Alg??bre abstraite

Alg??bre abstraite est la zone objet de math??matiques qui ??tudie les structures alg??briques , comme les groupes , bagues, champs, modules, espaces vectoriels , et alg??bres. La plupart des auteurs ??crivent aujourd'hui tout simplement l'alg??bre ?? la place de l'alg??bre abstraite.

Le terme alg??bre abstraite renvoie d??sormais ?? l'??tude de toutes les structures alg??briques, distincte de l' alg??bre ??l??mentaire habituellement enseign?? aux enfants, qui enseigne les r??gles correctes pour manipuler des formules et des expressions alg??briques impliquant r??els et des nombres complexes et inconnues. Alg??bre ??l??mentaire peut ??tre consid??r?? comme une introduction informelle aux structures connues sous le nom champ r??el et alg??bre commutative.

Math??matiques contemporaines et la physique math??matique font un usage intensif de l'alg??bre abstraite; par exemple, la physique th??orique se appuie sur alg??bres de Lie. Des domaines tels que alg??brique th??orie des nombres, topologie alg??brique, et g??om??trie alg??brique appliquer des m??thodes alg??briques ?? d'autres domaines des math??matiques. la th??orie de la repr??sentation, grosso modo, prend la ??abstrait?? sur ??l'alg??bre abstraite ', ??tudier le c??t?? concret d'une structure donn??e; voir th??orie des mod??les.

Deux domaines math??matiques qui ??tudient les propri??t??s des structures alg??briques consid??r??es dans leur ensemble sont alg??bre universelle et th??orie des cat??gories. Structures alg??briques, avec l'Associated homomorphismes, forme cat??gories. La th??orie des cat??gories est un formalisme puissant pour ??tudier et comparer les diff??rentes structures alg??briques.

Histoire et exemples

Comme dans d'autres parties des math??matiques, des probl??mes et des exemples concrets ont jou?? un r??le important dans l'??volution de l'alg??bre. Jusqu'?? la fin du XIXe si??cle, beaucoup, peut-??tre plus, de ces probl??mes ??taient en quelque sorte li??e ?? la th??orie des ??quations alg??briques. Parmi les principaux th??mes que nous pouvons citer:

• r??solution de syst??mes d'??quations lin??aires, qui ont conduit ?? des matrices, d??terminants et alg??bre lin??aire .
• tente de trouver des formules pour les solutions d'??quations polynomiales g??n??rales de degr?? sup??rieur qui ont abouti ?? la d??couverte de groupes comme des manifestations abstraites de sym??trie ;
• et les enqu??tes arithm??tiques des formes quadratiques et le degr?? sup??rieur et ??quations diophantiennes, notamment, ?? prouver le dernier th??or??me de Fermat , qui produit directement les notions d'un anneau et id??al.

De nombreux manuels d'alg??bre abstraite commencent avec d??finitions axiomatiques de diverses structures alg??briques et passer ensuite ?? ??tablir leurs propri??t??s, cr??ant une fausse impression que d'une certaine mani??re en alg??bre axiomes ??taient venus d'abord et ensuite servi de motivation et comme base d'une ??tude ult??rieure. Le v??ritable ordre du d??veloppement historique ??tait presque exactement le contraire. La plupart des th??ories que nous reconnaissons maintenant que les pi??ces de l'alg??bre ont commenc?? comme des collections de faits disparates provenant de diverses branches des math??matiques, a acquis un th??me commun qui a servi de noyau autour duquel diff??rents r??sultats ont ??t?? regroup??s, et enfin devenus unifi?? sur une base d'un ensemble commun de concepts. Un exemple arch??typique de cette ??volution peut ??tre vu dans la th??orie des groupes .

La th??orie des groupes pr??coce

Il ya eu plusieurs discussions dans le d??veloppement pr??coce de la th??orie des groupes, en langage moderne correspondant vaguement ?? la th??orie des nombres, la th??orie des ??quations, et la g??om??trie, dont nous nous concentrons sur les deux premiers.

