Angle

Saviez-vous ...

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??∠", le symbole d'angle.

Dans la g??om??trie et la trigonom??trie , un angle (au complet, angle plan) est la figure form??e par deux rayons partageant une commune point final, appel?? sommet de l'angle. La valeur de l'angle est le "degr?? de rotation" qui s??pare les deux rayons, et peut ??tre mesur??e en consid??rant la longueur de l'arc de cercle balay?? lorsque l'un des rayons est tourn?? autour du sommet pour co??ncider avec l'autre (voir "angles de mesure" , ci-dessous). Lorsqu'il n'y a pas de possibilit?? de confusion, le terme "angle" est utilis?? de mani??re interchangeable ?? la fois pour la configuration g??om??trique de lui-m??me et son ampleur angulaire (qui est simplement une valeur num??rique).

L'angle de mot vient du latin mot angulus, ce qui signifie "un coin". Le mot angulus est un diminutif, dont la forme primitive, angus, ne se produit pas en latin. Mots apparent??s sont la angere latine, signifiant "pour compresser dans un virage" ou "d'??trangler", et le grec (ἀγκύλος ankylοs), qui signifie ??tordu, courb??"; les deux sont connect??s ?? la TARTE racine * ank-, qui signifie ??plier?? ou ??arc??.

Histoire

Euclide d??finit un angle d'inclinaison plan que l'une ?? l'autre, dans un plan, de deux lignes qui correspondent ?? l'autre, et ne se trouvent pas droit par rapport ?? l'autre. Selon Proclus un angle doit ??tre une qualit?? ou une quantit??, ou une relation. Le premier concept a ??t?? utilis?? par Eud??me, qui consid??rait un angle comme un ??cart par rapport ?? une ligne droite ; la seconde par Carpe d'Antioche, qui le consid??rait comme l'intervalle ou l'espace entre les lignes qui se croisent; Euclid a adopt?? le troisi??me concept, bien que ses d??finitions d'angles droits, aigus et obtus sont certainement quantitative.

Mesure des angles

L'angle θ est le quotient de r et s.

Afin de mesurer un angle θ de, un arc de cercle centr?? au sommet de l'angle est trac??, par exemple avec une paire de compas. La longueur de l'arc s est ensuite divis?? par le rayon du cercle r, et ??ventuellement multipli?? par une constante k mise ?? l'??chelle (qui d??pend des unit??s de mesure qui sont choisis):

$\ Theta = \ frac {s} {r} (k)$

La valeur de θ ainsi d??fini est ind??pendant de la taille du cercle: si la longueur du rayon est modifi??, la modification de longueur d'arc dans la m??me proportion, de sorte que le rapport s / r ne est pas modifi??e.

Dans de nombreuses situations g??om??triques, les angles qui diff??rent par un multiple exact d'un cercle complet sont effectivement ??quivalent (il ne fait aucune diff??rence combien de fois une ligne est tourn?? d'un cercle complet, car il finit toujours ?? la m??me place). Cependant, ce ne est pas toujours le cas. Par exemple, lors du tra??age d'une courbe telle qu'une spirale en utilisant les coordonn??es polaires , un tour complet suppl??mentaire donne lieu ?? un point de la courbe tout ?? fait diff??rente.

Unit??s

Les angles sont consid??r??es comme sans dimension, ??tant donn?? qu'ils sont d??finis comme le rapport des longueurs. Il existe cependant, plusieurs unit??s utilis??es pour mesurer des angles, en fonction du choix de la constante k dans la formule ci-dessus. Parmi ces unit??s, trait??s plus en d??tail ci-dessous, le degr?? et le radian sont de loin le plus fr??quent.

?? l'exception notable de la radian, la plupart des unit??s de mesure angulaire sont d??finis tels que l'un cercle complet (ce est ?? dire une r??volution) est ??gal ?? n unit??s, pour certains nombre entier n. Par exemple, dans le cas de degr??s,

Un cercle complet de n unit??s est obtenue par la mise en

dans la formule ci-dessus. (Preuve. La formule ci-dessus peut ??tre r????crite comme

Un cercle complet, pour lequel

unit??s, correspond ?? un arc de longueur ??gale au cercle de circonf??rence, qui est r 2π, afin

. Substitution n pour θ et 2π r pour s dans la formule, les r??sultats dans

)

