourne autour d'un axe de sym??trie fixe, le moment angulaire est exprim?? par le produit de la moment d'inertie de l'objet et son vecteur vitesse angulaire:
o??
est le moment d'inertie de l'objet (en g??n??ral, un quantit?? de tenseur)
est la vitesse angulaire .
Comme l' ??nergie cin??tique K d'un corps rotatif massif est donn??e par
elle est proportionnelle au carr?? de la vitesse angulaire.
Conservation du moment cin??tique


Dans un syst??me ferm?? moment angulaire est constante. Cette loi de conservation suit math??matiquement de la sym??trie directionnelle continue de l'espace (pas de direction dans l'espace est diff??rente de toute autre direction). Voir Th??or??me de Noether.
La d??riv??e dans le temps du moment angulaire est appel?? couple:
Donc exigeant que le syst??me soit "ferm??" ici est math??matiquement ??quivalente ?? z??ro couple agissant externe sur le syst??me:
o?? est tout couple appliqu?? au syst??me de particules.
En orbite, le moment angulaire est r??parti entre la rotation de la plan??te elle-m??me et le moment cin??tique de son orbite:
;
Si une plan??te se trouve ?? tourner plus lentement que pr??vu, alors les astronomes soup??onnent que la plan??te est accompagn?? par un satellite, parce que le moment cin??tique total est partag?? entre la plan??te et son satellite afin d'??tre conserv??.
La conservation du moment angulaire est largement utilis?? dans l'analyse de ce qu'on appelle le mouvement de force centrale. Si la force nette sur un corps est dirig??e toujours vers un point fixe, le centre, alors il n'y a pas de couple sur le corps par rapport au centre, et de sorte que le moment angulaire du corps autour du centre est constante. Moment angulaire constante est extr??mement utile lorsqu'il se agit de la orbites des plan??tes et satellites, ainsi que l'analyse de la Mod??le de Bohr de l' atome .
La conservation du moment angulaire explique l'acc??l??ration angulaire d'un patineur sur glace comme elle apporte ses bras et ses jambes ?? proximit?? de l'axe de rotation vertical. En apportant une partie de la masse de son corps pr??s de l'axe, elle diminue le moment d'inertie de son corps. Parce que le moment angulaire est constante en l'absence de couples ext??rieurs, la vitesse angulaire (vitesse de rotation) du patineur doit augmenter.
Les m??mes r??sultats ph??nom??ne de rotation extr??mement rapide des ??toiles compactes (comme les naines blanches , ??toiles ?? neutrons et les trous noirs ) quand ils sont form??s sur beaucoup plus grandes et plus lents rotatifs ??toiles (en effet, la diminution de la taille de l'objet 10 4 fois des r??sultats sur l'augmentation de sa vitesse angulaire par le facteur 10 8).
La conservation du moment angulaire dans les r??sultats de syst??me Terre-Lune dans le transfert de moment angulaire de la Terre ?? la Lune (en raison de couple de mar??e la Lune exerce sur la Terre). Cette entra??ne ?? son tour le ralentissement du taux de la Terre de rotation (?? environ 42 ns / jour), et augmentation progressive du rayon de l'orbite de la Lune (?? ~ 4,5 cm / taux de l'ann??e).
Moment angulaire en m??canique relativiste
Dans moderne (fin du 20e si??cle) la physique th??orique, le moment angulaire est d??crit en utilisant un formalisme diff??rent. Sous ce formalisme, le moment angulaire est le 2-forme Responsable Noether associ?? ?? invariance par rotation (En cons??quence, le moment angulaire ne est pas conserv?? pour espaces-temps courbes g??n??rales, ?? moins qu'il ne arrive ?? ??tre asymptotiquement invariant par rotation). Pour un syst??me de particules ponctuelles sans moment cin??tique intrins??que, il se av??re ??tre
(Ici, le produit de coin est utilis??.).
Le moment cin??tique en m??canique quantique
En m??canique quantique , le moment angulaire est quantifi??e - autrement dit, il ne peut pas varier de fa??on continue, mais seulement dans " pas de g??ant "entre certaines valeurs autoris??es. Le moment cin??tique d'une particule subatomique, en raison de son mouvement ?? travers l'espace, est toujours un multiple entier de ("H-bar," connu sous le nom Constante de Dirac), d??finie comme La constante de Planck divis??e par 2π. En outre, les exp??riences montrent que la plupart des particules subatomiques ont, une dynamique permanente int??gr?? angulaire, qui ne est pas en raison de leur mouvement ?? travers l'espace. Cette moment angulaire de spin vient en unit??s de
. Par exemple, un ??lectron debout au repos a un moment angulaire
.
D??finition de base
La d??finition classique de moment cin??tique d??pend de six chiffres:
,
,
,
,
Et
. Traduire cela en termes de m??canique quantique, le Principe d'incertitude de Heisenberg nous dit que ce ne est pas possible pour chacun de ces six num??ros ?? mesurer simultan??ment avec une pr??cision arbitraire. Par cons??quent, il ya des limites ?? ce qui peut ??tre connu ou mesur?? autour de moment cin??tique d'une particule. Il se av??re que le meilleur que l'on peut faire est de mesurer simultan??ment l'ampleur de vecteur de moment cin??tique et sa composante le long d'un axe.
