
G??om??trie analytique
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G??om??trie analytique, aussi appel?? la g??om??trie des coordonn??es mentionn??e pr??c??demment que la g??om??trie cart??sienne ou la g??om??trie analytique, est l'??tude de la g??om??trie en utilisant les principes de l'alg??bre . Que l'alg??bre des nombres r??els peut ??tre utilis?? pour produire des r??sultats sur le continuum de la g??om??trie lin??aire repose sur la Axiome Cantor-Dedekind. Habituellement, le syst??me de coordonn??es cart??siennes est appliqu?? ?? manipuler des ??quations pour les avions , lignes, des lignes droites et carr??s , souvent en deux et parfois en trois dimensions de mesure. Comme enseign?? dans les manuels scolaires, la g??om??trie analytique peut se expliquer plus simplement: il est pr??occup?? par la d??finition des formes g??om??triques de mani??re num??rique et extraire des informations num??riques de cette repr??sentation. La sortie num??rique, cependant, peut aussi ??tre un vecteur ou un fa??onner. Certains consid??rent que l'introduction de la g??om??trie analytique est le d??but de modernes des math??matiques .
Histoire
Le math??maticien grec M??nechme r??solu des probl??mes et a prouv?? th??or??mes en utilisant une m??thode qui avait une forte ressemblance avec l'utilisation de coordonn??es et il a parfois soutenu qu'il avait la g??om??trie analytique. Apollonius de Perge, dans Sur la section D??termin?? trait?? des probl??mes d'une mani??re qui peut ??tre appel?? une g??om??trie analytique d'une dimension; la question de trouver des points sur une ligne qui se trouvaient dans un rapport aux autres. Apollonios dans les coniques d??velopp?? une m??thode qui est tr??s similaire ?? la g??om??trie analytique que son travail est parfois pens?? pour avoir anticip?? le travail de Descartes par quelques 1800 ann??es. Son application des lignes de r??f??rence, un diam??tre et une tangente a pratiquement pas diff??rente de celle de notre utilisation moderne d'un syst??me de coordonn??es, o?? les distances mesur??es le long du diam??tre du point de tangence sont les abscisses, et les segments parall??les ?? la tangente et intercept??e entre l'axe et la courbe sont les ordonn??es. Il a d??velopp?? davantage les relations entre les abscisses et les ordonn??es correspondantes qui sont ??quivalentes aux ??quations rh??toriques de courbes. Cependant, bien que Apollonius est venu pr??s de d??velopper la g??om??trie analytique, il n'a pas r??ussi ?? le faire car il ne tient pas compte des grandeurs n??gatives et dans tous les cas le syst??me de coordonn??es a ??t?? superpos??e sur une courbe donn??e a posteriori au lieu d'a priori. Ce est, ??quations ont ??t?? d??termin??s par des courbes, mais les courbes ne ont pas ??t?? d??termin??es par des ??quations. Coordonn??es, variables et ??quations ??taient notions subsidiaires appliqu??s ?? une situation g??om??trique sp??cifique.
Le XIe si??cle Persique math??maticien Omar Khayyam a vu une forte relation entre la g??om??trie et de l'alg??bre, et se d??pla??ait dans la bonne direction quand il a aid?? ?? combler le foss?? entre l'alg??bre num??rique et g??om??trique avec sa solution g??om??trique de la g??n??rale ??quations cubiques, mais le pas d??cisif est venu plus tard avec Descartes.
G??om??trie analytique a ??t?? traditionnellement attribu??e ?? Ren?? Descartes qui a fait des progr??s significatifs dans les m??thodes de la g??om??trie analytique lorsque IN 1637 dans l'annexe intitul??e G??om??trie du discours intitul?? sur la m??thode pour bien conduire sa raison dans la recherche de la v??rit?? dans les sciences, commun??ment appel?? Discours de la M??thode. Cet ouvrage, ??crit dans son pays natal fran??ais langue, et ses principes philosophiques, a fourni la base pour le calcul en Europe.
Abraham de Moivre ??galement pionnier dans le d??veloppement de la g??om??trie analytique. Avec l'hypoth??se de la Cantor-Dedekind axiome, la g??om??trie euclidienne est essentiellement que interpr??table dans la langue de la g??om??trie analytique (ce est-?? chaque th??or??me de l'un est un th??or??me de l'autre), La preuve de Alfred Tarski du d??cidabilit?? du champ r??el ordonn?? pourrait ??tre consid??r?? comme une preuve que la g??om??trie euclidienne est coh??rente et d??cidable.
Th??mes
Th??mes importants de la g??om??trie analytique sont
- espace vectoriel
- d??finition de l' avion
- la distance probl??mes
- la produit scalaire, pour obtenir l'angle de deux vecteurs
- le produit en croix , pour obtenir un vecteur perpendiculaire de deux vecteurs connus (et aussi leur volume spatial)
- intersection probl??mes
Beaucoup de ces probl??mes concernent l'alg??bre lin??aire .
Exemple
Voici un exemple d'un probl??me de la ??tats-Unis d'Am??rique math??matique Talent Search qui peut ??tre r??solu par la g??om??trie analytique:
Probl??me: Dans un pentagone convexe Dont les c??t??s ont des longueurs
,
,
,
Et
, Bien que non n??cessairement dans cet ordre. Laisser
,
,
Et
sont les milieux des c??t??s
,
,
Et
Respectivement. Laisser
le milieu du segment
Et
le milieu du segment
. La longueur du segment
est un nombre entier. Trouver toutes les valeurs possibles de la longueur du c??t??
.
Solution: Laissez ,
,
,
Et
??tre situ?? ??
,
,
,
Et
.
En utilisant le formule du point milieu, les points ,
,
,
,
Et
sont situ??s ??
,
,
,
,
Et
Utilisation de la distance de la formule,
et
Depuis doit ??tre un nombre entier ,
(Voir arithm??tique modulaire ) afin .
D'autres utilisations
G??om??trie analytique, pour g??om??tres alg??briques, est aussi le nom de la th??orie de (r??el ou) vari??t??s complexes et les espaces analytiques plus g??n??raux d??finis localement par la disparition de fonctions analytiques de plusieurs variables complexes (ou parfois vrais). Elle est ??troitement li??e ?? la g??om??trie alg??brique, notamment ?? travers le travail de Jean-Pierre Serre GAGA.