Le degr?? , not?? par un petit cercle exposant (??) est 1/360 d'un cercle complet, donc un cercle complet est de 360 ??. Un avantage de cette ancienne sous-unit?? sexag??simal est que de nombreux angles communs en g??om??trie simple sont mesur??es comme un nombre entier de degr??s. (Le probl??me d'avoir tous les angles "int??ressants" mesur??es en nombres entiers est bien s??r insoluble.) Les fractions d'un degr?? peuvent ??tre ??crits en notation d??cimale normale (degr??s par exemple 3,5 ?? pour trois ans et demi), mais les sous-unit??s sexag??simaux suivants de la ??degr??-minute-seconde" syst??me sont ??galement en cours d'utilisation, en particulier pour coordonn??es g??ographiques et ?? l'astronomie et la balistique:
- Le minute d'arc (ou MOA, minute d'arc, ou tout simplement minute) est de 1/60 de degr??. Il est repr??sent?? par un seul prime ('). Par exemple, 3 ?? 30 'est ??gal ?? 3 + 30/60 degr??s, ou 3,5 degr??s. Un format m??lang?? avec des fractions d??cimales est ??galement parfois utilis??, par exemple 3 ?? 5,72 '= 3 + 5,72 / 60 degr??s. Un mile nautique a ??t?? historiquement d??fini comme une minute d'arc le long d'une grand cercle de la Terre.
- Le seconde d'arc (ou seconde d'arc, ou tout simplement secondes) est de 1/60 d'une minute d'arc et 1/3600 de degr??. Elle est not??e par une double prime ("). Par exemple, 3 ?? 7 '30 "est ??gal ?? 3 + 7/60 + 30/3600 degr??s, ou 3,125 degr??s.

θ = s / r rad = 1 rad.

Le radian est l'angle sous-tendu par un arc de cercle qui a la m??me longueur que le rayon (k = 1 dans la formule donn??e plus haut) du cercle. Un cercle complet est 2 π radians, et un radian est de 180 / π degr??s, soit environ 57,2958 degr??s. Le radian est abr??g?? rad, si ce symbole est souvent omis dans les textes math??matiques, radians o?? sont suppos??s sauf indication contraire. Le radian est utilis?? dans pratiquement tous les travaux au-del?? de la g??om??trie pratique math??matique simple, en raison, par exemple, ?? l'agr??able et propri??t??s ??naturelles?? que les fonctions trigonom??triques se affichent lorsque leurs arguments sont en radians. Le radian est l'(d??riv??) unit?? de mesure angulaire dans le Syst??me SI.

Le mil est approximativement ??gale ?? un milliradian . Il existe plusieurs d??finitions.

Le cercle complet (ou la r??volution, rotation, pleine tourner ou ?? v??lo) est une r??volution compl??te. La r??volution et la rotation sont abr??g??s rev et la pourriture, respectivement, mais juste dans r RPM (tours par minute). Une pleine rad cercle = 360 ?? = 2 π = 400 = gon 4 angles droits.

Le angle droit est un quart d'un cercle complet. Ce est l'unit?? utilis??e dans les El??ments d'Euclide . 1 angle droit = 90 ?? = π / 2 rad = 100 gon.

L'angle de la triangle ??quilat??ral est 1/6 d'un cercle complet. Ce est l'unit?? utilis??e par les Babyloniens , et est particuli??rement facile ?? construire ?? la r??gle et compas. Le degr??, minute d'arc et secondes d'arc sont sexag??simaux sous-unit??s de l'unit?? babylonienne. 1 unit?? babylonienne = 60 ?? = π / 3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Le grad, ??galement appel??e ann??e, en grades ou gon est 1/400 d'un cercle complet, donc un cercle complet est 400 dipl??m??s et une angle droit est 100 dipl??m??s. Ce est une sous-unit?? d??cimale de l'angle droit. Un km a ??t?? historiquement d??fini comme un centi-gon de l'arc le long d'un grand cercle de la Terre, de sorte que le kilom??tre est l'analogue d??cimal ?? sexag??simal mile nautique. Le gon est utilis?? principalement dans triangulation.

Le point, utilis?? dans Navigation, est 1/32 d'un cercle complet. Ce est une sous-unit?? binaire du cercle complet. Nommer tous les 32 points sur une Compass Rose est appel?? " boxe la boussole ". 1 point = 1/8 d'un angle droit = 11,25 ?? = 12,5 gon.

Le astronomique angle horaire est 1/24 d'un cercle complet. Les sous-unit??s sexag??simaux ont ??t?? appel??s minute de temps et seconde de temps (m??me se ils sont des unit??s d'angle). 1 heure = 15 ?? = π / 12 rad = 1/6 angle droit ≈ 16,667 gon.

Le degr?? binaire, aussi connu comme le radian binaire (ou brad), est 1/256 d'un cercle complet. Le degr?? binaire est utilis?? dans le calcul de telle sorte qu'un angle peut ??tre repr??sent?? de mani??re efficace en une seule octet.