Math??matiquement, le moment angulaire en m??canique quantique est d??fini comme dynamique - non pas comme une quantit??, mais comme un op??rateur sur la fonction d'onde:
o?? r et p sont les op??rateurs position et impulsion respectivement. En particulier, pour une seule particule sans charge ??lectrique et aucune essorage, le Moment cin??tique peut ??tre ??crit dans la base de position
o?? est l'op??rateur vecteur diff??rentiel " Del "(??galement appel??" Nabla "). Cet op??rateur de moment angulaire orbital est la forme la plus couramment rencontr?? de l'op??rateur de moment angulaire, mais pas le seul. Il r??pond ?? la suivante canoniques relations de commutation:
,
o?? ε est la lmn (antisym??trique) Symbole de Levi-Civita. De l?? d??coule
Depuis,
il se ensuit, par exemple,
Ajout de moments angulaires quantifi??
Compte tenu d'un moment cin??tique total quantifi?? qui est la somme de deux moments cin??tiques quantifi??s individuelle
et
,
la nombre quantique associ??e ?? son amplitude peut aller de
??
par pas entiers dont
et
sont des nombres quantiques correspondant aux amplitudes des moments cin??tiques individu.
Moment angulaire en tant que g??n??rateur de rotations
Si est l'angle autour d'un axe sp??cifique, par exemple l'angle azimutal autour de l'axe z, alors la quantit?? de mouvement angulaire le long de cet axe est le G??n??rateur de rotations autour de cet axe:
Le fonctions propres de L z sont donc Et depuis
a une p??riode de
, L m doit ??tre un entier.
Pour une particule avec un spin S, cela prend en compte que la d??pendance angulaire de l'emplacement de la particule, par exemple son orbite dans un atome. Il est par cons??quent connu sous le nom moment angulaire orbital. Cependant, lorsque l'on fait tourner le syst??me, on change aussi la essorage. Par cons??quent, la moment cin??tique total, qui est la pleine G??n??rateur de rotations, est ??tre un moment angulaire, J satisfait les m??mes relations de commutation que L, comme expliqu?? ci-dessous volont??. ?? savoir
?? partir duquel suit
Agir avec J sur la fonction d'onde d'une particule g??n??re une rotation:
est le fonction d'onde
entra??n?? en rotation autour de l'axe z d'un angle
. Pour une rotation d'un angle infinitesmal
, La rotation fonction d'onde est
. Ceci est ??galement vrai pour les rotations autour d'un axe quelconque.
Dans une particule charg??e l'??lan obtient une contribution du champ ??lectromagn??tique et le moment cin??tique L et J changements en cons??quence.
Si le Hamiltonien est invariant par rotation, comme dans les probl??mes ?? sym??trie sph??rique, puis en fonction de Th??or??me de Noether, il commute avec la moment cin??tique total. Ainsi, le moment cin??tique total est un quantit?? conserv??e
Depuis le moment angulaire est le g??n??rateur de rotations, les relations de commutation suivent les relations de commutation des g??n??rateurs de la tridimensionnel groupe de rotation SO (3). Ce est pourquoi J satisfait toujours ces relations de commutation. En d dimensions, le moment angulaire satisfera les m??mes relations de commutation que les g??n??rateurs du groupe de rotation de dimension d SO (d).
SO (3) a le m??me Alg??bre de Lie (les m??mes relations de commutation) que SU (2). G??n??rateurs de SU (2) peut avoir des demi-entiers valeurs propres , et ne peut donc m . En effet pour fermions la spin S et moment cin??tique total J sont demi-entier. En fait, ce est le cas le plus g??n??ral: j et m
sont des nombres entiers ou demi-entiers.
Techniquement, ce est parce que la rev??tement universel de SO (3) est isomorphe SU (2), et le repr??sentations de cette derni??re sont enti??rement connue. J i SPAN la Alg??bre de Lie et J 2 est le Casimir invariant, et il peut ??tre d??montr?? que si les valeurs propres de J z et J 2 sont m j et j (j + 1) alors m j et j sont tous deux des multiples entiers de la moiti??. j est non-n??gatif et m j prend des valeurs entre -j et j.
Rapport ?? harmoniques sph??riques
Op??rateurs de moment angulaire se produisent g??n??ralement lorsque la r??solution d'un probl??me avec une sym??trie sph??rique en coordonn??es sph??riques . Puis, le moment angulaire dans la repr??sentation de l'espace est:
Lors de la r??solution de trouver ??tats propres de cet op??rateur, nous obtenons ce qui suit
o??
sont les harmoniques sph??riques.
Moment angulaire en ??lectrodynamique
En d??crivant le mouvement d'une particule charg??e en pr??sence d'un champ ??lectromagn??tique, le ??moment cin??tique" ne est pas p invariant de jauge. En cons??quence, le moment cin??tique canonique invariant de jauge est pas non plus. Au lieu de cela, l'??lan qui est physique, la soi-disant dynamique canonique, est
o?? est la charge ??lectrique , c la vitesse de la lumi??re et de l'Un potentiel vecteur. Ainsi, par exemple, la Hamiltonien d'une particule charg??e de masse m dans un champ ??lectromagn??tique est alors
o?? est le potentiel scalaire. Ce est le hamiltonien qui donne le Droit de la force de Lorentz. La dynamique invariante de jauge angulaire, ou ??moment angulaire cin??tique?? est donn??e par
L'interaction avec la m??canique quantique est discut?? dans l'article sur relations de commutation canoniques.