Leonhard Euler consid??r??es comme des op??rations alg??briques sur les nombres modulo un entier, l'arithm??tique modulaire , prouvant sa g??n??ralisation des Le petit th??or??me de Fermat. Ces enqu??tes ont ??t?? prises beaucoup plus loin en Carl Friedrich Gauss , qui a consid??r?? la structure des groupes multiplicatifs de r??sidus mod n et ??tablies de nombreuses propri??t??s de cyclique et plus g??n??rale groupes ab??liens qui se posent dans cette fa??on. Dans ses enqu??tes sur les Composition des formes quadratiques binaires, Gauss explicitement la loi associative pour la composition des formes, mais comme Euler avant lui, il semble avoir ??t?? plus int??ress?? par des r??sultats concrets que dans la th??orie g??n??rale. En 1870, Leopold Kronecker a donn?? une d??finition d'un groupe ab??lien, dans le contexte de groupes de classes id??ales d'un champ de num??ro, une g??n??ralisation de grande envergure des travaux de Gauss. Il semble qu'il ne avait pas l'attacher avec des travaux ant??rieurs sur les groupes, en particulier, des groupes de permutation. En 1882, compte tenu de la m??me question, Heinrich Weber r??alis?? la connexion et a donn?? une d??finition similaire qui impliquait la la propri??t?? d'annulation, mais omis l'existence de la ??l??ment inverse, ce qui ??tait suffisant dans son contexte (groupes finis).

Permutations ont ??t?? ??tudi??s par Joseph Lagrange dans son document de 1770 R??flexions sur la r??solution des ??quations alg??brique consacr??es aux solutions des ??quations alg??briques, dans lequel il introduit R??solvantes de Lagrange. L'objectif de Lagrange ??tait de comprendre pourquoi ??quations du troisi??me et quatri??me degr?? admettent formules de solutions, et il a identifi?? comme principaux objets permutations des racines. Une ??tape de nouvelle importante prise par Lagrange dans ce document ??tait la vue abstraite des racines, ce est ?? dire comme des symboles et non comme des nombres. Cependant, il ne consid??rait pas la composition de permutations. Par un heureux hasard, la premi??re ??dition du Edward Waring Meditationes Algebraicae paru dans la m??me ann??e, avec une version ??largie publi?? en 1782. Waring a prouv?? la th??or??me principal sur les fonctions sym??triques, et sp??cialement examin?? la relation entre les racines d'une ??quation du quatri??me degr?? et son r??solvante cubes. M??moire sur la R??solution des ??quations de Alexandre Vandermonde (1771) a d??velopp?? la th??orie des fonctions sym??triques ?? partir d'un angle l??g??rement diff??rent, mais comme Lagrange, dans le but de comprendre la solvabilit?? des ??quations alg??briques.

Kronecker revendiqu?? en 1888 que l'??tude de l'alg??bre moderne a commenc?? avec ce premier document de Vandermonde. Cauchy stipule tr??s clairement que Vandermonde avait priorit?? sur Lagrange pour cette id??e remarquable qui a finalement conduit ?? l'??tude de la th??orie des groupes.

Paolo Ruffini ??tait la premi??re personne ?? d??velopper la th??orie de groupes de permutation, et comme ses pr??d??cesseurs, ??galement dans le cadre de la r??solution des ??quations alg??briques. Son objectif ??tait d'??tablir impossibilit?? de solution alg??brique ?? une ??quation alg??brique g??n??rale de degr?? sup??rieur ?? quatre. En route vers cet objectif, il a introduit la notion de l'ordre d'un ??l??ment d'un groupe, conjugaison, la d??composition du cycle d'??l??ments des groupes de permutation et les notions de primitif et imprimitive et prouv?? des th??or??mes importants concernant ces concepts, tels que

si G est un sous-groupe de S ₅ dont l'ordre est divisible par 5 alors G contient un ??l??ment d'ordre 5.

Notez, cependant, qu'il ne restait sans la formalisation de la notion de groupe, ou m??me d'un groupe de permutation. L'??tape suivante a ??t?? prise par ??variste Galois en 1832, bien que son travail est rest?? in??dit jusqu'en 1846, quand il a examin?? pour la premi??re fois ce que nous appelons maintenant la propri??t?? de fermeture d'un groupe de permutations, qu'il a exprim??e quant

... Si, dans un tel groupe on a les substitutions S et T alors on a la substitution ST.