Le inclinaison d'une pente, ou un d??grad??, ne est pas vraiment une mesure d'angle (sauf se il est explicitement donn??e en degr??s, comme ce est parfois le cas). Au contraire, il est ??gal ?? la tangente de l'angle, ou parfois le sinuso??dale. Gradients sont souvent exprim??s en pourcentage. Pour les petites valeurs habituelles rencontr??es (moins de 5%), la pente d'une inclinaison est d'environ la mesure d'un angle en radians.

Les angles positifs et n??gatifs

Une convention universellement adopt??e par ??crit math??matique est que les angles donn??s sont un signe angles positifs si elle est mesur??e dans le sens antihoraire, et les angles n??gatifs si mesur??s aiguilles d'une montre, ?? partir d'une ligne donn??e. Si aucune ligne ne est sp??cifi??, il peut ??tre suppos?? ??tre l' axe x dans le plan cart??sien . Dans de nombreuses situations g??om??triques un angle n??gatif de - θ est effectivement ??quivalent ?? un angle positif de ??une rotation compl??te moins θ". Par exemple, une rotation en sens horaire de 45 ?? (ce est un angle de -45 ??) est souvent efficace ??quivaut ?? une rotation anti-horaire de 360 ?? - 45 ?? (ce est un angle de 315 ??).

Dans g??om??trie tridimensionnelle, "vers la droite" et ont "antihoraire" non sens absolu, de sorte que la direction des angles positifs et n??gatifs doit ??tre d??fini par rapport ?? une r??f??rence, qui est typiquement un vecteur passant par le sommet de l'angle et perpendiculaire au plan dans lequel les rayons de l'angle mensonge.

En Navigation, roulements sont mesur??es ?? partir du Nord, de plus en plus dans le sens horaire, donc un gisement de 45 degr??s est nord-est. Roulements n??gatives ne sont pas utilis??s pour la navigation, donc au nord-ouest est de 315 degr??s.

Approximations

1 ?? est d'environ la largeur d'un petit doigt ?? bout de bras
10 ?? est approximativement la largeur d'un poing ferm?? ?? bout de bras.
20 ?? est d'environ la largeur d'un empan ?? bout de bras.

Identifier angles

Dans les expressions math??matiques, il est courant d'utiliser des lettres grecques (α, β, γ, θ, φ, ...) pour servir les variables debout pour la taille de certain angle. (Pour ??viter toute confusion avec l'autre sens, le symbole π ne est pas utilis?? ?? cette fin.) Minuscules caract??res latins (a, b, c, ...) sont ??galement utilis??s. Voir les chiffres dans cet article pour des exemples.

En figures g??om??triques, les angles peuvent ??galement ??tre identifi??s par les ??tiquettes appos??es sur les trois points qui les d??finissent. Par exemple, l'angle au sommet A d??limit??e par les rayons AB et AC (ce est ?? dire les lignes du point A au point B et le point A au point C) est not??e angle BAC ou BAC. Parfois, lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, l'angle peut ??tre d??sign?? simplement par son sommet ("angle A").

Potentiellement, un angle not??, par exemple, l'angle BAC pourrait se r??f??rer ?? l'un des quatre angles: l'angle horaire de B ?? C, l'angle anti-horaire de B ?? C, l'angle horaire de C ?? B, ou l'angle de sens inverse de C ?? B , o?? la direction dans laquelle l'angle est mesur?? d??termine son signe (voir angles positifs et n??gatifs ). Cependant, dans de nombreuses situations g??om??triques, il est ??vident ?? partir du contexte que l'angle positif inf??rieur ou ??gal ?? 180 ?? degr??s est destin??, et se pose aucune ambigu??t??. Sinon, une convention peut ??tre adopt??e de telle sorte que l'angle BAC se r??f??re toujours ?? l'angle dans le sens antihoraire (positif) de B ?? C, et ∠CAB ?? l'angle dans le sens antihoraire (positif) de C ?? B.

Types d'angles

Angle droit.

Aigu?? (a), obtus (b) et (c) angles droits. Ici, a et b sont angles suppl??mentaires.

Angle rentrant.

Le angles compl??mentaires a et b (b est le compl??ment d'un, et un est le compl??ment de b).

Un angle de 90 ?? ( π / 2 radians, soit un quart du cercle complet) est appel?? angle droit.
Deux lignes qui forment un angle droit sont dites perpendiculaire ou orthogonal.
Angles inf??rieur ?? un angle droit (moins de 90 ??) sont appel??s des angles aigus ("aigu??" signifie "pointu").
Angles plus grand qu'un angle droit et inf??rieur ?? deux angles droits (entre 90 ?? et 180 ??) sont appel??s angles obtus ("obtus" qui signifie "??mouss??").
Angles ??gaux ?? deux angles droits (180 ??) sont appel??s angles droits.
Angles sup??rieure ?? deux angles droits mais inf??rieure ?? un cercle complet (entre 180 ?? et 360 ??) sont appel??s angles rentrants.
Angles qui ont la m??me mesure sont dits congruents.
Deux angles oppos??s les uns des autres, form??s par l'intersection de deux lignes droites qui forment un ??X?? comme la forme, sont appel??s angles verticaux ou des angles oppos??s. Ces angles sont congruents.
Angles qui partagent un sommet et ar??te commune mais ne part pas de points int??rieurs sont appel??s angles adjacents.
Deux angles cette somme ?? une angle droit (90 ??) sont appel??s angles compl??mentaires.
La diff??rence entre un angle droit et un angle est appel?? le compl??ment de l'angle.
Deux angles qui r??sument ?? un angle droit (180 ??) sont appel??s angles suppl??mentaires.
La diff??rence entre un angle et un angle droit est appel?? le suppl??ment de l'angle.
Deux angles cette somme ?? une cercle complet (360 ??) sont appel??s angles explementary ou angles conjugu??s.
Un angle qui fait partie d'un simples polygone est appel?? angle int??rieur se il se trouve ?? l'int??rieur du polygone que le simple. On notera que dans un polygone simple qui est concave, au moins un angle int??rieur sup??rieur ?? 180 ??.
En g??om??trie euclidienne , les mesures des angles int??rieurs d'un triangle ajouter jusqu'?? radians π, ou 180 ??; les mesures des angles int??rieurs d'un simple, quadrilat??re ajouter jusqu'?? 2 π radians ou 360 ??. En g??n??ral, les mesures des angles int??rieurs d'un simple polygone ?? n c??t??s ajoutent ?? [(n - 2) ?? π radians], ou [(n - 2) ?? 180] ??.
L'angle compl??mentaire ?? l'angle int??rieur est appel?? angle ext??rieur. Il mesure la quantit?? de "tour" on a ?? faire ?? ce sommet ?? tracer le polygone. Si l'angle int??rieur correspondant d??passe 180 ??, l'angle ext??rieur doit ??tre consid??r??e n??gative. M??me dans un polygone non-simple, il peut ??tre possible de d??finir l'angle ext??rieur, mais celui-ci devra choisir un orientation du plan (ou surface) de d??cider le signe de la mesure d'angle ext??rieur.
En g??om??trie euclidienne, la somme des angles ext??rieurs d'un polygone simple sera de 360 ??, un tour complet.
Certains auteurs utilisent l'angle ext??rieur de nom d'un polygone simple ?? signifier simplement l'explementary (pas suppl??mentaire!) De l'angle int??rieur . Ceci est en contradiction avec l'utilisation ci-dessus.
L'angle entre deux plans (comme deux faces adjacentes d'un poly??dre ) est appel?? di??dre. Il peut ??tre d??fini comme l'angle aigu entre deux lignes perpendiculaire aux plans.
L'angle entre un plan et une ligne droite d'intersection est ??gale ?? quatre-vingt dix degr??s moins l'angle entre la ligne d'intersection et la ligne qui passe par le point d'intersection et est perpendiculaire au plan.
Si une ligne droite ligne transversale croise deux lignes parall??les, (suppl??ant) correspondant angles sur les deux points d'intersection sont congruents; angles adjacents sont compl??mentaire (ce est-?? leurs mesures se ajoutent ?? π radians ou 180 ??).

Une d??finition formelle

Utilisation des fonctions trigonom??triques

Un angle euclidienne est compl??tement d??termin??e par le triangle correspondant. En particulier, si $\ Theta$ est un angle euclidien, il est vrai que

$\ Cos \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}$

$\ Sin \ theta = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}$

pour deux nombres $x$ et $y$ . Donc un angle dans le plan euclidien peut ??tre l??gitimement donn?? par deux nombres $x$ et $y$ .