La th??orie des groupes de permutation re??u d??veloppement de grande envergure dans les mains de Augustin Cauchy et Camille Jordan, ?? la fois gr??ce ?? l'introduction de nouveaux concepts et, surtout, une grande richesse des r??sultats sur les classes sp??ciales de groupes de permutation et m??me certains th??or??mes g??n??raux. Entre autres choses, la Jordanie a d??fini une notion de isomorphisme, toujours dans le cadre de groupes de permutation et, accessoirement, ce est lui qui a mis le groupe terme largement utilis??.

La notion abstraite d'un groupe est apparu pour la premi??re fois en Les papiers de Arthur Cayley en 1854. Cayley r??alis?? que un groupe ne doit pas ??tre un groupe de permutation (ou m??me fini), et peuvent ?? la place compos?? de matrices , dont les propri??t??s alg??briques, telles que la multiplication et inverses, il a syst??matiquement ??tudi?? dans les ann??es suivantes. Beaucoup plus tard Cayley de r??examiner la question de savoir si les groupes abstraits ??taient plus g??n??rale que les groupes de permutation, et d'??tablir que, en fait, ne importe quel groupe est isomorphe ?? un groupe de permutations.

L'alg??bre moderne

La fin du 19??me et le d??but du 20e si??cle a vu un changement consid??rable dans la m??thodologie des math??matiques. Ne se contente plus d'??tablir les propri??t??s des objets concrets, les math??maticiens ont commenc?? ?? tourner leur attention ?? la th??orie g??n??rale. Par exemple, les r??sultats sur les diff??rents groupes de permutations sont venus ?? ??tre consid??r??s comme des cas de th??or??mes g??n??raux qui concernent une notion g??n??rale d'un groupe abstrait. Questions de structure et la classification des diff??rents objets math??matiques sont venus avant-garde. Ces processus se produisaient dans l'ensemble des math??matiques, mais se sont particuli??rement prononc??es dans l'alg??bre. D??finition formelle par des op??rations primitives et axiomes ont ??t?? propos??es pour de nombreuses structures alg??briques de base, tels que les groupes , anneaux, et domaines. Les enqu??tes alg??briques des domaines g??n??raux de Ernst Steinitz et d'anneaux g??n??rales commutatives, puis par David Hilbert , Emil Artin et Emmy Noether , mise en place sur les travaux de Ernst Kummer, Leopold Kronecker et Richard Dedekind, qui avait consid??r?? comme id??aux dans les anneaux commutatifs, et Georg Frobenius et Issai Schur, concernant la th??orie de la repr??sentation des groupes, en vint ?? d??finir alg??bre abstraite. Ces d??veloppements du dernier quart du 19e si??cle et le premier trimestre de 20??me si??cle ont ??t?? syst??matiquement expos??s dans Moderne l'alg??bre de Bartel van der Waerden, la monographie en deux volumes publi??e en 1930-1931 qui a chang?? ?? jamais pour le monde math??matique le sens du mot alg??bre de la th??orie des ??quations ?? la th??orie des structures alg??briques.

Un exemple

Alg??bre abstraite facilite l'??tude des propri??t??s et des motifs qui les concepts math??matiques apparemment disparates ont en commun. Par exemple, examiner les op??rations distinctes de la composition de fonctions , f (g (x)), et de la multiplication de matrices , AB. Ces deux op??rations sont en fait la m??me structure. Pour le voir, r??fl??chir ?? la multiplication de deux matrices carr??es, AB, par un vecteur d'une colonne, x. Ceci d??finit une fonction ??quivalente ?? composer avec Bx Ay: Ay = A (Bx) = (AB) x. Fonctions en vertu de la composition et des matrices sous la multiplication des exemples de mono??des. Un ensemble S et un op??ration binaire sur S, not??e par concat??nation, forment un mono??de Si l'op??ration associ??s , (ab) c = a (bc), et se il existe un e ∈ S, telle que ae = EA = a.