Pour le rapport $\ Frac {y} {x}$ correspondent deux angles dans la gamme g??om??trique $0 <\ theta <2 \ pi$ Car

$\ Frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} = \ frac {y} {x} = \ frac {-y} {- x} = \ frac {\ sin (\ theta + \ pi)} {\ cos (\ theta + \ pi )}.$

Utilisation de rotations

Supposons que nous ayons deux vecteurs unitaires $\ Vec {u}$ et $\ Vec {v}$ dans le plan euclidien $\ Mathbb {R} ^ 2$ . Alors il existe un positif isom??trie (une rotation), et un seul, ?? partir de $\ Mathbb {R} ^ 2$ ?? $\ Mathbb {R} ^ 2$ que les cartes $u$ sur $v$ . Soit r une telle rotation. Ensuite, la relation $\ Vec {a} \ mathcal {R} \ vec {b}$ d??finie par $\ Vec {b} = r (\ vec {a})$ est une relation d'??quivalence et de l'angle de la rotation que nous appelons R, le classe d'??quivalence $\ Mathbb {T} / \ mathcal {R}$ O?? $\ Mathbb {T}$ d??signe le cercle unit?? du $\ Mathbb {R} ^ 2$ . L'angle entre les deux vecteurs sera simplement l'angle de la rotation qui fait correspondre une sur l'autre. Nous ne avons aucun moyen num??rique de d??terminer un angle encore. Pour ce faire, nous choisissons le vecteur $(1,0)$ , Alors pour tout point M $\ Mathbb {T}$ ?? la distance $\ Theta$ ?? partir de $(1,0)$ (Sur le cercle), laissez- $\ Vec {u} = \ {OM} overrightarrow$ . Si nous appelons $r_ \ theta$ la rotation qui transforme $(1,0)$ en $\ Vec {u}$ , Puis $\ Left [r_ \ theta \ right] \ mapsto \ theta$ est une bijection, ce qui signifie que nous pouvons identifier ne importe quel angle avec un nombre entre 0 et $2 \ pi$ .

Angles entre les courbes

L'angle entre les deux courbes est d??fini comme l'angle entre les tangentes A et B ?? P

L'angle entre une ligne et une courbe (angle mixte) ou entre deux courbes se croisent (angle curviligne) est d??fini comme ??tant l'angle entre les tangentes au point d'intersection. Divers noms (maintenant rarement, voire jamais, utilis??e) ont ??t?? donn??s ?? des cas particuliers: - amphicyrtic (Gr ἀμφί, des deux c??t??s, κυρτόσ, convexes.) Ou cissoidal (Gr κισσόσ, de lierre.), Biconvexes; xystroidal ou sistroidal (Gr . ξυστρίσ, un outil pour gratter), concave-convexe;. amphicoelic (Gr κοίλη, un creux) ou lunularis Angulus, biconcave.

Le produit scalaire et la g??n??ralisation

Dans le plan euclidien , l'angle θ entre deux vecteurs u et v est li??e ?? leur dot produits et leurs longueurs par la formule

$\ Mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ \ | \ mathbf {u} \ | \ \ | \ mathbf {v} \ |.$

Ceci permet de d??finir des angles l'une quelconque r??el espace de produit int??rieur, remplacement du produit euclidienne dot ?? par le Espace de Hilbert produit scalaire <??, ??>.

Angles de la g??om??trie de Riemann

En La g??om??trie de Riemann, le tenseur m??trique est utilis??e pour d??finir l'angle entre les deux tangentes . O?? u et v sont des vecteurs tangents et g _ij sont les composantes du tenseur m??trique G,

$\ Cos \ theta = \ frac {g_ {} ij U ^ iV ^ j} {\ sqrt {\ left | g_ {} ij U ^ iU ^ j \ right | \ left | g_ {} ij V ^ iV ^ j \ droit |}}.$

Angles en g??ographie et l'astronomie

Dans la g??ographie nous sp??cifions l'emplacement de tout point de la Terre ?? l'aide d'un Syst??me de coordonn??es g??ographiques. Ce syst??me sp??cifie la latitude et la longitude de l'endroit, en termes d'angles sous-tendus au centre de la Terre, ?? l'aide du ??quateur et (habituellement) le M??ridien de Greenwich comme r??f??rences.

En astronomie , nous sp??cifions de m??me un point sur la donn??e sph??re c??leste utilisant ne importe quel de plusieurs Astronomique syst??mes de coordonn??es, o?? les r??f??rences variables selon le syst??me particulier.

Les astronomes peuvent ??galement mesurer la s??paration angulaire de deux ??toiles en imaginant deux lignes ?? travers le centre de la Terre , chaque intersection un des ??toiles. L'angle entre ces lignes peut ??tre mesur??e, et la s??paration angulaire entre les deux ??toiles.

Les astronomes mesurent ??galement la la taille apparente des objets. Par exemple, la pleine lune a une mesure angulaire d'environ 0,5 ??, vus de la Terre. On pourrait dire, "La Lune sous-tend un angle d'un demi-degr??." Le formule aux petits angles peut ??tre utilis??e pour convertir une telle mesure angulaire dans un rapport distance / grandeur.

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